第十七章 勾股定理 单元讲义 2023-2024学年人教版八年级数学下册

勾股定理单元学习讲义知识网络一、勾股定理（1）勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．（2）需要熟记的勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9，40，41。二、勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边a、b、c满足：a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形．（2）应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为；（2）验证：与是否具有相等关系：

若，则△ABC是以∠C为90°的直角三角形；

若时，△ABC是锐角三角形；

若时，△ABC是钝角三角形．（3）勾股定理的证明：方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：S正方形EFGH=c方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：S梯形ABCD=(a+b)(a+b)三、勾股定理的实际运用(1)已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；(2)用于解决带有平方关系的证明问题；(3)与勾股定理有关的面积计算；(4)勾股定理在实际生活中的应用．题型一与勾股定理有关的证明1．若三角形的三边长a,b,c满足(a-b)2=c2-2ab,则这个三角形的形状是().A．等边三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．直角三角形2.如图，在△ABC中，∠C＝90°，D为BC边的中点，DE⊥AB于E，则AE2-BE2等于()答案：A

A．AC2B．BD2C．BC2D．DE23.如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝CB，M为AB上一点．求证：．答案：过点C作CD⊥AB于D．∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD．∵∠ACB＝90°，∴CD＝AD＝DB．∴在Rt△CDM中，，∴．4.已知△ABC中，AB＝AC，D为BC上任一点，求证：.【答案】解：如图，作AM⊥BC于M，∵AB＝AC，∴BM＝CM,则在Rt△ABM中：……①在Rt△ADM中：……②由①－②得：＝（MC＋DM）•BD＝CD·BD题型二与勾股定理有关的线段长1．如图，长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）答案：DA．3B．4C．5D．62.如图，△ABC中，AB=AC,AD是∠BAC的平分线.已知AB=5，AD=3，则BC的长为（）答案：CA．5B．6C．8D．103.已知：如图1-1-12,在四边形ABCD中,∠BAD=90°,∠DBC=90°,AD=3,AB=4,BC=12,求CD的长.答案：CD=134．小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米,当他把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高是()答案：AA．12米B．10米C．8米D．6米5．若直角三角形的三边长分别为2，4，，则的值可能有()答案：BA．1个B．2个C．3个 D．4个6.如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D是BC的中点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连CE，则线段CE的长等于()答案：DA．2 B． C． D．题型三与勾股定理有关的面积计算1.在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC的面积．答案：在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x，则CD=14﹣x，由勾股定理得：AD2=AB2﹣BD2=152﹣x2，AD2=AC2﹣CD2=132﹣（14﹣x）2，故152﹣x2=132﹣（14﹣x）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S△ABC=BC•AD=×14×12=84．如图1-1-13,图中所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,大正方形的边长为9cm,则正方形A,B,C,D的面积的和是____81_____cm2.3.在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12．求△ABC的周长．答案：在Rt△ABD和Rt△ACD中，由勾股定理，得．∴．同理．∴．①当∠ACB＞90°时，BC＝BD－CD＝9－5＝4．∴△ABC的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋4＋13＝32．②当∠ACB＜90°时，BC＝BD＋CD＝9＋5＝14．∴△ABC的周长为：AB＋BC＋CA＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC的周长为32或42．4.如图1-2-4所示,有这样一块地,∠ADC=90°,AD=12m,CD=9m,AB=39m,BC=36m,求这块地的面积.答案：如图1-2-4,连接AC.在Rt△ADC中,由勾股定理,得AC2=AD2+CD2,即AC2=122+92,所以AC=15m.在△ABC中,由AC2+BC2=152+362=392,即AC2+BC2=AB2,所以△ABC是直角三角形.所以这块地的面积S=S△ABC-S△ADC=0.5×15×36-0.5×12×9=216(m2).所以这块地的面积为216m2.5.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）答案：DA．6B．5C．11D．16题型四利用勾股定理解决实际问题1．有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．答案：门高7.5尺，竹竿高8.5尺．2.如图1-1-16,已知两棵树之间的水平距离为8米,两棵树的高度分别是10米、4米,一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶,则这只小鸟至少要飞多少米？答案：10米3.如图所示，一旗杆在离地面5处断裂，旗杆顶部落在离底部12处，则旗杆折断前有多高？【答案】18m4.如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），计算两圆孔中心A和B的距离为150mm．5．如图，有两棵树，一棵高8，另一棵高2，两树相距8，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少要飞__10____．6.我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问