高一数学上学期期中期末重点突破(人教A版必修第一册)04充分条件与必要条件的求解问题(原卷版+解析)

常考题型04充分条件与必要条件的求解问题一、充分、必要条件与充要条件的含义(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；(3)若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(4)若p⇏q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(5)若p⇏q且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件.二、命题成立的充分、必要、充要条件的探求(1)充分条件：寻求q的充分条件，即p⇒q.(2)必要条件：寻求q的必要条件，即q⇒p.(3)充要条件:p②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件。考法一：充分、必要条件的判定1.定义法：定义法是判断充分、必要条件最基本的方法，步骤如下：①分清条件与结论(p与q)；②找推式：即判断p⇒q及q⇒p是否成立，当p，q中有一方较难(如p)、一方较易(如q)时，我们可先找p的等价条件p'，再看p'与q的关系；③下结论：p⇒qp⇍q⟺p是q的充分不必要条件，p⇏qp⇍q⟺p2.集合法设p={x|p(x)}，q={x|q(x)}，则①若p⊆q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；②若P⫋Q,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；③若p=q，则p是q的充要条件(q也是p的充要条件)；④若P⊈Q且Q⊈P,则p是q的既不充分也不必要条件。3.等价法¬q是¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；¬q是¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；¬q是¬p的充要条件⇔p是q的充要条件；¬q是¬p的既不充分也不必要条件⇔p是q的既不充分也不必要条件。考法二：充要条件的证明1.证明“p是q的充要条件”时，要分别从“p⇒q”和“q⇒p”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面，但是，在表述中要注意充分性与必要性对应的关系；2.要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由“条件⇒结论”是证明充分性，由“结论⇒条件”是证明必要性.如证“p是q的充要条件”时，充分性是指“p⇒q”成立，必要性是指“q⇒p”成立；而证“p成立的充要条件是q”时，充分性是指“q⇒p”成立，必要性是指“p⇒q”成立。考法三：根据充分、必要条件求参数的取值范围1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系。2.根据集合关系画数轴或Venn图，由图写出关于参数的不等式(组)，然后求解。3.求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式能否取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解。探究一：充分、必要条件的判断已知，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件思路分析：思路分析：求出命题为真时对应的的范围，然后由集合包含关系得结论。【变式练习】1．已知集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．已知，，则“”是“”成立的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件探究二：充要条件的证明设集合，，命题p：，命题q：．(1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围．思路分析：思路分析：（1）通过解不等式可得，由p是q的充要条件，得，即，从而即可求出实数a的取值范围；（2）根据p是q的必要不充分条件，得，从而即可求出实数a的取值范围。【变式练习】1．中，角，，所对的边分别为，，，求证：的充要条件是．2．请选择“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”填入下面空格处.并完成第二个问的证明.（1）是的条件（2）已知，求证：的条件是探究二：根据充分、必要条件求参数的取值范围方程至少有一个负实根的充要条件是（

）A． B． C． D．或思路分析：思路分析：按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答【变式练习】1．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．2．已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．一、单选题1．“”是“”的（

）A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．既是充分条件，也是必要条件2．设x，y都是实数，则“且”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知下列四组陈述句：①：集合；：集合．②：集合；：集合．③：；：．④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员．其中p是q的必要而不充分条件的有（

）A．①② B．③④ C．②④ D．①③4．若、是全集的真子集，则下列五个命题：①；

②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个5．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件6．已知，，则“使得”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件7．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件8．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（

）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要二、多选题9．下列命题为真命题的是（

）A．“，”是“”的必要条件B．“”是“”的充要条件C．“”是“”的充分不必要条件D．“x或y为有理数”是“为有理数”的既不充分又不必要条件10．下列叙述中不正确的是（

）A． B．若，则C．命题“，”的否定是“，” D．已知，则“”是“”的必要不充分条件11．下列命题中是真命题的为（

）A．“”是“”的充要条件B．“”是“”的必要不充分条件C．“或”是“”的充要条件D．“集合”是“”的充分不必要条件12．下列叙述中正确的是（

）A．，若二次方程无实根，则B．若，则“”的充要条件是“”C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．“”是“”的充分不必要条件三、填空题13．已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.14．已知函数．写出满足“”的一个必要不充分条件为________．(注：写出一个满足条件的即可)15．已知集合，,“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是_______.16．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数____；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____.四、解答题17．设命题：，：．(1)若，判断是的充分条件还是必要条件；(2)若是的______，求的取值集合．从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．18．设集合，集合，其中.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.19．设集合或，或.(1)设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围；(2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由.20．已知a≥1，y=a2x2-2ax+b，其中a，b均为实数.证明：对于任意的，均有y≥1成立的充要条件是b≥2.21．已知全集，集合，集合．条件①；②是的充分条件；③，使得．(1)若，求；(2)若集合A，B满足条件__________（三个条件任选一个作答），求实数m的取值范围．22．已知命题：“，都有不等式成立”是真命题.（1）求实数的取值集合；（2）设不等式的解集为，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.常考题型04充分条件与必要条件的求解问题一、充分、必要条件与充要条件的含义(1)若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；(3)若p⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件；(4)若p⇏q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；(5)若p⇏q且q⇏p，则p是q的既不充分也不必要条件.二、命题成立的充分、必要、充要条件的探求(1)充分条件：寻求q的充分条件，即p⇒q.(2)必要条件：寻求q的必要条件，即q⇒p.(3)充要条件:p②变换结论为等价命题，使每一步都可逆，直接得到使命题成立的充要条件。考法一：充分、必要条件的判定1.定义法：定义法是判断充分、必要条件最基本的方法，步骤如下：①分清条件与结论(p与q)；②找推式：即判断p⇒q及q⇒p是否成立，当p，q中有一方较难(如p)、一方较易(如q)时，我们可先找p的等价条件p'，再看p'与q的关系；③下结论：p⇒qp⇍q⟺p是q的充分不必要条件，p⇏qp⇍q⟺p2.集合法设p={x|p(x)}，q={x|q(x)}，则①若p⊆q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；②若P⫋Q,则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件；③若p=q，则p是q的充要条件(q也是p的充要条件)；④若P⊈Q且Q⊈P,则p是q的既不充分也不必要条件。3.等价法¬q是¬p的充分不必要条件⇔p是q的充分不必要条件；¬q是¬p的必要不充分条件⇔p是q的必要不充分条件；¬q是¬p的充要条件⇔p是q的充要条件；¬q是¬p的既不充分也不必要条件⇔p是q的既不充分也不必要条件。考法二：充要条件的证明1.证明“p是q的充要条件”时，要分别从“p⇒q”和“q⇒p”两个方面验证，即要分别证明充分性和必要性两个方面，但是，在表述中要注意充分性与必要性对应的关系；2.要分清命题中的条件和结论，防止充分性和必要性弄颠倒，由“条件⇒结论”是证明充分性，由“结论⇒条件”是证明必要性.如证“p是q的充要条件”时，充分性是指“p⇒q”成立，必要性是指“q⇒p”成立；而证“p成立的充要条件是q”时，充分性是指“q⇒p”成立，必要性是指“p⇒q”成立。考法三：根据充分、必要条件求参数的取值范围1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合间的关系。2.根据集合关系画数轴或Venn图，由图写出关于参数的不等式(组)，然后求解。3.求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式能否取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解。探究一：充分、必要条件的判断已知，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件思路分析：思路分析：求出命题为真时对应的的范围，然后由集合包含关系得结论。【解析】，则或，即命题为真对应集合或，，则，命题为真对应集合，对应集合，易知是的真子集，∴是的充分不必要条件．故选：A．答案：A【变式练习】1．已知集合，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A【解析】当时，集合，满足，故“”可以证得“”，“”是“”的充分条件，若，则的值为、都可，故“”不是“”的必要条件，综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故选：A.2．已知，，则“”是“”成立的(

)A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：B【解析】不妨令，，故不能推出，若，故，同号，若，都大于0，则，从而；若，都小于0，则，从而，故能推出，从而“”是“”成立的必要不充分条件.故选：B.探究二：充要条件的证明设集合，，命题p：，命题q：．(1)若p是q的充要条件，求正实数a的取值范围；(2)若p是q的必要不充分条件，求正实数a的取值范围．思路分析：思路分析：（1）通过解不等式可得，由p是q的充要条件，得，即，从而即可求出实数a的取值范围；（2）根据p是q的必要不充分条件，得，从而即可求出实数a的取值范围。【解析】(1)由，得，解得，所以，由p是q的充要条件，得，即，解得，所以实数a的取值范围是；(2)由p是q的必要不充分条件，得，又，则，所以，解得，综上实数a的取值范围是．答案：(1)；(2)【变式练习】1．中，角，，所对的边分别为，，，求证：的充要条件是．【解析】（1）先证充分性：若，则，∴成立（2）再证必要性：若成立，∵，∴，又因为中，，∴，∴，∴．综上可知，的充要条件是．2．请选择“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分也不必要”填入下面空格处.并完成第二个问的证明.（1）是的条件（2）已知，求证：的条件是答案：（1）必要不充分，（2）充要，证明见解析【解析】（1）当时，或，此时不一定成立，如满足，而不满足，当时，可得且，所以，所以是的必要不充分条件，（2）的充要条件是，证明：必要性：因为，所以，，所以，充分性：因为，所以，所以，因为，所以，所以，所以的充要条件是，探究二：根据充分、必要条件求参数的取值范围方程至少有一个负实根的充要条件是（

）A． B． C． D．或思路分析：思路分析：按和讨论方程有负实根的等价条件即可作答【解析】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得；当时，，若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负，反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得，若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数，反之，方程两根都为负，则，解得，于是得，综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有.所以方程至少有一个负实根的充要条件是.故选：C答案：C【变式练习】1．若不等式成立的充分条件为，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】解：不等式成立的充分条件是，设不等式的解集为A，则，当时，，不满足要求；当时，，若，则，解得.故选：A.2．已知命题，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】解：命题，即:，是的必要不充分条件，，，解得．实数的取值范围为．故选：．一、单选题1．“”是“”的（

）A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件C．既不是充分条件，也不是必要条件 D．既是充分条件，也是必要条件答案：B【解析】解：由，解得或，由推不出，故充分性不成立，由推得出，故必要性成立，故“”是“”的必要条件但不是充分条件；故选：B2．设x，y都是实数，则“且”是“且”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案：A【解析】由且，必有且；当且时，如，不满足，故不一定有且．所以“且”是“且”的充分不必要条件．故选：A．3．已知下列四组陈述句：①：集合；：集合．②：集合；：集合．③：；：．④：某中学高一全体学生中的一员；：某中学全体学生中的一员．其中p是q的必要而不充分条件的有（

）A．①② B．③④ C．②④ D．①③答案：D【解析】①若，，，则满足，但此时，故充分性不成立；若，则成立，故必要性成立，因此是的必要而不充分条件．②若，则根据子集的性质可得，故充分性成立，反之，若，则成立，故必要性成立，因此是的充要条件；③对于,当时，，故，∴是的必要而不充分条件；④是的充分而不必要条件；综上，是的必要而不充分条件的有①③．故选：D．4．若、是全集的真子集，则下列五个命题：①；

②；③；④；⑤是的必要不充分条件.其中与命题等价的有（

）A．个 B．个 C．个 D．个答案：B【解析】对于①，即为，故符合；对于②，即为，故不符合；对于③，结合图可得即为，故符合；对于④，即为，故可得，但得不到，故不符合；对于⑤，因为是的必要不充分条件，故是的真子集，这与不等价，故五个命题中，与等价的有2个，故选:B.5．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件 D．充要条件答案：D【解析】设，则该函数的定义域为，且，故函数为上的奇函数，当时，，故在上为增函数，故为上的增函数，又时，有，故，而当时，由为上的增函数可得即，故“”是“”的充要条件，故选：D.6．已知，，则“使得”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件答案：C【解析】若使得，则有成立；若，则有使得成立.则“使得”是“”的充要条件故选：C7．设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件答案：B【解析】当时，若，不能推出，不满足充分性；当，则，有，满足必要性；所以“”是“”的必要不充分条件．故选：B8．已知x∈R，则“成立”是“成立”的（

）条件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充分必要 D．既不充分也不必要答案：C【解析】充分性：若，则2≤x≤3，，必要性：若，又，，由绝对值的性质：若ab≤0，则，∴，所以“成立”是“成立”的充要条件，故选：C．二、多选题9．下列命题为真命题的是（

）A．“，”是“”的必要条件B．“”是“”的充要条件C．“”是“”的充分不必要条件D．“x或y为有理数”是“为有理数”的既不充分又不必要条件答案：CD【解析】对于A，当，时，成立，而当时，，不一定成立，如满足，而不成立，所以“，”是“”的充分条件，所以A错误，对于B，若时，，所以由不能得到，所以B错误，对于C，当时，，而当时，不一定属于，所以“”是“”的充分不必要条件，所以C正确，对于D，若，则为无理数，而当时，为有理数，而为无理数，所以“x或y为有理数”是“为有理数”的既不充分又不必要条件，所以D正确，故选：CD10．下列叙述中不正确的是（

）A． B．若，则C．命题“，”的否定是“，” D．已知，则“”是“”的必要不充分条件答案：AC【解析】对于A，应为，A错误；对于B，时，则，B正确；对于C，否定应为，，C错误；对于D，，当时，，所以，但是，不一定成立，可能，所以D正确；故选：AC.11．下列命题中是真命题的为（

）A．“”是“”的充要条件B．“”是“”的必要不充分条件C．“或”是“”的充要条件D．“集合”是“”的充分不必要条件答案：BD【解析】解：对于A选项，当时，，但反之，不能得到，故错误；对于B选项，不能得到，反之能够得到，故正确；对于C选项，“且”是“”的充要条件，故错误；对于D选项，由得，所以能够推出，反之，不一定成立，故正确.故选：BD12．下列叙述中正确的是（

）A．，若二次方程无实根，则B．若，则“”的充要条件是“”C．“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件D．“”是“”的充分不必要条件答案：ACD【解析】对于A，若二次方程无实根，则，即，则成立，A正确；对于B，当时，若，则，必要性不成立，B错误；对于C，若方程有一个正根和一个负根，则，解得：，，，“”是“方程有一个正根和一个负根”的必要不充分条件，C正确；对于D，由得：或，或，或，“”是“”的充分不必要条件，D正确.故选：ACD.三、填空题13．已知.若是的必要条件，则实数的取值范围是___________.答案：[0，1]【解析】设集合由是的必要条件，则，即所以，解得故答案为：[0，1]14．已知函数．写出满足“”的一个必要不充分条件为________．(注：写出一个满足条件的即可)答案：（答案不唯一）【解析】若可理解为始终在上方或恰好重合，已知，当且仅当时取到等号，对称轴为，当，即时，，显然恒成立，如图：不妨取“”的一个必要不充分条件为，即，但.故答案为：（答案不唯一）15．已知集合，,“”是“”的充分条件，则实数的取值范围是_______.答案：【解析】因为“”是“”的充分条件，所以,所以，故答案为：16．已知条件；条件函数的图像与轴只有一个交点；条件.若条件是条件的充分不必要条件，则实数____；若条件是条件的必要不充分条件，则实数的取值范围是_____.答案：

或

【解析】当时，，其图像与轴只有一个交点，符合题意；当时，的图像与轴只有一个交点，则，符合题意；条件或条件是条件的充分不必要条件，则或实数为或当时，由得，；当时，由得，；条件是条件的必要不充分条件，且条件或，条件，即故答案为：或；实数的取值范围是.四、解答题17．设命题：，：．(1)若，判断是的充分条件还是必要条件；(2)若是的______，求的取值集合．从①充分不必要条件，②必要不充分条件，这两个条件中任选一个，补充在第（2）问中的横线上，并给予解答．注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．答案：(1)是的充分条件；(2)答案见解析分析：（1）记集合，．当时，，由于，是的充分条件．（2）选①，若是的充分不必要条件，等价于是的充分不必要条件，则．，①当时，，不成立；②当时，，由，得．（2）选②，若是的必要不充分条件，等价于是的充分不必要条件，则．①当时，，不可能；②当时，，由，得．综上，的取值集合为．18．设集合，集合，其中.(1)当时，求；(2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围.答案：(1)；(2)分析：(1)由题意得：当时，故(2)由“”是“”的必要不充分条件可得：当时，得解得：；当时，，解得.综上，的取值范围为：19．设集合或，或.(1)设，，且是的充分而不必要条件，求实数的取值范围；(2)是否存在实数a，使