2024河南中考数学专题复习第三部分 题型二 微专题6 对角互补模型 课件

微专题6对角互补模型一阶

模型应用

知识关联SSA型全等条件是不能证明三角形全等的．情况一：如图①，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E；若∠C＝∠F，则△ABC≌△DEF.图①情况二：如图②，AB＝DE，AC＝DF，∠B＝∠E；若∠C不等于∠F，则△ABC与△DEF不全等，两个三角形能拼成等腰△ABE.图②模型分析模型特点：如图，∠ABC＋∠ADC＝180°，且∠ABC＝∠ADC＝90°.辅助线作法：过点D分别作AB，BC的垂线结论：△DCF∽△DAE当AD＝CD时，辅助线也可以用如下方法：将BD绕点D逆时针旋转与∠ADC相同的度数得到线段ED结论：①△ABD≌△CED；②AB＋BC＝

BD1.如图，∠MAN＝90°，点B是∠MAN内一点，且到AM，AN的距离相等．过点B作射线BC交AM于点C，将射线BC绕点B逆时针旋转90°，交AN于点D.(1)求证：BC＝BD；∵∠MAN＝∠CBD＝90°，∴∠ACB＋∠ADB＝180°.∵∠ACB＋∠BCE＝180°，∴∠BCE＝∠ADB.∵BE⊥AM，BF⊥AN，∴∠BEC＝∠BFD＝90°∴△BEC≌△BFD(AAS)，∴BC＝BD；(1)证明：如图，过点B分别作BE⊥AM于点E，BF⊥AN于点F，则BE＝BF.第1题图∟F∟E∴∠ABG＝∠CBD＝90°，∴∠ABC＝∠GBD.∵∠ACB＋∠ADB＝180°，∠ADB＋∠GDB＝180°，∴∠ACB＝∠GDB.∵BC＝BD，∴△ABC≌△GBD(ASA)，∴AB＝BG，AC＝DG，(2)连接AB，用等式表示AB，AC，AD之间的数量关系，并证明．第1题解图第1题图(2)解：AC＋AD＝

AB.证明：如解图，将AB绕点B逆时针旋转90°，交AN于点G，∵点B到∠MAN的两边AM，AN的距离相等，∴AB是∠MAN的平分线，∴∠BAG＝

∠MAN＝45°，∴AG＝

AB，∴AC＋AD＝DG＋AD＝AG＝

AB.第1题解图在Rt△ABC中，∠C＝60°，BD⊥AC，∴∠DBC＝30°，∴＝tan∠DBC＝

.∵∠ABC＝90°，∴四边形GBHD为矩形，∴GD＝BH，∴＝

.2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝60°，BD⊥AC于点D，以D为顶点作∠EDF＝90°，分别交AB，BC于点E，F，求

的值．解：如图，过点D分别作DG⊥AB于点G，DH⊥BC于点H，∟H∟G第2题图∵∠EDF＝∠ABC＝90°，∴∠BED＋∠BFD＝180°.∵∠BFD＋∠DFH＝180°，∴∠DEG＝∠DFH，∴△DEG∽△DFH，∴＝

＝

.∟H∟G第2题图二阶

综合提升1.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AD＝CD，连接BD.若BC＝2，AB＝5，求BD的长．由旋转的性质可得，BD＝DP，∠BDP＝90°.∵∠BDC＋∠BDA＝90°，∠BDA＋∠ADP＝90°，∴∠BDC＝∠ADP.解：如图，将BD绕点D顺时针旋转90°得到线段DP，连接AP，第1题图P在△CDB和△ADP中，∴△CDB≌△ADP(SAS)，∴∠PAD＝∠BCD，AP＝CB.又∵∠BCD＋∠BAD＝180°，∴∠PAD＋∠BAD＝180°，∴P，A，B三点共线．又∵∠BDP＝90°，DB＝DP，∴BP＝

DB，∴AP＋AB＝CB＋AB＝7＝

DB.∴DB＝

.第1题图P

解题关键点将DB绕点D顺时针旋转90°得到DP，连接AP，证得△CDB≌△ADP，△BDP为等腰直角三角形．∵四边形ABCD是矩形，PM⊥AD，PN⊥AB，∴四边形PMAN为矩形，∴∠MPN＝90°，∵∠DPE＝90°，∴∠DPM＋∠MPE＝∠MPE＋∠EPN，∴∠DPM＝∠EPN，∴△DPM∽△EPN，2.如图，在矩形ABCD中，点P为对角线AC上一个动点，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E，已知AB＝4，AD＝4.若DP＝3，求PE的长．解：如图，过点P分别作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N，∟∟NM第2题图∴＝

＝

，∵PN∥BC，AB＝4，AD＝BC＝4，∴＝

＝

＝

，∴＝

，∵DP＝3，∴PE＝3.∟∟NM第2题图3.如图，在正方形ABCD中，∠EPF的顶点P在对角线AC上，且∠EPF＝90°，AP＝

AC，将∠EPF绕点P旋转，旋转过程中，∠EPF的两边分别与AB和BC交于点E，F.(1)在∠EPF的旋转过程中，试探究PE与PF的数量关系，并说明理由；第3题图解：(1)PF＝2PE.理由如下：如解图①，过点P分别作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N，∵∠B＝90°，∴四边形PMBN为矩形，∴∠MPN＝90°.第3题解图①又∵∠PME＝∠PNF＝90°，∴△MPE∽△NPF，∴＝

.∵AC为正方形ABCD的对角线，∴∠MAP＝∠NCP＝45°.又∵∠AMP＝∠CNP＝90°，∴△AMP∽△CNP，∴＝

＝

.∵AP＝

AC，∴＝

，∴＝

＝

，∴即PF＝2PE；∵∠EPF＝90°，∴∠MPE＋∠EPN＝∠EPN＋∠NPF，∴∠MPE＝∠NPF.第3题解图①∵四边形ABCD是正方形，AP＝

AC，AC＝6，∴∠ACB＝45°，PC＝

AC＝4，AB＝BC＝

AC＝3，∴PG＝CG＝

PC＝2，∴BG＝BC－CG＝3－2＝

，∴在Rt△PBG中，PF＝PB＝

＝

＝

.(2)若AC＝6，当点F与点B重合时，求AE的长．(2)当点F与点B重合时，如解图②，过点P作PG⊥BC于点G，第3题解图②第3题图由(1)知，PF＝2PE，∴PE＝

PF＝

.∵∠EPF＝90°，∴在Rt△PEB中，BE＝

＝

＝

，∴AE＝AB－BE＝3－

＝

.第3题解图②∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，∵∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°，∠CEN＝90°－∠ECN＝45°，∴四边形EMCN为矩形，∠CEN＝∠ECN，∴NE＝NC，∴四边形EMCN为正方形，∴EM＝EN，∠MEN＝90°，4.如图，已知四边形ABCD为正方形，点E在对角线AC上，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG.(1)求证：ED＝EF；(1)证明：如图，过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，第4题图MN∟∟∵四边形DEFG是矩形，∴∠DEF＝∠MEN＝90°，∴∠DEN＋∠NEF＝∠MEF＋∠NEF，∴∠DEN＝∠MEF，在△DEN和△FEM中，∴△DEN≌△FEM(ASA)，∴ED＝EF；第4题图MN∟∟

解题关键点过点E分别作EM⊥BC于点M，EN⊥CD于点N，证得△DEN≌△FEM；(2)连接CG，若四边形DECG的面积为9，求CE＋CG的值．(2)解：由(1)得ED＝EF，∴矩形DEFG为正方形，∴DE＝DG，∠EDC＋∠CDG＝90°，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，∠ADE＋∠EDC＝90°，∴∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，S△ADE＝S△CDG，第4题图MN∟∟∴CE＋CG＝CE＋AE＝AC，∵四边形DECG的面积为9，∴S△DEC＋S△CDG＝