高考数学一轮复习考点探究与题型突破第11讲指数与指数函数(原卷版+解析)

指数与指数函数1．根式(1)根式的概念①若，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．②a的n次方根的表示：xn＝a⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，当n为奇数且n∈N*，n>1时，,x＝±\r(n,a)，当n为偶数且n∈N*时.))(2)根式的性质①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))n为偶数.))2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；②负分数指数幂：a－eq\s\up6(\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；③0的正分数指数幂等于，0的负分数指数幂．(2)有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝ax(a>0且a≠1)a>10<a<1图象定义域值域性质过定点当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1在R上是增函数在R上是减函数考点1指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．[典例]1．(2023·全国·高三专题练习）（1）计算；（2）若，求的值．2．(2023·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）；（2）；（3）；（4）.[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）计算：.2．(2023·全国·高三专题练习）（1）计算：；（2）化简：.3．(2023·全国·高三专题练习）已知，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）.4．(2023·全国·高三专题练习）已知，求的值．5．(2023·全国·高三专题练习）分别计算下列数值：（1）；（2）已知，，求.6．(2023·全国·高三专题练习）化简：（1）（2）(a>0，b>0).（3）.考点2指数函数的图象及应用[名师点睛]1．对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．[典例]1．(2023·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数（且）的图象如图所示，则（

）A． B． C． D．2．(2023·北京·高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（

）A． B． C． D．[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（

）A． B．C． D．考点3指数函数的性质及其应用[名师点睛]1．比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．[典例]1．(2023·天津河西·一模）设，，，则a，b，c的大小关系为（

）．A． B．C． D．2．（多选）(2023·全国·高三专题练习）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（

）A． B． C． D．3．(2023·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，则不等式的解集为___________.4．(2023·北京·高三专题练习）设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．(2023·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数是奇函数，是偶函数.（1）求和的值；（2）设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.[举一反三]1．(2023·天津·一模）设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．2．(2023·山西吕梁·二模）已知，则（

）A． B． C． D．3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得最小值，且，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．4．(2023·上海市进才中学高三期中）设函数，若存在使不等式成立，则实数a的取值范围为______.5．(2023·全国·高三专题练习）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是________6．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，若方程有解，则实数的取值范围是_________．7．(2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）是定义在R上的偶函数，且.（1）求的解析式；（2）若函数在上的最小值是1，求m的值.8．(2023·全国·高三专题练习）已知函数且．（1）求的值；（2）若函数有零点，求实数的取值范围．（3）当时，恒成立，求实数的取值范围．9．(2023·北京·高三专题练习）定义在上的函数，如果满足:对任意存在常数都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界.已知.（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数﹐请说明理由﹔（2）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围.指数与指数函数1．根式(1)根式的概念①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子eq\r(n,a)叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．②a的n次方根的表示：xn＝a⇒eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\r(n,a)，当n为奇数且n∈N*，n>1时，,x＝±\r(n,a)，当n为偶数且n∈N*时.))(2)根式的性质①(eq\r(n,a))n＝a(n∈N*，且n>1)．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n为奇数，,|a|＝\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≥0，,－a，a<0，))n为偶数.))2．有理数指数幂(1)幂的有关概念①正分数指数幂：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a>0，m，n∈N*，且n>1)；②负分数指数幂：a－eq\s\up6(\f(m,n))＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a>0，m，n∈N*，且n>1)；③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义．(2)有理数指数幂的运算性质①aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②eq\f(ar,as)＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．3．指数函数的图象与性质y＝ax(a>0且a≠1)a>10<a<1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0，1)当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1在R上是增函数在R上是减函数考点1指数幂的运算[名师点睛]1．对于指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：(1)必须是同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．[典例]1．(2023·全国·高三专题练习）（1）计算；（2）若，求的值．【解】（1）0.3﹣1﹣36+33+136+27+15．（2）若，∴x2＝6，x4，∴x2+x﹣2+2＝16，∴x2+x﹣2＝14．2．(2023·全国·高三专题练习）化简下列各式(其中各字母均为正数)．（1）；（2）；（3）；（4）.【解】（1）原式；（2）原式；（3）原式；（4）原式.[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）计算：.【解】，，，.2．(2023·全国·高三专题练习）（1）计算：；（2）化简：.【解】（1）原式；（2）原式.3．(2023·全国·高三专题练习）已知，求下列各式的值．（1）；（2）；（3）.【解】（1）将两边平方得，所以．（2）将两边平方得，所以．（3）由（1）（2）可得4．(2023·全国·高三专题练习）已知，求的值．【解】设，则，所以，于是，，而，将平方得，于是，所以原式.5．(2023·全国·高三专题练习）分别计算下列数值：（1）；（2）已知，，求.【解】（1）原式，，，（2）∵，∴∵，∴，∴，又∵，∵，∴，∴.6．(2023·全国·高三专题练习）化简：（1）（2）(a>0，b>0).（3）.【解】（1）原式（2）原式＝.（3）原式.考点2指数函数的图象及应用[名师点睛]1．对于有关指数型函数的图像问题，一般是从最基本的指数函数的图像入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2．有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像，数形结合求解．[典例]1．(2023·浙江·宁波诺丁汉附中模拟预测）函数（且）的图象如图所示，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，由图得，所以，所以排除AB，因为由图象可知当时，，所以，所以排除C，故选：D2．(2023·北京·高三专题练习）若函数（且）的图像经过定点P，则点P的坐标是（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为，所以当，即时，函数值为定值0，所以点P坐标为.另解：因为可以由向右平移一个单位长度后，再向下平移1个单位长度得到，由过定点，所以过定点.故选：B[举一反三]1．(2023·全国·高三专题练习）已知函数（且）的图象过定点，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】当时，，故，所以不等式为，解得，所以不等式的解集为.故选：D2．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象如图所示，则的图象可能是（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】解：令，解得、，根据二次函数图形可知，、两个数一个大于，一个大于且小于，①当，时，则在定义域上单调递增，且，即，所以满足条件的函数图形为C；②当，时，则在定义域上单调递减，且，所以满足条件的函数图形为A；故选：AC考点3指数函数的性质及其应用[名师点睛]1．比较指数式的大小的方法：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小．2．指数方程(不等式)的求解主要利用指数函数的单调性进行转化．3．涉及指数函数的综合问题，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．[典例]1．(2023·天津河西·一模）设，，，则a，b，c的大小关系为（

）．A． B．C． D．答案：D【解析】由指数函数的性质，可得，所以，根据对数的运算性质，可得，所以，由，，所以，即，所以.故选：D2．（多选）(2023·全国·高三专题练习）若指数函数在区间上的最大值和最小值的和为，则的值可能是（

）A． B． C． D．答案：BC【解析】当时，函数在区间上为单调递增函数，当时，，当时，，所以，即，解得或，因为，所以；当时，函数在区间上为单调递减函数，当时，，当时，，所以，即，解得或，因为，所以.综上可得，实数的值为或.故选：BC3．(2023·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知函数，则不等式的解集为___________.答案：【解析】①当时，，在上单调递增，，又，恒成立；②当时，，，又，恒成立；③当时，，，；恒成立；④当时，，，，，解得：，；综上所述：不等式的解集为.故答案为：.4．(2023·北京·高三专题练习）设是定义在上的偶函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则正数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，，，故对任意的，，对任意的，不等式恒成立，即，即对任意的恒成立，且为正数，则，可得，所以，，可得.故选：A.5．(2023·重庆市朝阳中学高三开学考试）已知函数是奇函数，是偶函数.（1）求和的值；（2）设，若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.【解】解：（1）因为函数是奇函数，所以得，则，经检验是奇函数.又是偶函数，所以得，则，经检验是偶函数，∴.（2），，则由已知得，存在，使不等式成立，因为，易知单调递增，∴，∴，∴.所以，又，解得，所以.[举一反三]1．(2023·天津·一模）设，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】，，，，；，，；.故选：C.2．(2023·山西吕梁·二模）已知，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为函数单调递减，故.因为，所以.又，所以.综上，故选B.3．(2023·全国·高三专题练习）已知函数在处取得最小值，且，则实数的取值范围（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由函数在处取得最小值得，则且当时，又，所以，得．又，所以，即，整理得，，解得．综上，.故选：C．4．(2023·上海市进才中学高三期中）设函数，若存在使不等式成立，则实数a的取值范围为______.答案：【解析】解：由，得，两边同除，即，又，当且仅当，即时取等号,所以，所以.故答案为：5．(2023·全国·高三专题练习）设函数，则使得不等式成立的实数的取值范围是________答案：【解析】函数的定义域为，，所以函数是奇函数，并由解析式可知函数是增函数，原不等式可化为，所以，解得，故的取值范