2024河南中考数学专题复习 旋转综合训练 课件

旋转综合训练针对15题：与旋转有关的几何图形的计算1.如图，四边形ABCD是正方形，且AB＝

，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转后得到正方形AEFG，在旋转过程中，当点A，G，C三点共线时，则点F到BC的距离为____________．第1题图2.(2023平顶山二模)如图，在矩形ABCD中，点E为边BC上一点，且AB＝，BE＝1，连接AE，将△ABE绕点A逆时针旋转α(0°＜α＜360°)，当点B的对应点B′落在直线AD上时，点E的运动路径的长为______．

(结果保留π)第2题图π或3π3.如图，在等边△ABC中，AB＝4，过点A的射线l绕点A旋转，过点C作CD⊥射线l于点D，连接BD，当AD＝CD时，△BCD的面积为______________．第3题图4.(2023河南黑白卷)如图，在矩形ABCD中，点E为AD的中点，将DE绕点D旋转得到DF，连接AF，G为AF的中点，连接BG，若AB＝2

，AD＝4，当DF∥BG时，BG的长为_____．第4题图3或5

解题关键点需分点F在矩形内部与点F在矩形外部两种情况讨论，结合矩形性质求解．5.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，将△ABC绕点A旋转，得到△AMN，连接BN，P是BN的中点，连接AP.在旋转过程中，当∠CBN＝15°时，

的值为________．第5题图

解题关键点需分点P在BC上方与点P在BC下方两种情况讨论．6.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝2，将Rt△ABC绕点C旋转得到Rt△A′B′C，若其中一个三角形较长的直角边与另一个三角形的斜边垂直，则A′B的长为______．针对23题：与旋转有关的探究链接：微专题4手拉手模型；微专题13特殊三角形的分类讨论；微专题14线段或直线上点位置不确定产生的分类讨论；微专题16与旋转有关的分类讨论1.

综合与实践问题情境：如图①，在矩形ABCD中，E为BC上一点，且AE平分∠BAD交BC于点E，点M是边AB上一点(不与点A重合)，点N为线段AE上一点(不与点A重合)，将∠ANM绕点N顺时针旋转90°得到∠QNP，两边分别交直线AD于点Q，P.(1)独立思考：试判断线段AM与PQ的数量关系，并说明理由；第1题图①第1题图①(1)解：AM＝PQ；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°.又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝

∠BAD＝

×90°＝45°，由旋转可知：∠MNP＝∠ANQ＝90°，∠ANM＝∠QNP，∴∠AQN＝∠DAE＝∠BAE＝45°，∴AN＝QN，又∵∠AQN＝∠BAE＝45°，∠ANM＝∠QNP，∴△AMN≌△QPN(ASA)，∴AM＝PQ；(2)如图②，当MN∥BC时，判断四边形AMNP的形状，并说明理由；第1题图②(2)解：四边形AMNP是正方形；理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠B＝90°.又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝

∠BAD＝

×90°＝45°，∵MN∥BC，∴∠AMN＝∠B＝90°，∠ANM＝90°－∠BAE＝90°－45°＝45°，∴AM＝MN，由旋转可知：∠MNP＝90°，∴四边形AMNP是矩形，又∵AM＝MN，∴四边形AMNP是正方形；第1题图②(3)解决问题：如图③，当点M与点B重合，且AN＝AM时，求证：△APN≌△ENM；第1题图③(3)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AD∥BC，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE＝

∠BAD＝

×90°＝45°，又∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠DAE＝45°，∴∠AEB＝∠BAE＝45°，∴AB＝EB＝EM，又∵AN＝AM＝AB，∴AN＝EM，∠AMN＝∠ANM，由旋转可知：∠MNP＝90°，∴∠MNP－∠ANM＝∠ABC－∠AMN，∴∠ANP＝∠EMN，又∵AN＝EM，∠DAE＝∠AEB＝45°，∴△APN≌△ENM(ASA)；第1题图③(4)探索发现：当以点A，N，P为顶点的三角形是以AN为腰的等腰三角形时，请直接写出的值．第1题图③【解法提示】由题易证△AMN≌△QPN，分两种情况：①如解图①，当AN＝AP，且点P在线段AD上时，

；②如解图②，当AN＝AP，且点P在DA延长线上时，.第1题解图①第1题解图②(4)解：

的值为

－1或

＋1.

解题关键点需分两种情况讨论：①AN＝AP且点P在线段AD上；②AN＝AP且点P在DA延长线上，利用△AMN≌△QPN求解．2.

综合与实践综合与实践综合与实践课上，老师让学生们以“直角三角形”为背景展开数学活动．问题情境：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AO平分∠BAC.(1)操作判断如图①，当AB＝AC时，过点O作OD∥AB交AC于点D，连接BD，则∠BOD的度数是______，线段BD与OD的数量关系是________；第2题图①【解法提示】∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°.∵OD∥AB，∴∠BAC＝∠ODC＝90°，∴∠COD＝45°，∴∠BOD＝135°.∵AO平分∠BAC，∴OB＝OC.∵OD∥AB，∴CD＝AD，设AB＝AC＝2a，则AD＝a，OD＝

AB＝a.在Rt△ABD中，BD＝

＝

a，∴BD＝

OD.第2题图①解：(1)135°，BD＝

OD；(2)迁移探究如图②，若AB≠AC，点P是AO上任一点(不与点A，O重合)，过点P作PD∥AB交AC于点D，点E是AB上一点，且AE＝2AD，连接PE，DE，请写出∠EPD的度数及线段DE与PD的数量关系，并说明理由；第2题图②(2)∠EPD＝135°，DE＝

DP.理由如下：如图，过点P作PF⊥AB交AB于点F.∟F∵∠BAC＝90°，AO平分∠BAC，∴∠BAO＝∠CAO＝45°.∵PD∥AB，∴∠ADP＝∠BAC＝90°.∴四边形ADPF为正方形，∴AD＝AF，∠DPF＝90°.∵AE＝2AD，∴AF＝EF＝PF.∵PF⊥AB，∴AP＝EP，∴∠BAP＝∠AEP＝45°，∴∠EPF＝45°，∴∠EPD＝135°；设AE＝2b，则AD＝PD＝b，在Rt△ADE中，DE＝

＝

b，∴DE＝

PD；第2题图②∟F(3)拓展应用在(2)的条件下，将△EAD绕点E旋转得到△EA′D′，当点P，E，A′在同一直线上，且DE＝

时，连接A′D，请直接写出△PA′D的面积．第2题图②【解法提示】分两种情况讨论：①如解图②，当点P在线段A′E上时，延长EA′交AC于点G，由(2)得∠APE＝∠PDG＝90°，DE＝

PD＝

，∴PD＝1.第2题解图②∵∠BAC＝90°，AO平分∠BAC，∴∠PGD＝45°，∴AG＝AE＝2PD＝2，PG＝PE＝

AE＝

，∴△PA′D中A′P边上的高为

PG＝

.由旋转可得AE＝A′E＝2，∴A′P＝A′E－PE＝2－

，∴△PA′D的面积为

(2－

)×＝

；第2题解图②第2题解图③②如解图③，当点P在射线A′E的延长线上时，△PA′D中A′P边上的高为

.∵A′P＝A′E＋EP＝2＋

.∴△PA′D的面积为

(2＋

)×＝

.综上所述，△PA′D的面积为

或

.

解题关键点需分两种情况讨论：①点P在线段A′E上；②点P在线段A′E的延长线上．3.(2023南阳二模)数学综合实践课上，同学们以“等腰三角形的旋转”为主题，开展如下探究活动：(1)【操作探究】如图①，△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，连接BE，则∠EBC＝______°.若F是BE的中点，连接AF，则AF与DE的数量关系是________；第3题图①【解法提示】∵△ABC为等边三角形，将△ABC绕点A旋转180°，得到△ADE，∴AC＝AE＝AB＝AD，∠ABC＝∠C＝∠ADE，∴∠AEB＝∠ABE，∴2(∠ABE＋∠ABC)＝180°，∴∠EBC＝90°；∵F是BE的中点，A是BD的中点，∴AF＝

DE.解：(1)90；AF＝

DE；第3题图①(2)【迁移探究】如图②，将(1)中的△ABC绕点A逆时针旋转30°，得到△ADE，其他条件不变，求出此时∠EBC的度数及AF与DE的数量关系；第3题图②(2)由旋转的性质，可知AB＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝30°，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴∠BAE＝∠BAD＋∠DAE＝90°，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠ABE＝45°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝15°.∵F是BE的中点，∴AF＝

BE＝

AB，∴AF＝

DE，∴∠EBC＝15°，AF＝

DE；(3)【拓展应用】如图③，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，将△ABC绕点A旋转，得到△ADE，连接BE，F是BE的中点，连接AF.在旋转过程中，当∠EBC＝15°时，直接写出线段AF的长．第3题图③【解法提示】分以下两种情况进行讨论：①如解图①，当点E在BC下方时，根据题意，得△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC＝45°.∵∠EBC＝15°，∴∠ABF＝60°，∵AB＝AE，F是BE的中点，∴AF⊥BE，∴AF＝

AB＝

；第3题解图①②如解图②，当点E在BC上方时，同理，可得∠ABE＝30°，AF＝

AB＝1，综上所述，AF的长为

或1.第3题解图②(3)

或1.

解题关键点需分两种情况讨论：①点E在BC下方；②点E在BC上方．4.综合与实践(1)问题发现如图①，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，在△ABC的外部作等边三角形CDE，且CD＜AB，连接AE，BD，取BD的中点F，连接AF.如图②，将△CDE绕点C旋转，使点E落在线段AC上．猜想并填空：①

的值是________；②∠EAF的度数是________；第4题图①第4题图②【解法提示】如图，设BC的中点为G，连接FG，第4题图②G∟H过点F作FH⊥CD于点H，∵∠BAC＝120°，AB＝AC，△CDE是等边三角形，∴∠ACB＝30°，∠DCE＝60°，∴∠BCD＝90°，∵F为BD的中点，∴FG为Rt△BCD的中位线，∴FG∥CD，FG＝

CD，易得A，F，G三点共线，DC⊥BC.又∵△CDE是等边三角形，FH⊥CD，∴F，E，H三点共线，∴FE∥BC，FH⊥AG.∴∠AEF＝∠ACB＝30°，∴＝

，∠EAF＝60°.解：(1)①；②60°；第4题图②G∟H(2)问题探究在(1)的基础上，继续将△CDE绕点C旋转，当点E落在线段BC上时，如图③，(1)中猜想的结论①与②是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；第4题图③(2)(1)中猜想的结论①与②都成立，证明如下：如解图②，延长BA到M，使AM＝AB，连接MD，MC，M∵F是BD的中点，∴BF＝FD.∴AF是△BDM的中位线，∴AF∥DM，AF＝

DM，∵AB＝AC，AM＝AB，∴AC＝AM.又∵∠BAC＝120°，∴∠CAM＝180°－∠BAC＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴CM＝CA，∠ACM＝∠AMC＝60°，∵△CDE是等边三角形，∴CD＝CE，∠ECD＝60°，∴∠ACM＝∠ECD，第4题图③M∴∠ACM－∠ACD＝∠ECD－∠ACD，即∠DCM＝∠ECA，∴△DCM≌△ECA，∴MD＝AE，∠DMC＝∠EAC.∵AF＝

DM，∴AF＝

AE，即

＝

.∵AF∥DM，∴∠BAF＝∠AMD.又∵∠EAC＝∠DMC，∴∠BAF＋∠EAC＝∠AMD＋∠DMC＝∠AMC＝60°，∵∠BAC＝120°，∴∠EAF＝∠BAC－(∠BAF＋∠EAC)＝60°；第4题图③M(3)问题解决在△CDE绕点C旋转的过程中，若AB＝6，CD＝2，当CE⊥BC时，请直接写出线段AF的长度．第4题图③第4题解图③【解法提示】①当点E在BC上方时，如解图③，过点E作EN⊥AC于点N，∴∠ECN＝90°－∠ACB＝60°，∵CD＝CE＝2，∴CN＝

CE＝1，∴NE＝

，AN＝AC－CN＝AB－CN＝5.在Rt△ANE中，AE＝

＝2

，由(1)(2)易得AF＝

AE，∴AF＝

；②当点E在BC下方时，如解图④，过点E作EP⊥AC交AC的延长线于点P，∵∠ACB＝30°，CE⊥BC，∴∠ECP＝60°，∴CP＝

CE＝

CD＝1，第4题解图③第4题解图④∴AP＝7，EP＝

.在Rt△APE中，AE＝

＝2

，由(1)(2)易得AF＝

AE，∴AF＝

.综上所述，AF的长为

或

.第4题解图④

解题关键点需分两种情况讨论：①点E在BC上方；②点E在BC下方．5.在Rt△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，D为边BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF.(1)如图①，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为__________；第5题图①【解法提示】∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵D为边BC的中点，∴AD＝BD＝CD，∵四边形CDEF是正方形，∴EF＝DE，∠ADC＝90°，∴∠ADB＝90°，∴△BDE为等腰直角三角形，∴，∴BE＝

DE＝

AF.BE＝

A