2024河南中考数学专题复习第七章 第二节 尺规作图 课件

一题串讲重难点1河南9年真题子母题2第二节尺规作图

课标要求1.能用尺规作图(在尺规作图中，学生应了解作图的原理，保留作图的痕迹，不要求写出作法)：作一个角等于已知角；作一个角的平分线；2.能用尺规作图：作一条线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线；3.能用尺规作图：过直线外一点作这条直线的平行线；(2022年版课标新增)4.会利用基本作图作三角形：已知三边、两边及其夹角、两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高线作等腰三角形；已知一直角边和斜边作直角三角形．命题点1与尺规作图有关的计算(9年6考)

考情及趋势分析考情分析年份题号题型分值图形背景所作线段类型设问涉及知识点202318解答题9一般三角形角平分线需要作图(1)作角平分线；(2)证明线段相等角平分线的性质，全等三角形202218解答题2反比例函数垂直平分线需要作图求作垂直平分线反比例函数求表达式，垂直平分线性质、平行线判定202010选择题3等腰三角形相等的线段给出作图步骤，需要识别求四边形的面积等边三角形判定及性质，解直角三角形，三角形面积考情分析年份题号题型分值图形背景所作线段类型设问涉及知识点20199选择题3四边形垂直平分线给出作图步骤，需要识别求线段长全等三角形、平行四边形、菱形的判定及性质，勾股定理20189选择题3平行四边形结合平面直角坐标系角平分线给出作图步骤，需要识别求点坐标勾股定理，等腰三角形判定及性质，角平分线性质考情分析年份题号题型分值图形背景所作线段类型设问涉及知识点20157选择题3平行四边形角平分线作出图，不需要识别求线段长勾股定理，等腰三角形判定及性质，角平分线性质【考情总结】1.近2年分别在解答题中考查了作垂直平分线和作角平分线，其他年份均在选择题中考查根据作图步骤和痕迹判断作图并进行计算；2.主要考查的作图有：作相等线段、作角平分线和作垂直平分线；每年考法不同．考情及趋势分析命题点2与尺规作图有关的探究与应用(2021.23)考情分析年份题号题型分值背景设问涉及知识点202123解答题10尺规作角平分线(1)写证明全等依据；(2)证明角平分线；(3)求线段长全等三角形判定及判定依据，角平分线性质一题串讲重难点基础知识巩固例1作一条线段等于已知线段已知：线段a，求作：OA＝a(根据作法使用直尺和圆规作图)．作法：(1)作射线OP；(2)以点O为圆心，____为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求作的线段．这种作一条线段等于已知线段的作图依据是______________________________．a圆上的点到圆心的距离等于半径A作图如图所示.例2作一个角等于已知角已知：∠α，求作：∠AO′B＝∠α(根据作法使用直尺和圆规作图)．作法：(1)在∠α上以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，交∠α的两边于点P，Q；(2)作射线O′A；(3)以点O′为圆心，____________长为半径作弧，交O′A于点M，可得到O′M＝OP；(4)以点M为圆心，______长为半径作弧，与前弧相交于点N，连接PQ，MN，可得到MN＝PQ；(5)过点N作射线O′B，∠AO′B即为所求作的角．OP(或OQ)PQ作图如解图所示.例2题解图请证明∠AO′B＝∠α，并说明依据．则△OPQ≌△O′MN(SSS)，即∠AO′B＝∠α，依据：三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等．证明：如解图，连接PQ，MN，根据作图痕迹可知，OQ＝OP，OQ＝O′N，OP＝O′M，PQ＝MN，例2题解图例3作已知角的平分线已知：∠AOB，求作：∠AOB的平分线(根据作法使用直尺和圆规作图)．作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M；

(2)分别以点M，N为圆心，以__________长为半径作弧，两弧相交于点P；

(3)过点O作射线OP，OP即为∠AOB的平分线．大于

MN(1)请填空并说明理由；(1)理由：若不大于

MN，则两弧没有交点；作图如解图所示．例3题解图(2)证明∠BOP＝∠AOP，并说明依据．(2)证明：如解图，连接MP，NP，根据作图可知：OM＝ON，MP＝NP，OP＝OP，例3题解图则△MOP≌△NOP(SSS)，可得∠BOP＝∠AOP，即OP为∠AOB的平分线，依据：三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等．例4作线段的垂直平分线已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线(根据作法使用直尺和圆规作图)．

作法：(1)分别以点A，B为圆心，__________的长为半径，在AB两侧作弧，两

弧交于M，N两点；(2)连接两弧交点M，N所成直线l即为所求作的垂直平分线．(1)请填空并说明理由；大于

AB；理由：若不大于

AB，则两弧没有交点；作图如解图所示．例4题解图(2)请证明直线l垂直平分线段AB，并说明依据．(2)证明：如解图，连接AM，BM，AN，BN，例4题解图根据作图可知：AM＝AN，BM＝BN，且AM＝MB，∴AM＝BM＝AN＝BN，∴点M，N均在线段AB的垂直平分线上，∴直线l垂直平分线段AB.依据：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．例5过直线上一点作已知直线的垂线已知：直线l及直线l上一点P，求作：直线PN，使得PN⊥l(根据作法使用直尺和圆规作图)．作法：(1)以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，交直线l于点A和点B，可得到PA＝PB；(2)分别以点A，B为圆心，以____________长为半径在直线两侧作弧，两弧交于M，N两点，连接MA，MB，NA，NB，可得到MA＝MB＝NA＝______；(3)连接MN，则直线MN即为所求作的垂线．(1)请填空并说明理由；大于

AB；NB理由：若不大于

AB，则两弧没有交点；作图如解图所示．例5题解图(2)请证明MN⊥AB，并说明依据．(2)证明：如解图，连接AM，BM，AN，BN，由作图知AM＝MB，AP＝BP，例5题解图∴△AMB为等腰三角形，且P为AB的中点，∴MP⊥AB.依据：等腰三角形“三线合一”．例6过直线外一点作已知直线的垂线已知：直线l及直线l外一点P，求作：直线PN，使得PN⊥l(根据作法使用直尺和圆规作图)．作法：(1)在直线l另一侧取点M；(2)以点P为圆心，______长为半径作弧，交直线l于点A和点B，连接PA，PB，可得到PA＝PB；(3)分别以点A，B为圆心，以____________长为半径作弧，交点M同侧于点N，连接AN，BN，可得到AN＝BN；(4)连接PN，则直线PN即为所求作的垂线．(1)请填空并说明理由．大于

ABPM理由：若不大于

AB，则两弧没有交点；作图如解图所示．例6题解图(2)请证明MN⊥AB，并说明依据．(2)证明：如解图，连接AP，BP，AN，BN，例6题解图根据作图可知：AP＝BP，AN＝BN，结合PN为公共边，可得△ANP≌△BNP(SSS)，则A，B关于PN对称，即PN垂直平分AB.依据：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；(3)为什么要在另一侧取一点M？在直线上取一点M，或者在同侧取一点M，可以吗？(3)解：在另一侧取点M，可使以P为圆心，PM长为半径作弧时，与直线l有两个交点；不可以，在直线上取一点M，可能存在以P为圆心，PM长为半径作弧与直线l只有一个交点的情况；在直线同侧取点，可能与直线无交点．例6题解图重难考法突破与尺规作图有关的计算(9年6考)例7如图，已知平行四边形ABCD.(1)如图①，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，BC于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于

MN为半径画弧交于点P，作射线BP交AD于点E，按照上述作图步骤，下列说法不正确的是(

)A.∠ABE＝∠CBEB．△ABE为等腰三角形C.BE一定经过△ABC的内心D.BE＝BC例7题图①D(2)如图②，连接AC，过点A作BC边上的高AH.若BC＝5，∠B＝45°，tan∠ACB＝

，请先用尺规作图的方法作出图形，再求平行四边形ABCD的面积；例7题图②(2)解：作图如解图①；例7题解图①设BH＝x，∵∠B＝45°，AH⊥BC，∴AH＝BH＝x，∵tan∠ACB＝

，∴在Rt△AHC中，

，即

，

∴CH＝

，

∴BC＝BH＋CH＝x＋

＝5，解得x＝3，∴AH＝3，S▱ABCD＝BC·AH＝5×3＝15.例7题解图①证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，即AP∥CD，∴∠BPM＝∠CDM，∵MN为BC的垂直平分线，∴BM＝CM，(3)如图③，作BC的垂直平分线MN，交BC于点M，交AD于点N.连接DM并延长交AB的延长线于点P，请先用尺规作图的方法作出图形，再证明：AP＝2BP；例7题图③(3)解：作图如解图②；例7题解图②在△BPM和△CDM中，

∴△BPM≌△CDM(AAS)，∴BP＝CD，∴AB＝BP，∴AP＝2BP.例7题解图②

解题关键点根据垂直平分线与平行四边形的性质证明△BPM≌△CDM，可得AP＝2BP.(4)如图④，在AD边上找一点E，使2∠AEB＝∠ABC.请先用尺规作图的方法作出图形，再证明．例7题图④(4)解：解法一：作图如解图③，例7题解图③证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，由作图可知BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠CBE，∴2∠AEB＝∠ABC.解法二：作图如解图④，例7题解图④证明：如解图④，连接BE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，由作图可知AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠ABC＝∠ABE＋∠CBE，∴2∠AEB＝∠ABC.例8

[利用图形性质作图判定平行四边形](2023河北)综合实践课上，嘉嘉画出△ABD，利用尺规作图找一点C，使得四边形ABCD为平行四边形．图①～图③是其作图过程．在嘉嘉的作法中，可直接判定四边形ABCD为平行四边形的条件是(

)A.两组对边分别平行B.两组对边分别相等C.对角线互相平分D.一组对边平行且相等图①图②图③例8题图C河南9年真题子母题1命题点与尺规作图有关的计算9年6考1.(2021河南9题改编)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3.分别以点A，C为圆心，大于

AC长为半径作弧，两弧交于点E，作射线BE交AD于点F，交AC于点O.若点O是AC的中点，则BF的长为(

)A.2B.2C.4D.第1题图B2.(2023河南10题3分)如图，在△ABC中，AB＝BC＝

，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，则四边形ABCD的面积为(

)A.6

B.9

C.6

D.3第2题图D2.1变两弧交点位置，变设问———将点D变到AC的另一侧，将求四边形的面积变为求线段的长如图，在△ABC中，AB＝BC＝

，∠BAC＝30°，分别以点A，C为圆心，AC的长为半径作弧，两弧交于点D，连接DA，DC，BD，则BD的长为(

)A.

B.

C.2

D.3子题2.1图B3.(2022河南7题3分)如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝6，AB＝5，则AE的长为(

)A.4B.6C.8D.10第3题图C3.1变背景变设问——与平面直角坐标系结合，将求AE的长变为求点E的坐标如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A在y轴上，B，C在x轴上，以A为圆心，AB长为半径画弧，交AD于点F，连接BF，分别以点B，F为圆心，大于

BF长为半径画弧，两弧交于点G，连接AG，并延长交BC边于点E，若BF＝6，AB＝5，则点E的坐标为(

)A.(6，0)

B.(，0)C.(，0)D.(7，0)子题3.1图B4.(2023河南18题9分)如图，△ABC中，点D在边AC上，且AD＝AB.(1)请用无刻度的直尺和圆规作出∠A的平分线(保留作图痕迹，不写作法)；第4题图(1)解：如解图所示，射线AP即为所求；(4分)【作法提示】分别以点B，D为圆心，大于

BD的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，射线AP即为所求(方法不唯一)．第4题解图

一题多解法思路点拨：第4(1)题解法一：连接BD，作BD的垂直平分线(图形的对称性)；解法二：以AB，AD为边作菱形(图形的性质).(2)若(1)中所作的角平分线与边BC交于点E，连接DE.求证：DE＝BE.(2)证明：如解图，第4题解图∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，(6分)在△BAE和△DAE中，

∴△BAE≌DAE(SAS)．∴DE＝BE.(9分)2命题点与尺规作图有关的探究与应用2021.235.(2021河南23题10分)下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务．小明：如图①，(1)分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF(点C，E不重合)；(2)分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；(3)作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．简述理由如下：第5题图①由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO.则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的平分线．小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如下，如图②，(1)分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF(点C，E不重合)；(2)连接DE，CF，交点为P；(3)作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线．…第5题图②第5题图①任务：(1)小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是________(填序号)；①SSS

②SAS

③AAS

④ASA

⑤HL⑤第5题图①(2)小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明理由；第5题图②(2)射线OP是∠AOB的平分线，(3分)理由如下：如解图①，连接EF，∵OC＝OD，OE＝OF，∴∠OEF＝∠OFE，OE－OC＝OF－OD，即CE＝DF.又∵EF＝FE，∴△CEF≌△DFE(SAS)，(4分)∴∠CFE＝∠DEF，∴PE＝PF，第5题解图①∴OP是EF的垂直平分线．在等腰△OEF中，由三线合一性质知OP平分∠AOB，即OP是∠AOB的平分线；(8分)第5题解图①(3)如图③，已知∠AOB＝60°，点E，F分别在射线OA，OB上，且OE＝OF＝

＋1，点C，D分别为射线OA，OB上的动点，且OC