高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题9.1直线与直线方程(真题测试)(原卷版+解析)

专题9.1直线与直线方程（真题测试）一、单选题1．(2023·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.92．（2023·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（

）A． B．C． D．3．（2023·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角4．（山东·高考真题）如下图，直线的方程是（

）A． B．C． D．5．（2023·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（

）A．1 B． C． D．26．(2023·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为A． B．C． D．7．（全国·高考真题（理））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A．3 B．2 C． D．8．（四川·高考真题（文））设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（

）A．若直线的倾斜角为，则B．直线的倾斜角的取值范围为C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为10．（2023·全国·高三专题练习）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（

）A． B．C． D．11．(2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（

）A．直线必过定点B．直线在y轴上的截距为2C．直线的倾斜角为60°D．过点且平行于直线的直线方程为12．(2023·山东省实验中学模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（

）A．A，B，C三点可能共线B．A，B，C三点可能构成锐角三角形C．A，B，C三点可能构成直角三角形D．A，B，C三点可能构成钝角三角形三、填空题13．（2008·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：__________________________．14．（四川·高考真题（理））设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______．15．(2023·北京·高考真题（理））三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.16．(2023·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知点P是x轴上的任意一点，，，则的最小值为_________.四、解答题17.(2023·全国·高三专题练习）已知一直线经过点，并且与点和的距离相等，求此直线的方程．18．(2023·全国·高三专题练习）已知直线l：，直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求此时直线l的方程.19．(2023·全国·高三专题练习）已知在中，，，，边BC所在的直线方程为，求边AB、AC所在的直线方程．20．（2023·全国·高三专题练习）已知两曲线和都经过点，且在点P处有公切线．(1)求a，b，c的值；(2)求公切线与坐标轴围成的三角形的面积；21．(2023·全国·高三专题练习）已知､和直线，若坐标平面内存在一点P，使，且点P到直线l的距离为2，求点P的坐标.22．(2023·安徽·寿县第一中学高三阶段练习（理））已知直线，直线(1)若，求；(2)当时，设直线的斜率分别为，求的最小值．专题9.1直线与直线方程（真题测试）一、单选题1．(2023·全国·高考真题）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图．其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为．已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（

）A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9答案：D【解析】分析：设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D2．（2023·山东·高考真题）直线关于点对称的直线方程是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，则其关于点对称的点的坐标为，因为点在直线上，所以即.故选：D.3．（2023·山东·高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（

）A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角答案：D【解析】分析：本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.【详解】结合图像易知，，，则角是第四象限角，故选：D.4．（山东·高考真题）如下图，直线的方程是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】分析：由图得到直线的倾斜角为30，进而得到斜率，然后由直线与轴交点为求解.【详解】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率，所以直线与轴的交点为，所以直线的点斜式方程可得：，即．故选：D5．（2023·全国·高考真题（文））点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（

）A．1 B． C． D．2答案：B【解析】分析：首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.【详解】由可知直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为.故选：B.6．(2023·北京·高考真题（理））在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当、变化时，的最大值为A． B．C． D．答案：C【解析】分析：为单位圆上一点，而直线过点，则根据几何意义得的最大值为.【详解】为单位圆上一点，而直线过点，所以的最大值为，选C.7．（全国·高考真题（理））等腰三角形两腰所在直线的方程分别为与，原点在等腰三角形的底边上，则底边所在直线的斜率为（）A．3 B．2 C． D．答案：A【解析】【详解】，，设底边为由题意，到所成的角等于到所成的角于是有，再将A、B、C、D代入验证得正确答案是A．8．（四川·高考真题（文））设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是（）A． B． C． D．答案：B【解析】【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，令，则.因为，所以.所以，.选B.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.二、多选题9．（2023·全国·高三专题练习）下列四个命题中，错误的有（

）A．若直线的倾斜角为，则B．直线的倾斜角的取值范围为C．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为D．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为答案：ACD【解析】分析：根据倾斜角与斜率的定义判断即可.【详解】解：因为直线的倾斜角的取值范围是，即，所以，当时直线的斜率，故A、C均错误；B正确；对于D：若直线的斜率，此时直线的倾斜角为，故D错误；故选：ACD10．（2023·全国·高三专题练习）过点，并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程为（

）A． B．C． D．答案：AB【解析】分析：根据题意，分直线过原点和不过原点两种情况讨论求解即可．【详解】解：若直线过原点，则直线的方程为，将点代入得，所以直线方程为，即；若直线不过原点，根据题意，设直线方程为，将点代入得，故直线的方程为；所以直线的方程为：或．故选：AB．11．(2023·全国·高三专题练习）下列说法正确的是（

）A．直线必过定点B．直线在y轴上的截距为2C．直线的倾斜角为60°D．过点且平行于直线的直线方程为答案：AC【解析】分析：将直线方程化为，即可求出直线过定点坐标，从而判断A，令求出，即可判断B，求出直线的斜率即可得到倾斜角，从而判断C，根据两直线平行斜率相等求出直线方程即可判断D；【详解】解：对于A，，即，令，即，所以直线必过定点，故A正确；对于B，对于直线，令得，所以直线在轴上的截距为，故B错误；对于C，直线，即，所以斜率，其倾斜角为，故C正确；对于D，过点且平行于直线的直线方程为：，即，故D错误，故选：AC．12．(2023·山东省实验中学模拟预测）对于平面直角坐标系内的任意两点，，定义它们之间的一种“距离”为．已知不同三点A，B，C满足，则下列结论正确的是（

）A．A，B，C三点可能共线B．A，B，C三点可能构成锐角三角形C．A，B，C三点可能构成直角三角形D．A，B，C三点可能构成钝角三角形答案：ACD【解析】分析：取两定点为A，C，再设任意点B，然后利用给定定义逐项分析、计算判断作答.【详解】令点，设点，则有，由得：，当时，A，B，C三点共线，且有成立，A正确；当时，则A，B，C三点不共线，若，有，且成立，为直角三角形，C正确；若，显然是钝角，且成立，为钝角三角形，D正确；若，不成立，显然A，B，C三点不可能构成锐角三角形，B不正确.故选：ACD三、填空题13．（2008·江苏·高考真题）在平面直角坐标系中，设三角形ABC的顶点坐标分别为，点在线段OA上（异于端点），设均为非零实数，直线分别交于点E，F，一同学已正确算出的方程：，请你求OF的方程：__________________________．答案：【解析】【详解】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想．事实上，由截距式可得直线，直线，两式相减得，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求的直线OF的方程．14．（四川·高考真题（理））设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是______．答案：5【解析】【详解】试题分析：易得.设，则消去得：，所以点P在以AB为直径的圆上，，所以，.法二、因为两直线的斜率互为负倒数，所以，点P的轨迹是以AB为直径的圆.以下同法一.15．(2023·北京·高考真题（理））三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i=1，2，3.①记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是_________.②记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是_________.答案：

Q1

p2【解析】【详解】试题分析：作图可得中点的纵坐标比中点的纵坐标大，所以Q1，Q2，Q3中最大的是，分别作关于原点的对称点，比较直线的斜率（即为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数），可得最大，所以p1，p2，p3中最大的是【考点】图象的应用，实际应用问题【名师点睛】本题考查了根据实际问题分析和解决问题的能力，以及转化与化归的能力，因为第名工人加工总的零件数是，比较总的零件数的大小，即可转化为比较的大小，而表示中点连线的纵坐标，第二问也可转化为中点与原点连线的斜率.16．(2023·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知点P是x轴上的任意一点，，，则的最小值为_________.答案：##【解析】分析：如图，过B点作倾斜角为的直线，过点P作，则，从而得，然后利用点到直线的距离公式求出A到直线的距离，进而可求出的最小值，【详解】如图，过B点作倾斜角为的一条直线，过点P作于，则，即，所以，A到直线的距离，因此的最小值为.故答案为：四、解答题17.(2023·全国·高三专题练习）已知一直线经过点，并且与点和的距离相等，求此直线的方程．答案：或【解析】分析：当直线斜率存在时，设出方程，由点到直线的距离解出斜率即可；斜率不存在时检验满足条件即可.【详解】假设所求直线的斜率存在，则可设其方程为，即．由题设有：，即，解得，则直线方程．又所求直线的斜率不存在时，方程为，适合题意．∴所求直线的方程为或．18．(2023·全国·高三专题练习）已知直线l：，直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求此时直线l的方程.答案：或【解析】分析：根据直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，可得或，再代入直线方程可得结果.【详解】由得，斜率为，因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，所以或，当时，直线的方程为，当时，直线的方程为.综上所述：直线l的方程为或.19．(2023·全国·高三专题练习）已知在中，，，，边BC所在的直线方程为，求边AB、AC所在的直线方程．答案：边AB、AC所在的直线方程分别是，或边AB、AC所在的直线方程分别是，.【解析】分析：根据等腰三角形的性质，结合直线夹角公式、直线的点斜式方程进行求解即可.【详解】因为，，所以是等腰三角形，且，由可知，该直线的斜率为，所以该直线的倾斜角为.当过的直线不存在斜率时，此时该直线方程为，与直线的夹角为，符合题意；当过的直线存在斜率时，所以有，直线方程为，所以边AB、AC所在的直线方程分别是，，或者边AB、AC所在的