微波技术第3章

第3章微带和表面波波导§3.6圆柱介质波导与光纤§3.5介质板波导§3.4槽线、共面波导和鳍线§3.3耦合带状线和耦合微带线§3.2微带线§3.1带状线§3.0

引言引言它们属于平面型结构，与立体结构型的波导、同轴线相比

优点：体积小、重量轻、易于批量生产、成本低、可靠性 缺点：损耗较大，Q值较低，功率容量小，仅限于中、小功率应用微带线是微波集成电路的重要组成部分，种类很多，但基本结构形式为

带状线（对称微带）

标准微带线（不对称微带，简称微带）先把无源元件和连接微带制造在一块印刷（或镀覆）板上，然后再把固体器件接上去混合微波集成电路把有源器件、无源元件及连接微带都制造在一片半导体上单片微波集成电路设备小型化、轻量化，即发展微波集成电路不断拓宽频谱范围，向毫米波和亚毫米波波段发展微波技术发展的要求：这种传输线上所传输的波以“表面波”为其特征，所以．这类传输线统称为表面波波导。因此，对毫米波段的高频端及亚毫米波段来说，封闭式的金属波导已不实用，而需要采用单根线、介质波导、H波导等非封闭式的传输线随着工作波长的减小，波导管的尺寸就显得太小了。不仅制造起来困难，而且功率容量越来越小，波导壁上的损耗越来越大在厘米波段和毫米波段的低频端，金属波导由于其损耗低、功率容量高、几何尺寸大小适中．是很合适的传输线金属波导管的单模工作条件要求其横向尺寸与工作波长同数量级引言引言带状线8WayPowerDivider-StriplineDesign引言微带线§3.1带状线接地板和导带之间的介质可以是空气，也可以是其它绝缘介质带状线结构可以看作同轴线演变而成，传输的主模是TEM模主要特性参数：特性阻抗Z0、相速度、相波长、衰减常数α 和功率容量等带状线由上下接地导体和中心导体条带构成带状线的特性阻抗（3.1）

下面分几种情况介绍最后求解结果求静电电容的方法有多种，其中较常用的是保角变换法：

将某一复平面上边界形状不规则的区域变换成另一复平面上的矩形区域，从而利用求平行板电容器电容的方法求得分布电容C1上式表明，为了确定带状线的特性阻抗Zc，需要先求出其分布电容C1，这可以看成是一个求解静电场的问题（3.2）

线的特性阻抗为带状线是均匀无耗的，线内介质的εr≥1，μ=1。其分布电容和分布电感为C1、L1，线的横截面尺寸远小于波长，线上传输的是TEM模，因此，带状线上波的相速度为带状线1、中心导带很薄（t/b<<1）的带状线（3.3a）

（3.3b）

（3.4）式中K(k)是第一类全椭圆积分， 为其模数，是第一类余全椭圆积分，为余模数，上式是在宽带近似下得到的，要求w/b>0.5。在考虑中心导带的一个边缘场时忽略了一个边缘场的影响，若不作上述近似，可利用多角形变换直接导出零厚度导带带状线特性阻抗的精确表示式实际带状线的导带厚度并不为零。但若t/b<<1时，对上式进行适当修正便得到相应的特性阻抗为带状线带状线的特性阻抗2、中心导带较厚的带状线

（3.5）（3.6）根据以上得到的公式，可以将带状线特性阻抗与结构二之间的关系绘成曲线从而可利用圆柱形中心导体带状线的特性阻抗来近似代替窄导带带状线的特性阻抗，即当中心导带比较窄，以致左右两边的相互影响不能忽略时，带状线的特性阻抗不再能用式（3.5）计算，这时可将矩形中心导带等效为圆柱形导体，其等直径为

当带状线中心导带的厚度不满足关系

t/b<<1时，计算特性阻抗的公式（3.3a）和（3.4）均不再适用，考虑中心导带边缘电容效应的宽导带带状线的特性阻抗为带状线带状线的特性阻抗带状线带状线的特性阻抗带状线的损耗可是带状线表面电流密度沿横截面周界呈不均匀分布，计算R1则很复杂，这里我们只给出计算所得的常用铜导体带状线导体损耗的理论曲线当带状线接地板宽度等于(3—6)w，且b<<λ/2时，带状线的辐射损耗可以忽略，因此，带状线的损耗是指导体损耗和介质损耗两部分，其衰减常数为α=αc+αdαd可按式（1.119）计算αc可按式（1.114）计算对于同轴线，按式（2.96）计算其中R1是单位长度带状线导体的电阻带状线（3.7）式中，αcu为图3—6表示的铜的衰减常数，Rcu为铜的表面电阻率，Rs为其它导体的表面电阻率若带状线的导体不是铜，则其αc可按下式按算铜导体带状线导体损耗的理论曲线带状线带状线的损耗带状线的高次模（3.7）通常需要抑制高次模，这要求带状线的尺寸满足下列关系在TM模中，最低次型是TM01模在TE模中，最低次型是TE10模

TE模和TM模带状线的主模是TEM模，但若尺寸选择不当，也可能出现高次模：带状线§3.2微带线但是，当其横截面尺寸很小，使w<<λg/2,h<<λg/2(λg是微带线的相波长)时，微带线的主模可以近似看作是TEM模，称为准TEM模，可以采用准静态法对其特性进行分析。由于多了一个介质和空气的界面，其主模将不是纯粹的TEM模．严格地求解微带线的场分布比较复杂.常用的基片材料是Al2O3瓷、石英、蓝宝石等介电常数高而高频损耗小的介质，接地板是铜板或铝板，导体带常用金、银、铜等良导体做成标准微带线（简称微带）是由介质基片一边的导体带和基片另一边的金属接地板构成准静态分析法基于把微带线中的传输模式看成纯TEM模不考虑损耗时，TEM波传输线的主要特性参数：微带线的特性阻抗（3.9）可以肯定，一定有，为此，我们用等效介质电常数来表示这种影响：

可是，微带线的电磁场部分在的介质中，部分在空气中，这时空气和介质对其相速都有影响，其影响的大小，取决于电场在这两部分中的分配情况，要由εr的大小以及介质和导体边界的形状和尺寸来决定若其介质全部为相对介电常数为的其它单一介质，则TEM波的相速为当传输线中的介质全部为空气时，TEM波的相速为vp=c≈3×108米/秒式中L1、C1分别是线上的分布电感和分布电容（3.1）

相速度（3.2）

特性阻抗微带线由于（3.2）、（3.9）、（3.10）、（3.11）等式，可以得到实际微带特性阻抗为（3.12）因此求实际微带线的特性阻抗问题，可以归结为：或分布电容先求同尺寸的空气微带的特性阴抗再求介质基片存在的微带线的分布电容从而得到等效介电常数假定导体形状、尺寸和实际微带相同而介质全部为空气的空气微带线的分布电容为则按式（3.1），有（3.10）将它和式（3.1）一并代入式（3.9）中，得到（3.11）

此式说明等效介电常数εe的物理意义，它是实际微带线和空气微带线的分布电容之比用表示空气微带线的特性阻抗显然，，其中大小和εr及微带介质填充的几何形状及尺寸有关。微带线微带线的特性阻抗1、求首先需要求出这是一个静电场的边值问题，最典型的解法是多角形变换。以下介绍两种适用于薄导带（即）微带的计算结果：①当导体带条宽度w较大， 时，近似地把空气微带的电容看成是导带与金属接地板构成的平行板电容器和两导体边缘电容之和。而且在计算一个边缘电容时，把w看成无限宽而认为另一侧的边缘场对它没有影响，可先求出导体带一半的电容，总电容即为其两倍。这样得到的的近似解为（3.13）②对于实际尺寸的空气微带线，可通过多角形变换严格地把一个复平面上的场变换到另一个复平面上，从而可得到零厚度导体带空气微带特阻抗的精确公式：（3.14）K（k）和K’（k）是第一类全椭圆积分和余全椭圆积分，k为其模数。为了便于在工程上实际应用，可把式（3.14）的超越函数展开成级数表示式，再进一步取近似，可表达成下列有理函数形式（3.15a）(3.15b)在的范围内，上式的精度为±0.25%，而当时，精度为±1%

微带线微带线的特性阻抗2、求只要近似求出各个矩形的宽、高，就不难算出各部分的电容，从而可求得分布电容C1，再依式（3.10）可求得（3.16）从上式可以看到，当时，，相当于电力线都集中在介质内，边缘效应可以忽略不计而当时，，这相当于空气和介质的介电常数取平均值在一般情况下，的值应在上述两个极值之间。因此，式（3.16）也可以写成

（3.17）其中q称为填充系数，它表示介质的填充程度（3.18）q=0时=1，表示无介质片；q=1时，，表示介质全部填充。根据上述诸公式，已经用计算机对各种不同的介电常数和值算出了微带线的特性阻抗Zc

和等效介电常数，并列成表格或绘成曲线，设计时可查阅有关资料。微带线微带线的特性阻抗微带线的损耗微带线的损耗包括导体损耗、介质损耗和辐射损耗。微带是半开放性结构，不可避免地会有电磁辐射，但若微带基片的相对介电常数较大，且其横截面尺寸比(常称形状比)的值较大时，辐射损耗很小，可以近似忽略不计。因此，这里只分析其导体损耗和介质损耗当工作频率在10GHz以下时，其导体损耗比介质损耗要大得多微带线的导体衰减常数αc可利用“增量电感法”求得，其结果用图3—5表示，图中绘出了三种值的导体衰减与形状比的关系曲线其纵坐标αcZch/Rs称为归一化衰减常数，这里，Zc是微带线的特性阻抗，Rs是该微带所用导体的表面电阻率。由图可见，在所计算的范围内αc随的变化很小

微带线对微带线准TEM波而言，介质衰减常数αd也可按式(1.119)计算但微带是部分填充介质的传输线，其介质损耗比介质全部填充时要低，可以证明，其修正结果为(dB/m)（3.19）实际微带线的损耗往往比理论值大得多，这和工艺质量密切相关，因此，为了得到高质量的微带电路元件，除了合理的设计外，还要有高质量的微带制作工艺。微带线微带线的损耗微带线的色散及高次模1、微带线的色散前面的分析都是在假设微带线工作于TEM模的基础上进行的，但微带线是部分填充介质的双导体传输线，其主模的纵向分量并不等于零也就是说．微带线的主模是具有纵向场分量的色散波只是在工作频率低于某临界值f0时，可以忽略场的纵向分量(称作准TEM模)，因此导出的相速和等效介电常数都与频率无关当工作频率提高到一定程度后，理论分析和实测结果都表明：微带的色散特性不能被忽略，其等效介电常数将随频率的增加而增加。

f0由下式确定：（3.20）其中，Zc以Ω为单位，h以mm为单位

微带线2、微带线的高次模主要有两种：波导模 表面波模存在于导体条带和金属接地底板之间不依存于导带，沿着接地板和介质基片表面传输的波①波导模微带线可以看成是宽度为ω、高度为h、以相对介电常数为εr的介质填充的平行板波导其中能产生TE、TM型波导模最低次模是TE10模，其载止波长为（3.21）微带线TM模中最低次模是TM01模，其截止波长为（3.22）②表面波模表面波是沿介质表面传输的波，其大部分电磁能量集中于金属接地板以上的介质基片中，在介质表面以外随垂直方向按指数律衰减它们也可分为TE型和TM型两大类TM型表面波的最低次波记作TM0，其截止波长∞，因此在所有工作频率下它都存在，只能通过选择激励方式设法抑制最低次TE型表面波记作TE1，其截止波长为（3.23）表面波的相速在c和（c为光速）之间，而微带线准TEM波的相速亦在此范围内，当两者相速相同时，将发生强耦合而严重地破坏准TEM波的工作状态TE型和TM型表面波和准TEM波发生强耦合的频率分别为（3.24）为了保证微带线工作于准TEM模状态，在选择其尺寸及介质材料时，需考虑尽量抑制高次模，即要求而且，还要考虑到式（3.24），避免和表面波产生强耦合。微带线微带线的色散及高次模§3.3耦合带状线和耦合微带线当两根带状线或两根微带线的导体条带靠得很近时，其间必然存在电磁能量的耦合，从而构成耦合带状线和耦合微带线它们主要被用来构成微波滤波器、定向耦合器等微波元件。当耦合线的两条导带互相平行，尺寸参数完全相同时，称为对称耦合传输线若尺寸不相同，则称为非对称耦合传输线我们只分析对称耦合带状线和对称耦合微带线耦合传输线特性的分析—“奇偶模参量法”

耦合传输线的边界形状比单根线的更为复杂，严格地求解其场方程将十分困难，因此广泛采用“奇偶模参量法”进行分析适当选择横截面的尺寸，使构成耦合传输线的单根带状线和微带线都只传输TEM模线间的电磁耦合与静电、恒磁耦合相似可以用等效分布互电感Lm和等效分布互电容Cm表示于是，一段度长为dz的无耗耦合传输线有如右图所示的等效电路其中，、是有另一根传输线（未被激励）存在时，单根传输线的分布电感和分布电容，它不同于孤立单根传输线的分布参量、

利用克希霍夫定律，可以写出耦合传输线方程（3.25a）（3.25b）（3.25c）（3.25d）其中、、、分别为线1和线2上的电压和电流，而且耦合带状线和耦合微带线按照线性电路的叠加原理，线1和线2上的任意一对激励电压、

，总可以分解成一对等幅同相的偶模激励电压，和一对等幅反相的奇模激励电压，即其中（3.26）特殊情形下，当时，我们只考虑耦合传输线的介质是线性介质的情况对电流也进行类似分解，分别解出奇、偶模电压、电流后，就可得到耦合传输线方程（3.25）的解令式（3.25）中对于偶模激励情况，，将这些关系式代入式（3.25）中，注意到得到：（3.27a）（3.27b）式中称为电感耦合系数，称为耦合系数对于奇模激励情况，，

同样可得：（3.27c）（3.27d）求解式（3.27），可以得到耦合传输线上奇、偶模波的相位常数、相速和特性阻抗，相位常数（3.28a）（3.28b）相速（3.29a）（3.29b）特性阻抗（3.30a）（3.30b）由式（3.29）和（3.30），同样有（3.31）其中，是偶模分布电容；是奇模分布电容耦合带状线和耦合微带线奇偶模参量法耦合带状线

耦合带状线奇、偶模的横向电场分布如图奇模激励时，对称面上电场切向分量为零，此时对称面等效为“电壁”偶模激励时，对称面附近的电力线与对称面平行，而对称面上磁场的切向分量为零。此时对称面等效为“磁壁”。耦合带状线属介质均匀填充的传输线、奇、偶模波的相速与同样介质中的光速相等，亦等于孤立单根带状线中波的相速，即（3.32）上式中最后一步用到式（3.29），并将记为K。耦合带状线和耦合微带线下面导出耦合带状线奇、偶模特性阻抗与孤立单根带状线特性阻抗之间的关系如前所述，是有另一根传输线的导带存在时，单根传输线的分布电感由于导体条带是非导磁体，另一导带的存在对磁场分布影响不大，故可以认为，即与孤立单根带状线的分布电感相同而由式（3.32）可得于是（3.33a）（3.33b）式中，为孤立单根带状线的特性阻抗。由于，而且（3.34）上式说明，当两导体条带之间的距离越小时，其间电磁耦合越强，较大，K值较大，则奇、偶模特性阻抗之差越大；反之，两导带之间的距离越大时，耦合带状线奇、偶模特性阻抗之差越小极限情况下，当两导带相隔很远时，其间的电磁耦合可以忽略，则将式（3.32）代入式（3.31），耦合带状线的奇、偶模特性阻抗又可写成（3.35）在工程设计中，往往是根据电路元件性能的要求给定了奇、偶模特性阻抗、。而需要计算耦合带状线的尺寸和，可以查阅有关资料中给出的关系曲线和公式来进行计算。于是，对于各种实际结构的耦合带状线，应用保角变换法求得其奇、偶模分布电容后，就可得到、耦合带状线和耦合微带线耦合带状线耦合微带线

对称耦合微带线中奇、偶模的横向场分布如图实际使用的耦合微带线由于存在介质基片而属于介质非均匀填充的传输线与单微带线类似，也可以引入“等效介电常数”，它同样取决于电场在介质基片和空气中的相对分布情况。对于耦合微带线，由于奇、偶模的电场分布不同，它们有各自的等效介电常数和，因此耦合微带线奇、偶模的相速不再相同，而分别为（3.36）耦合带状线和耦合微带线用表示全部为空气填充的耦合微带线奇、偶模分布电容，而表示具有介质基片（）的实际耦合微带线的奇、偶模的分布电容，则（3.37）实际耦合微带线的奇、偶模特性阻抗为（3.38a）（3.38b）其中是空气填充的耦合微带线奇、偶模特性阻抗。由保角变换法或积分方程法可以求得、、、，从而可得到耦合微带线的奇、偶模特性阻抗和相速但求解过程相当复杂，在工程设计时可根据有关曲线或数据表进行计算。耦合微带线奇、偶模相速不同，即，这将使耦合微带线元件的性能降低，故耦合微带电路的工作频带不宽。耦合带状线和耦合微带线耦合微带线§3.4槽线、共面波导和鳍线槽线与共面波导在微波集成电路中，可以将介质基片的一面制作成槽线，另一面制成微带线，利用两者的耦合可制作出定向耦合器、滤波器等器件槽线和共面波导的磁场都有椭圆极化区，可以用来制作铁氧体非互易元件其中心导带和接地板间也有电位差，因而这种平面结构的传输线特别合适于并联连接外加元、器件，构成微波、毫米波混合集成电路，不必像微带线那样需要在基片上打孔共面波导传输的是准TEM模，在毫米波段，传输TE和TM混合波在横截面内，其电力线横跨槽缝，槽的两侧具有电位差槽线上传输的不是TEM波，而是截止频率的色散波HE01模为了使电磁波能量集中在槽口附近，减少辐射损耗，需要采用高介电常数的介质基片槽线与共面波导是在介质基片一面的薄导电层上刻制出一条和两条槽缝而构成，基片的另一面没有导电层槽线、共面波导和鳍线槽线色散波的特性阻抗可以采用槽间电压和平均传输功率来定义，即槽线与微带线相比，在相同的介质基片上，易于实现高的特性阻抗这是因为槽线的阻抗随槽宽的增大而升高，而微带线的阻抗则随导带宽度的变小而升高，线窄到一定程度就难以实现，所以不易制作出高特性阻抗的微带线槽线的色散比微带线严重，其特性阻抗随频率变化的程度比微带线的明显如在2.5—8.0GHZ频率围内，75Ω的槽线特性阻抗值约变化3%，而同样条件下的微带线特性阻抗值的变化小到可以忽略。槽线与微带线的比较：此特性阻抗决定于工作波长λ、基片的介电常数ε和槽线尺寸w、h槽线、共面波导和鳍线槽线与共面波导鳍线

在标准矩形波导中央E平面（即TE10模Ey所在的平面）上插入一块介质基片，基片上印制有金属鳍。单面鳍线、双面鳍线、对极型鳍线的金属鳍都与波导壁连通，因此统称为接地型鳍线；绝缘型鳍线，它的金属鳍与波导壁之间隔有绝缘的介质层矩形波导上、下宽壁厚度为介质中四分之一波长，以免电磁波能量外泄基片材料通常用聚四氟乙烯浸渍玻璃纤维板，其厚度甚小,相对介电常数也不大槽线、共面波导和鳍线鳍线的优点：鳍线在毫米波混合集成电路中很有应用前景自70年代中间期问世以来，鳍线受到普遍的重视已经研制出多种性能良好的鳍线毫米波有源和无源器件如混频器、振荡器、衰减器、定向耦合器等鳍线所传输的波是TE和TM的混合波，分别求出空气区和介质区的场，并利用界面上的边界条件可以求得其传输模的场解及传播特性常数。目前应用最多是谱域法，特性常数的计算结果往往绘成曲线图来表示。 色散小 单模工作频带宽 损耗比微带小 组装半导体元器件方便 很容易过渡到标准矩形波导槽线、共面波导和鳍线鳍线§3.5介质板波导除了常用的TEM波传输线（包括微带）和封闭的金属波导管以外，还有一类“开波导”（介质波导）也可作为导波系统。电磁波在这类波导外沿边界传输，其场强在垂直于波导界面的方向上随离开界面的距离按指数律衰减，而沿轴向依然按规律传输，这种波称为表面波，这类导引表面波的系统称作表面波波导。它们在毫米波高频段和亚毫米波范围以致光波波段都有着重要的意义，因为波长愈短，电磁能量愈能集中在表面波波导附近，波导的尺寸也能小到具有实用价值。光导纤维就是光波波段使用的介质波导介质波导也是毫米波集成电路和光集成电路的基础表面波波导的结构形式很多，如： 介质波导、介质镜像线、涂介质的单导线、H波导等等我们在这一节先分析对称介质板波导中表面波的特性对称介质板波导可以作为分析矩形介质波导、介质镜像线的基础对称介质板波导中表面波的特性上图表示对称介质板波导的纵向截面。设介质的耗损可以忽略，相对介电常数为，板的厚度取作2d，x＞d区和x＜－d区均为另一相同的介质，如空气当平面波从介质内入射到介质—空气交界面时，若入射角,便会产生全内反射，这是介质板能导引电磁波的物理基础设介质板的宽度很大，可以认为，场在y方向无变化，而波沿z的传输因子为，写出直角坐标系中麦克斯韦方程的分量式，并利用上面的关系，可以证明：介质板波导中传输的波可分为TM型（场分量为Hy、Ex、Ez）和TE型（场分量为Ey、Hx、Hz）两种模式，下面分别进讨论（3.39）因此有2dyx介质板波导1.TM模

TM模的磁场只有分量，而电场则有和分量可以先由波动方程求得，然后再由麦克斯韦方程求和（也可应用纵向场法求解）其中，。注意到式（3.39），则上式可写为如下形式：（3.40a）（3.40b）这里（3.41）、分别是空气中和介质中的截止波数、与的关系为：（3.42）由于波导结构的对称性，沿X方向的分布相对于的平面（对称面）可以是对称的（偶对称场），也可以是反对称的（奇对称场）。应满足如下波动方程：介质板波导对称介质板波导中表面波的特性对于偶对称的解，有，故偶对称解在平面上的切向电场分量等于零对于奇对称的解，则在面上因此，在平面上可以放置一个理想导体平面（电壁），而偶对称解相当于理想导体平面上有厚度的介质片时的TM模。此时在平面上可以放置磁壁（表面磁场切向分量为零，导磁率为无穷大的平面），即奇对称的解相当于平面为磁壁而介质片厚度为时的TM模下面先求偶对称形式的解介质板波导对称介质板波导中表面波的特性求偶对称形式的解考虑到场地平面为偶对称及在介质板外时的场量应为零，所以方程（3.40）的解应为（省）（3.43b）（3.43a）其中A、B为常数。为了解定、、，需要利用处的边界条件在空气和介质的交界面上，切向电场和切向磁场应该是连续的，由式（3.43）并考虑式（3.42），则有（3.44a）（3.44b）将以上两式相除，得到介质板波导偶次解的本征值方程（3.45a）再由式（3.41）得到（3.45b）由式（3.45a）和（3.45b）联立可以求得和，通常采用图解法

为此，我们以d2乘式（3.45b），以d乘式（3.45a）得（3.46a）（3.46b）利用和作为变量，式（3.46）表示出两组和之间的曲线关系，绘出两组曲线，交点即表示和的解介质板波导对称介质板波导中表面波的特性式（3—46b）表示一组和之间的曲线关系，我们在下图所示的平面上画出这组曲线式（3.57a）表示的曲线是一组半径为的圆下图是对聚苯乙烯（）介质板绘出的，各圆以为参数。上述两组曲线的交点就给出所需的和值介质板波导对称介质板波导中表面波的特性可以看出，对厚度一定的介质板波导，当输入的电磁波频率降低时，减小，圆半径也减小但不论圆半径多么小也至少存在一组解，即与正切函数第一分支的交点，它对应于第一个偶对称TM模——TM0模式，没有低频截止频率表面波的解要求P为正值，否则场量将随|X|的增大而呈指数律增大，这样的解没有物理意义因此，只有或者普遍地说只有（为任意整数）这类区域中的交点才给出正确的解当较大时，我们可能得到几种传输模式，但所有高次模式都有低频截止频率对于厚度为的介质板波导，偶对称的TMn模的截止波长所对应的值相应于经过点的圆参数因为此时，场在介质板外沿x轴均匀分布，已不再是表面波由式（3—46），当时（3.47）TM0型表面波的截止频率为零，这是表面波的一个重要特点另外，任意模式的表面波，其相速都小于自由空间的光速（3.48）这说明表面波是慢波对于一个确定的模式，求得、值以后，连同式（3.44a）一起代入式（3.43），再利用式（3.42），就可求得其全部场分量表示式。用同样的方法也可以导出奇对称式的TM模解介质板波导对称介质板波导中表面波的特性求偶对称形式的解考虑到解对平面为奇对称，在平面上，故方程（3—40）的解为如下形式（省）：（3.49a）（3.49b）（3.49c）在的空气/介质分界面上，、分量连续，可以得到（3.50a）再由式（3.41）同样可得（3.50b）两式联立可解得本征值和与偶对称解类似，亦可用图解法介质板波导对称介质板波导中表面波的特性下图绘出聚苯乙烯介质板的余切曲线簇和圆簇，两簇曲线的交点（且只取为正值的交点）即给出所求本征值由图可见，只在（为任意正整数）区内的交点才相当于表面波的解而且，所在奇对称TM模都具有低频截止现象，其截止波长所对应的圆参数为（3.51）合并式（3.47）和（3.51）可得对称介质板波导中TM型表面波的截止波长由下式给出：（3.52）式中，偶数时对应于偶对称TM模，而奇数时则为奇对称TM模介质板波导对称介质板波导中表面波的特性2.TE模TE模的场分量为、、，求解方法与TM模类似此时需求满足的波动方程得到的解后再由麦克斯韦方程分量式求得、，同样应由处的边界条件决定本征值方程，其求解过程留作习题介质板波导对称介质板波导中表面波的特性§3.6圆柱介质波导与光纤圆柱介质波导又称介质棒，其横截面为圆形，半径为a；介质的介电常数为，周围是另一介质，介电常数为光纤即光导纤维，实际上是一种圆柱形介质波导不过它是由折射率n（，在光学中，用折射率较为方便）相近的两种介质组成，分别称为圆柱芯和外加敷层；芯子的折射率n1略高于敷层的折射率n2

圆柱介质波导和光纤均传输表面波根据表面波的特性，当光纤敷层足够厚时，敷层外表面的场可以忽略不计，因此在求解过程中可视敷层为无限厚光纤的场解形式将与圆柱介质波导的一样，其求解过程与金属圆波导的类似设介质波导为无限长。介质无耗，采用圆柱坐标系，令其z轴与圆柱介质波导的轴线重合，电磁波沿z轴的传输因子为先解纵向场分量，和满足如下方程：（3.53）式中（3.54）用分离变量法求解式（3.53），设代入式（3.53）中得（3.55）和（3.56）式（3.55）的解为或，其中，我们在这里取的形式

圆柱介质波导与光纤式（3.56）的解在介质波导内部（）应取为第一类贝塞尔函数而在区为了满足处场强为零的边界条件，应取为第二类贝塞尔函数于是，纵向场分量为（省）利用第一章中导出的式（1.9），可以求得场的横向分量、、、，即上式中由式（3.54）决定，在区，；在区，

圆柱介质波导与光纤求得场分量表示式以后，利用场的边界条件可以得出本征值方程。边界条件要求在两介质的交界面上，切向场分量连续，即