2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点04不等式的性质与常见不等式的解法(精讲)(原卷版+解析)

第4讲不等式的性质与常见不等式的解法知识点1不等关系1．两个实数比较大小的依据（1）作差法：①a＞b⇔a－b＞0；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔a－b＜0.（2）作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）⇔a<b（a∈R，b>0）.))2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c；同向可加性：异向可减性：(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；同向正数可乘性：异向正数可除性：(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．（7）倒数法则：注：常用结论：倒数性质：(1)a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(2)a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(3)a>b>0，d>c>0⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).分数性质：若a>b>0，m>0，则(1)真分数性质：eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；(2)假分数性质：eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．3.不等式的证明方法（1）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．（2）分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立．（3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．注：(1)同向不等式可以相加，不能相减；(2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变．知识点2常见不等式的解法1.不等式的解集与不等式组的解集（1）不等式的解集：一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．（2）不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．注意事项：若不等式中所含不等式解集的交集为∅时，则不等式组的解集为∅.2.一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)当a>0时，解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x>\f(b,a)))))．(2)当a<0时，解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<\f(b,a)))))．3.(1)一元二次不等式的解法①二次不等式（）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.②当二次不等式时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数变成正数，再利用上面的方法解答.注意：①不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析的系数.②对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.③如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件.④不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性.(2)一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实数根x1，x2(x1<x2)有两相等实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅eq\a\vs4\al(∅)4.指对数不等式解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.①当时,;②当时,;(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.5．简单分式不等式（1）；（2）（3）；（4）6.绝对值不等式绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.③平方法:如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法.④通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.7.高次不等式高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法①将f(x)最高次项系数化为正数；②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．8.无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或．1．（2023•上海）下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2|ab| D．a2+b2≤﹣2ab2.【多选】（2023•海南）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥12 B．2a﹣bC．log2a+log2b≥﹣2 D．a3．（2023•全国）若log12（4x﹣1）＞﹣2，则x的取值范围是4．（2023•天津）设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为．考点一比较两个数(式)的大小解题方略：比较两数(式)大小的方法作差法作商法原理设a，b∈R，则a－b>0⇒a>b；a－b＝0⇒a＝b；a－b<0⇒a<b设a>0，b>0，则eq\f(a,b)>1⇒a>b；eq\f(a,b)＝1⇒a＝b；eq\f(a,b)<1⇒a<b步骤作差并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断差与0的大小⇒得结论作商并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断商与1的大小⇒得结论（如果两个数都是正数，一般用作商法，其它一般用作差法.）注意利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等注：比较两式大小还可用函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．【例1-1】(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【例1-2】(2023·全国·高三专题练习）若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．【例1-3】(2023·江苏江苏·高三期末）已知＝，b＝3－ln4，c＝，则下列选项正确的是（

）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）若，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．a，b大小不确定2、(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．3、(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则（

）A． B．C． D．考点二不等式的性质及应用解题方略：利用不等式的性质判断正误的2种方法(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．【例2-1】(2023·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（

）A． B． C． D．【例2-2】(2023·陕西宝鸡·三模（理））若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【例2-3】(2023·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知a，b，，那么下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【例2-4】【多选】(2023·山东聊城·一模）设，且，则(

)A． B． C． D．【题组练透】1、(2023·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．2、(2023·北京·模拟预测）已知，下列不等式正确的是（

）A． B． C．D．3、(2023·安徽亳州·高三期末（理））设，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．4、(2023·北京房山·一模）若，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．考点三求代数式的取值范围解题方略：利用待定系数法求代数式的取值范围已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范围．(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．【例3-1】(2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【例3-2】(2023·浙江·模拟预测）若实数x，y满足，则的取值范围（

）A． B． C． D．【例3-3】若6<a<10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()A．[9，18] B．(15，30)C．[9，30] D．(9，30)【例3-4】(2023·全国·高三专题练习）在复平面内，复数z满足，且z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【题组练透】1、(2023·江西·二模（文））已知，，则6x＋5y的取值范围为______．2、【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为3、(2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．考点四解一元二次不等式解题方略：解一元二次不等式的方法和步骤解含参数的一元二次不等式的步骤（一）解不含参数的一元二次不等式【例4-1】(2023·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））已知集合，，则（

）A． B．C． D．【例4-2】(2023·全国·高三专题练习）“”是“”的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【题组练透】1、(2023·辽宁·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．2、(2023·全国·高三专题练习）不等式的整数解构成的集合是_______．3、(2023·全国·高三专题练习）设函数则不等式的解集是___________.（二）解含参数的一元二次不等式【例4-3】(2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式．【例4-4】(2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式：.【例4-5】(2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式：()．【题组练透】1、(2023·上海·高三专题练习）解关于的不等式：.2、(2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式．(2023·浙江·高三专题练习）设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围.考点五解其他不等式解题方略：1、分式不等式的解法：求解分式不等式，等价于要求分子分母同号，即或，这样就可以将分式不等式化为不等式组来求解.另一方面，分子分母同号也等价于（ax+b）(cx+d)>0，这就也能将分式不等式化为整式不等式求解.注：(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．2、含绝对值不等式的解法（1）几个基本不等式的解集①|x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a;②|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<-a;③|x-m|<a(a>0)⇔-a<x-m<a⇔m-a<x<a+m;④|x-m|>a(a>0)⇔x-m>a,或x-m<-a⇔x>m+a,或x<m-a.（2）几种主要的基本类型①|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法);②|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<-g(x);③|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x);④含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解.3、一元高次不等式的解法穿根法又称“数轴标根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有着鬼斧神工的效果。将不等式进行移项，将其化为不等式右侧为0的形式，即是的形式，并将的最高次幂项的系数化为正数的标准形式，具体步骤如下：（1）整理变形：将不等式化为标准形式后，对其进行因式分解，化为如下最简形式：，其中：（2）标根∶将的n个不同根，在数轴上由小到大从左至右标出来。标根时，只需标出相对位置即可，这样即将数轴分为了n+1个区间。（3）画穿根线∶由最大根的右上方向左下方画线，使其穿过数轴，再向左上方穿根划线，由右向左依次画连续曲线。画线时若遇偶数根，即为偶数时，曲线弹回，不穿过该根。若为奇数时，则穿过该根。记住口诀"奇穿偶不穿"即可。（4）写出解集∶如下图所示，数轴下方曲线与数轴构成的区间即为的解集，数轴上方曲线与数轴构成的区间即为的解集。（一）指对数不等式【例5-1】(2023·宁夏·石嘴山市第三中学一模（理））已知集合，，则（

）A． B． C． D．【例5-2】(2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习（文））已知集合，，则（

）A． B． C． D．2、(2023·福建龙岩·模拟预测）集合，，则（

）A． B． C． D．3、(2023·陕西·安康市高新中学三模（理））已知集合，，则（

）A． B． C． D．（二）分式不等式【例5-3】(2023·全国·高三专题练习（文））(1)；(2)；(3).【题组练透】1、(2023·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合，，则（

）A． B．C． D．2、(2023·江西·二模（文））已知集合，则（

）A． B． C． D．3、(2023·全国·高三开学考试（文））若集合，，则(

)A． B． C． D．（三）根式不等式【例5-4】(2023·辽宁辽阳·二模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习（文））已知集合，则（

）A． B． C． D．2、(2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．3、(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校高三期末（文））已知集合，集合，（

）A． B． C． D．（四）绝对值不等式【例5-5】(2023·全国·高三专题练习（文））(1) ；(2)；(3)【例5-6】(2023·全国·高三专题练习）已知，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【题组练透】(2023·全国·高三专题练习（文））求不等式的解集；2、(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3、(2023·江西·模拟预测（文））已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.（五）高次不等式【例5-7】(2023·全国·高三专题练习）求不等式的解集. 【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）不等式(1＋x)(1－x2)>0的解集是（

）A．{x|0≤x<1} B．{x|x<0且x≠－1}C．{x|－1<x<1} D．{x|x<1且x≠－1}2、(2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为______________.3、(2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（

）A．，或 B．，或C．，或 D．，或考点六由一元二次不等式的解确定参数解题方略：1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．2.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．3.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．4.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．【例6-1】(2023·全国·高三专题练习）已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为_____.【例6-2】【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为【例6-3】(2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（

）A． B． C． D．4【例6-4】(2023·全国·高三专题练习（理））已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为（

）A．或 B．C．{x|} D．{x|}【例6-5】(2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集是，则不等式的解集是________.2、【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．3、(2023·湖南岳阳·二模）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．84、(2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则函数的图像大致为（

）A． B．C． D．5、(2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．考点七一元二次不等式的恒成立问题解题方略：1、一元二次不等式在R上恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.具体如下：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立注：①。②3、给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．（1）一元二次不等式在R上的恒成立问题【例7-1】(2023·江苏南通·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【例7-2】(2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【例7-3】(2023·北京·高三专题练习）若不等式的解集为空集，则的取值范围是（

）A． B．，或C． D．，或【例7-4】(2023·浙江·高三专题练习）若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【例7-5】(2023·北京·高三专题练习）已知函数，则“函数的图象恒在轴的下方”是“”的（

）A．既不必要又不充分条件B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则实数的范围是（

）A． B．C． D．或2、(2023·全国·高三专题练习）已知，“对恒成立”的一个充要条件是（

）A． B． C． D．3、(2023·新疆阿勒泰·三模（理））“”是“使成立”为假命题的（

）A．充要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4、(2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为（

）A． B．C．D．（2）一元二次不等式在某区间上的恒成立问题【例7-5】(2023·全国·高三专题练习）若对任意的恒成立，则m的取值范围是（

）A． B． C． D．【例7-6】(2023·全国·高三专题练习）不等式x2﹣2（a﹣2）x+a＜0对任意x∈（1，5）恒成立，则实数a的取值范围为（）A．a＞5 B．a≥5 C．﹣5＜a＜5 D．﹣5≤a≤5【题组练透】1、(2023·北京石景山·一模）“”是“在上恒成立”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2、(2023·浙江·高三专题练习）已知使不等式成立的任意一个，都满足不等式，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．3、(2023·江西·模拟预测（理））已知命题p：“，”为真命题，则实数a的最大值是___．4、(2023·全国·高三专题练习）已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围为__________.（3）给定参数范围求x范围的恒成立问题【例7-7】(2023·全国·高三专题练习）已知，，不等式恒成立，则的取值范围为A．，， B．，，C．，， D．【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）已知当时,恒成立,则实数的取值范围是____________.2、(2023·全国·高三专题练习）不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是（

）A．B．C． D．（4）一元二次不等式在某区间有解问题【例7-8】(2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式有实数解，则的取值范围是_____．【例7-9】(2023·上海·高三专题练习）若关于的不等式在内有解，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【题组练透】1、（2023·江苏·高一专题练习）若关于的不等式有解，则实数a的取值范围是____________．2、(2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式在区间(1，4)内有解，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．3、(2023·浙江·高三专题练习）若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（

）A． B． C． D．考点八一元二次方程根的分布问题解题方略：解决一元二次方程的根的分布时，常常需考虑：判别式，对称轴，特殊点的函数值的正负，所对应的二次函数图象的开口方向.【例8-1】(2023·浙江·高三专题练习）若关于的方程有两个不同的正根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【例8-2】(2023·全国·高三专题练习）已知p：（其中，），q：关于x的一元二次方程有一正一负两个根.若p是q的充分不必要条件，则m的最大值为（

）A．1 B．0 C． D．2【例8-3】(2023·全国·高三专题练习）若一元二次方程的两个实根都大于，则的取值范围____【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）要使关于的方程的一根比大且另一根比小，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．2、(2023·全国·高三专题练习）已知一元二次方程有两个实数根，，且，则的值为（）A． B． C． D．3、(2023·全国·高三专题练习）若方程的两实根中一个小于，另一个大于2，则的取值范围是（）A． B． C． D．第4讲不等式的性质与常见不等式的解法知识点1不等关系1．两个实数比较大小的依据（1）作差法：①a＞b⇔a－b＞0；②a＝b⇔a－b＝0；③a＜b⇔a－b＜0.（2）作商法eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1（a∈R，b>0）⇔a>b（a∈R，b>0），,\f(a,b)＝1⇔a＝b（a，b≠0），,\f(a,b)<1（a∈R，b>0）⇔a<b（a∈R，b>0）.))2．不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c；(3)可加性：a＞b⇒a＋c＞b＋c；同向可加性：异向可减性：(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；同向正数可乘性：异向正数可除性：(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；(6)可开方：a＞b＞0⇒eq\r(n,a)＞eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．（7）倒数法则：注：常用结论：倒数性质：(1)a>b，ab>0⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(2)a<0<b⇒eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(3)a>b>0，d>c>0⇒eq\f(a,c)>eq\f(b,d).分数性质：若a>b>0，m>0，则(1)真分数性质：eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0)；(2)假分数性质：eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0)．3.不等式的证明方法（1）综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法．（2）分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立．（3）反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立．注：(1)同向不等式可以相加，不能相减；(2)一个不等式的两边同乘以同一正数，不等号方向不变；同乘以同一负数，不等号方向改变．知识点2常见不等式的解法1.不等式的解集与不等式组的解集（1）不等式的解集：一般地，不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集．（2）不等式组的解集：对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说，这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集．注意事项：若不等式中所含不等式解集的交集为∅时，则不等式组的解集为∅.2.一元一次不等式ax>b(a≠0)的解集(1)当a>0时，解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x>\f(b,a)))))．(2)当a<0时，解集为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(x<\f(b,a)))))．3.(1)一元二次不等式的解法①二次不等式（）的解法：最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想.也可以利用口诀（大于取两边，小于取中间）解答.②当二次不等式时，可以画图，解不等式，也可以把二次项的系数变成正数，再利用上面的方法解答.注意：①不要把不等式看成了一元二次不等式，一定邀注意观察分析的系数.②对于含有参数的不等式注意考虑是否要分类讨论.③如果运用口诀解一元二次不等式，一定要注意使用口诀必须满足的前提条件.④不等式的解集必须用集合或区间，不能用不等式，注意结果的规范性.(2)一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两相异实数根x1，x2(x1<x2)有两相等实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1或x>x2}{x|x≠x1}{x|x∈R}ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅eq\a\vs4\al(∅)4.指对数不等式解指数不等式和对数不等式一般有以下两种方法(1)同底法：如果两边能化为同底的指数或对数，先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底数是参数时要注意观察分析是否要对其进行讨论，并注意到对数真数大于零的限制条件.①当时,;②当时,;(2)对指互化法：如果两边不能化成同底的指数或对数时，一般用对指互化法.对数不等式两边取指数，转化成整式不等式来解；指数不等式两边取对数，转化成整式不等式来解.5．简单分式不等式（1）；（2）（3）；（4）6.绝对值不等式绝对值不等式的概念：一般地，含有绝对值的不等式称为绝对值不等式．(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a(－a，a)∅∅|x|>a(－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；解含有两个绝对值形如的不等式，常用零点讨论法和数形结合法.注意小分类求交大综合求并.③平方法:如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：，可以使用平方法.④通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想.7.高次不等式高次不等式：不等式最高次项的次数高于2，这样的不等式称为高次不等式.解法：穿根法①将f(x)最高次项系数化为正数；②将f(x)分解为若干个一次因式的积或二次不可分因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，自上而下，从右向左依次通过每一点画曲线(注意重根情况，偶次方根穿而不过，奇次方根穿过)；④观察曲线显现出的f(x)的值的符号变化规律，写出不等式的解集．8.无理不等式的解法无理不等式一般利用平方法和分类讨论解答.无理不等式转化为有理不等式，要注意平方的条件和根式有意义的条件，一般情况下，可转化为或，而等价于：或．1．（2023•上海）下列不等式恒成立的是（）A．a2+b2≤2ab B．a2+b2≥﹣2ab C．a+b≥2|ab| D．a2+b2≤﹣2ab【解析】A．显然当a＜0，b＞0时，不等式a2+b2≤2ab不成立，故A错误；B．∵（a+b）2≥0，∴a2+b2+2ab≥0，∴a2+b2≥﹣2ab，故B正确；C．显然当a＜0，b＜0时，不等式a+b≥2|ab|不成立，故C错误；D．显然当a＞0，b＞0时，不等式a2+b2≤﹣2ab不成立，故D错误．故选：B．2.【多选】（2023•海南）已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，则（）A．a2+b2≥12 B．2a﹣bC．log2a+log2b≥﹣2 D．a【解析】①已知a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以（a+b）2≤2a2+2b2，则a2+b②利用分析法：要证2a−b＞12，只需证明a﹣b＞﹣1即可，即a＞b﹣1，由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，所以：a＞0，﹣1＜③log2a+log④由于a＞0，b＞0，且a+b＝1，利用分析法：要证a+b≤2成立，只需对关系式进行平方，整理得a+b+2ab≤2，即2ab≤1，故ab故选：ABD．3．（2023•全国）若log12（4x﹣1）＞﹣2，则x的取值范围是【解析】log12（4x﹣1）＞﹣2=lo∴4x−1＞04x−1＜4，∴1∴x的取值范围为(1故答案为：(14．（2023•天津）设x∈R，使不等式3x2+x﹣2＜0成立的x的取值范围为．【解析】3x2+x﹣2＜0，将3x2+x﹣2分解因式即有：（x+1）（3x﹣2）＜0；（x+1）（x−2由一元二次不等式的解法“小于取中间，大于取两边”可得：﹣1＜x＜2即：{x|﹣1＜x＜23}；或（﹣1，故答案为：（﹣1，23考点一比较两个数(式)的大小解题方略：比较两数(式)大小的方法作差法作商法原理设a，b∈R，则a－b>0⇒a>b；a－b＝0⇒a＝b；a－b<0⇒a<b设a>0，b>0，则eq\f(a,b)>1⇒a>b；eq\f(a,b)＝1⇒a＝b；eq\f(a,b)<1⇒a<b步骤作差并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断差与0的大小⇒得结论作商并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断商与1的大小⇒得结论（如果两个数都是正数，一般用作商法，其它一般用作差法.）注意利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等注：比较两式大小还可用函数的单调性法将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系．【例1-1】(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定【解析】，因为，所以，又，所以，即.故选：B【例1-2】(2023·全国·高三专题练习）若a＝，b＝，则a____b(填“＞”或“＜”)．【解析】易知a，b都是正数，＝＝log89＞1，所以b＞a.故答案为：＜【例1-3】(2023·江苏江苏·高三期末）已知＝，b＝3－ln4，c＝，则下列选项正确的是（

）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．c＜a＜b【解析】，,即，，，，，，故选：C【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）若，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．a，b大小不确定【解析】因为，所以．故选：B.2、(2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（

）A． B． C． D．【解析】，即，∵，∴综上，.故选：B3、(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）已知，，则（

）A． B．C． D．【解析】因为，所以，又因为，所以，又因，所以且，所以，所以，故选：D考点二不等式的性质及应用解题方略：利用不等式的性质判断正误的2种方法(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可；(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．【例2-1】(2023·山东日照·二模）若a，b，c为实数，且，，则下列不等关系一定成立的是（

）A． B． C． D．【解析】对于A选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不变，则，A选项正确；对于B选项,若，，则，B选项错误；对于C选项，由不等式的基本性质知，不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变，，，C选项错误；对于D选项，因为，，所以无法判断与大小，D选项错误.【例2-2】(2023·陕西宝鸡·三模（理））若，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【解析】对于A，构造函数，因为单调递增，又，所以，，，故A答案不对；对于B，构造函数，因为单调递增，又，所以，，故B答案正确；对于C，，没有意义，故C答案不对；对于D，取时，，故D答案不对；故选：B.【例2-3】(2023·山东省淄博第一中学高三开学考试）已知a，b，，那么下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，，则 D．若，，则【解析】．若，当时，，所以不成立；．若，当时，则，所以不成立；．因为，将两边同除以，则，所以成立．若且，当时，则，所以，则不成立．故选：．【例2-4】【多选】(2023·山东聊城·一模）设，且，则(

)A． B． C． D．【解析】对于A：，且，，解得，故A正确；对于B：，即，，故B错误；对于C：，且，，当且仅当时，等号成立，，故C正确；对于D，且，，当且仅当，即时等号成立，∵－3＝，∴，∴D错误.故选：AC.【题组练透】1、(2023·安徽黄山·二模（文））设实数、满足，则下列不等式一定成立的是（

）A． B． C． D．【解析】对于A：当，时不成立，故A错误；对于B：当，，所以，，即，故C错误；对于C：当时不成立，故C错误；对于D：因为，所以，又，所以（等号成立的条件是），故D正确.故选：D.2、(2023·北京·模拟预测）已知，下列不等式正确的是（

）A． B． C．D．【解析】A：，又，则，，故，即，错误；B：当时，不成立，错误；C：由，则，正确；D：由，即，当时有，错误.故选：C3、(2023·安徽亳州·高三期末（理））设，，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【解析】因为，所以，所以，故A错误；因为，当时，，故B错误；由，且时，，所以，故C错误；因为，所以所以，故D正确.故选：D.4、(2023·北京房山·一模）若，且，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【解析】取满足，且，此时，A错误；取满足，且，此时，B错误；可得，C正确；取满足，且，此时，D错误.故选：C.考点三求代数式的取值范围解题方略：利用待定系数法求代数式的取值范围已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范围．(1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)；(2)根据恒等变形求得待定系数p，q；(3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．【例3-1】(2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】因为，所以，由，得.故选：A.【例3-2】(2023·浙江·模拟预测）若实数x，y满足，则的取值范围（

）A． B． C． D．【解析】设，则，解得，故，又因，所以，所以.故选：A.【例3-3】若6<a<10，eq\f(a,2)≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是()A．[9，18] B．(15，30)C．[9，30] D．(9，30)【解析】因为eq\f(a,2)≤b≤2a，所以eq\f(3a,2)≤a＋b≤3a，即eq\f(3a,2)≤c≤3a，因为6<a<10，所以9<c<30.故选D.【例3-4】(2023·全国·高三专题练习）在复平面内，复数z满足，且z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，则的最小值为（

）A． B． C．1 D．2【解析】由，得，因为z所对应的点在第一象限或坐标轴的非负半轴上，所以，即，设，解得，所以，当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为.故选：B.【题组练透】1、(2023·江西·二模（文））已知，，则6x＋5y的取值范围为______．【解析】，即故6x＋5y的取值范围为．故答案为：2、【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知实数x，y满足则（

）A．的取值范围为 B．的取值范围为C．的取值范围为 D．的取值范围为【解析】因为，所以.因为，所以，则，故A正确；因为，所以.因为，所以，所以，所以，故B正确；因为，所以，则，故C错误；因为，所以，则，故D正确.故选：ABD.3、(2023·全国·高三专题练习）已知，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】.设，所以，解得：，，因为，，所以，因为单调递增，所以.故选：C考点四解一元二次不等式解题方略：解一元二次不等式的方法和步骤解含参数的一元二次不等式的步骤（一）解不含参数的一元二次不等式【例4-1】(2023·安徽·马鞍山二中模拟预测（理））已知集合，，则（

）A． B．C． D．【解析】由题意得，或，所以．故选：C．【例4-2】(2023·全国·高三专题练习）“”是“”的______条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”）【解析】由，得或，因为是的真子集，所以“”是“”的充分不必要条件.故答案为：充分不必要【题组练透】1、(2023·辽宁·模拟预测）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【解析】由已知得，所以．故选：D．2、(2023·全国·高三专题练习）不等式的整数解构成的集合是_______．【解析】由不等式解得，所以不等式的整数解构成的集合是．故答案为：．3、(2023·全国·高三专题练习）设函数则不等式的解集是___________.【解析】∵，∴原不等式为当即时，由得，所以；当即时，由，解得或，所以或.故不等式的解集为，故答案为：.（二）解含参数的一元二次不等式【例4-3】(2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式．【解析】若，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1．若，原不等式等价于，解得或x>1．若，原不等式等价于．①当时，，无解；②当时，，解，得；③当时，，解，得；综上所述，当时，解集为或；

当时，解集为{x|x>1}；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为．【例4-4】(2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式：.【解析】由得，∵，当，即时，不等式的解为或.当，即时，不等式的解为或，当，即时，不等式的解，所以当时原不等式的解集为，当时原不等式的解集为，当时不等式的解集为.【例4-5】(2023·全国·高三专题练习）解关于的不等式：()．【解析】原不等式化为，①或时，不等式为，所以不等式的解集为；②当或时，，不等式的解集为；③当或时，，不等式的解集为．综上所述：当①或时，不等式的解集为；②当或时，不等式的解集为；③当或时，不等式的解集为．【题组练透】1、(2023·上海·高三专题练习）解关于的不等式：.【解析】当时，不等式化为，解得；当时，不等式化为，解得，或；当时，，不等式化为，解得；当时，不等式化为，此时无解；当时，，不等式化为，解得；综上，时，不等式的解集是；时，不等式的解集是或；时，不等式的解集是；时，不等式无解；时，不等式的解集是.2、(2023·全国·高三专题练习）已知关于的不等式：，当时解不等式．【解析】原不等式可变形为：，当时，，所以，即原不等式的解集为；当时，，所以，即原不等式的解集为；当时，，令，所以，若时，，所以原不等式的解集为，若时，，所以原不等式的解集为，若时，，所以原不等式的解集为，综上可知：时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为．3、(2023·浙江·高三专题练习）设，关于的二次不等式的解集为，集合，满足，求实数的取值范围.【解析】由题意，令，解得两根为，由此可知，当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得；当时，解集，因为，所以的充要条件是，即，解得；综上，实数的取值范围为.考点五解其他不等式解题方略：1、分式不等式的解法：求解分式不等式，等价于要求分子分母同号，即或，这样就可以将分式不等式化为不等式组来求解.另一方面，分子分母同号也等价于（ax+b）(cx+d)>0，这就也能将分式不等式化为整式不等式求解.注：(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．2、含绝对值不等式的解法（1）几个基本不等式的解集①|x|<a(a>0)⇔x2<a2⇔-a<x<a;②|x|>a(a>0)⇔x2>a2⇔x>a,或x<-a;③|x-m|<a(a>0)⇔-a<x-m<a⇔m-a<x<a+m;④|x-m|>a(a>0)⇔x-m>a,或x-m<-a⇔x>m+a,或x<m-a.（2）几种主要的基本类型①|f(x)|>|g(x)|⇔f2(x)>g2(x)(平方法);②|f(x)|>g(x)(g(x)>0)⇔f(x)>g(x),或f(x)<-g(x);③|f(x)|<g(x)(g(x)>0)⇔-g(x)<f(x)<g(x);④含两个或两个以上绝对值符号的不等式可用“按零点分区间讨论”的方法脱去绝对值符号求解.3、一元高次不等式的解法穿根法又称“数轴标根法”，在求解分式不等式、一元整式及高次不等式中有着鬼斧神工的效果。将不等式进行移项，将其化为不等式右侧为0的形式，即是的形式，并将的最高次幂项的系数化为正数的标准形式，具体步骤如下：（1）整理变形：将不等式化为标准形式后，对其进行因式分解，化为如下最简形式：，其中：（2）标根∶将的n个不同根，在数轴上由小到大从左至右标出来。标根时，只需标出相对位置即可，这样即将数轴分为了n+1个区间。（3）画穿根线∶由最大根的右上方向左下方画线，使其穿过数轴，再向左上方穿根划线，由右向左依次画连续曲线。画线时若遇偶数根，即为偶数时，曲线弹回，不穿过该根。若为奇数时，则穿过该根。记住口诀"奇穿偶不穿"即可。（4）写出解集∶如下图所示，数轴下方曲线与数轴构成的区间即为的解集，数轴上方曲线与数轴构成的区间即为的解集。（一）指对数不等式【例5-1】(2023·宁夏·石嘴山市第三中学一模（理））已知集合，，则（

）A． B． C． D．【解析】因为，即，所以，所以，，∴，；故选：D【例5-2】(2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【解析】由，即，所以，所以，所以，由，所以，所以，即，所以.故选：A【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习（文））已知集合，，则（

）A． B． C． D．【解析】集合，.所以.故选：C2、(2023·福建龙岩·模拟预测）集合，，则（

）A． B． C． D．【解析】由，即，所以，所以；由，即，解得，所以；所以故选：C3、(2023·陕西·安康市高新中学三模（理））已知集合，，则（

）A． B． C． D．【解析】由题意知，，所以．故选：C．（二）分式不等式【例5-3】(2023·全国·高三专题练习（文））(1)；(2)；(3).【解析】(1)原不等式等价于x+1与2x-1异号，也就是(x＋1)(2x－1)<0，所以，故原不等式的解集为.(2)原不等式可化为，另外，要使原不等式左端的分式有意义，要求3x+5≠0.于是，原不等式等价地转化为，即.故原不等式的解集为.(3)移项并整理，可将原不等式可化为，则x<－2.故原不等式的解集为．【题组练透】1、(2023·河南·南阳中学高三阶段练习（文））已知集合，，则（

）A． B．C． D．【解析】因为集合，，所以，故选：D.2、(2023·江西·二模（文））已知集合，则（

）A． B． C． D．【解析】由，得…①或

…②，由①得，由②得，，；故选：D.3、(2023·全国·高三开学考试（文））若集合，，则(

)A． B． C． D．【解析】，，∴.故选：C.（三）根式不等式【例5-4】(2023·辽宁辽阳·二模）已知集合，，则（

）A． B．C． D．【解析】因为，所以.故选：C.【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习（文））已知集合，则（

）A． B． C． D．【解析】所以，故选：C2、(2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．【解析】由，即，所以，即，又，所以，故选：B3、(2023·黑龙江·哈尔滨德强学校高三期末（文））已知集合，集合，（

）A． B． C． D．【解析】因为，等价于，解得，由，即，即，所以，即；所以，，所以，因此，.故选：.（四）绝对值不等式【例5-5】(2023·全国·高三专题练习（文））(1) ；(2)；(3)【解析】(1)原不等式等价于x-5≥6或x-5≤-6.解这两个不等式得x≥11或x≤-1,所以原不等式的解集为.(2)当x≥时，原不等式化为2x-1>x，即x>1.此时，不等式的解集为x>1;当x<时，原不等式化为1-2x>x，即x<.此时，不等式的解集为x<.综上所述，原不等式的解集为.(3)当x≥5时，原不等式化为x-3+x-5<4，即x<6.此时，不等式的解集为5≤x<6;当3≤x<5时，原不等式化为x-3+5-x<4，即2<4.始终成立，此时，不等式的解集为3≤x<5时；当x<3时，原不等式化为3-x+5-x<4，即x>2，此时，不等式的解集为2<x<3时.综上所述，原不等式的解集为.【例5-6】(2023·全国·高三专题练习）已知，，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】由得，所以.反之，也成立.所以“”是“”的充分必要条件.故选：C【题组练透】(2023·全国·高三专题练习（文））求不等式的解集；【解析】不等式等价于-2<x+2<2,解得-4<x<0.故原不等式的解集为；2、(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学高三阶段练习）设，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【解析】解不等式可得，，又，反之不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，故选：B.3、(2023·江西·模拟预测（文））已知函数.(1)求不等式的解集；(2)若不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)因为所以不等式等价于或或解得不等式的解集为(2)由（1）知：当时，；当时，；当时，.故函数的值域为，即的最小值是3不等式对一切实数恒成立，，解得故实数的取值范围是（五）高次不等式【例5-7】(2023·全国·高三专题练习）求不等式的解集. 【解析】原不等式可转化为x(x+1)(x+2)≤0,且x≠0，根据数轴标根法，标根所以，原不等式的解集为.【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）不等式(1＋x)(1－x2)>0的解集是（

）A．{x|0≤x<1} B．{x|x<0且x≠－1}C．{x|－1<x<1} D．{x|x<1且x≠－1}【解析】由已知得,等价于且即不等式的解集为{x|x<1且x≠－1}故选：D2、(2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为______________.【解析】不等式等价于，解得.故答案为：.3、(2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为（

）A．，或 B．，或C．，或 D．，或【解析】原不等式可转化为，结合数轴标根法可得，或．即不等式的解集为，或．故选：A．考点六由一元二次不等式的解确定参数解题方略：1.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为，即关于的不等式的解集为．2.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．3.已知关于的不等式的解集为（其中），解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为．4.已知关于的不等式的解集为，解关于的不等式．由的解集为，得:的解集为即关于的不等式的解集为，以此类推．【例6-1】(2023·全国·高三专题练习）已知不等式ax2+bx+2＞0的解集为，则不等式2x2+bx+a＜0的解集为_____.【解析】∵不等式ax2+bx+2＞0的解集为{x|}，∴，是ax2+bx+2＝0的一元二次方程的两个实数根，∴，解得a＝﹣12，b＝﹣2.则不等式2x2+bx+a＜0化为2x2﹣2x﹣12＜0，即x2﹣x﹣6＜0，解得﹣2＜x＜3.∴不等式2x2+bx+a＜0的解集为（﹣2，3）.故答案为：（﹣2，3）.【例6-2】【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知关于x的不等式的解集为，则（

）A．B．不等式的解集是C．D．不等式的解集为【解析】关于的不等式的解集为选项正确；且－2和3是关于的方程的两根，由韦达定理得，则，则，C选项错误；不等式即为，解得选项正确；不等式即为，即，解得或选项正确.故选：.【例6-3】(2023·全国·高三专题练习）关于x的不等式的解集为，则实数a的值为（

）A． B． C． D．4【解析】由且不等于1，由题意得，，解得.故选：D.【例6-4】(2023·全国·高三专题练习（理））已知一元二次不等式的解集为或，则的解集为（

）A．或 B．C．{x|} D．{x|}【解析】由一元二次不等式的解集为或，可设函数解析式为：，将代入得，又，所以，故选：D.【例6-5】(2023·全国·高三专题练习）若关于的不等式恰有1个正整数解，则的取值范围是___________.【解析】不等式等价于.令，解得或.当时，不等式的解集为，要想恰有1个正整数解，则；当时，不等式无解，所以不符合题意；当时，不等式的解集为，则.综上，的取值范围是.故答案为：【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集是，则不等式的解集是________.【解析】依题意，，是方程的两个根，且，于是得，解得：，因此，不等式为：，解得，所以不等式的解集是.故答案为：2、【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知不等式的解集为，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【解析】对A，不等式的解集为，故相应的二次函数的图象开口向下，即，故A错误；对B，C，由题意知：和是关于的方程的两个根，则有，，又，故，故B，C正确；对D，，，又，，故D正确.故选：BCD.3、(2023·湖南岳阳·二模）已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A． B．1 C．2 D．8【解析】的解集为，则的两根为，，∴，∴，，则，即，，当且仅当时取“=”，故选：C.4、(2023·全国·高三专题练习）不等式的解集为，则函数的图像大致为（

）A． B．C． D．【解析】∵不等式的解集为，∴，∴，，图象开口向下，两个零点为.故选：C.5、(2023·全国·高三专题练习）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有5个整数，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】原不等式变形为，时，原不等式才有解．且解为，要使其中只有5个整数，则，解得．故选：D．考点七一元二次不等式的恒成立问题解题方略：1、一元二次不等式在R上恒成立的条件(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ<0))；(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,Δ≤0))；(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ<0))；(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为R)时，满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0,Δ≤0)).注：①已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足；②已知关于的一元二次不等式的解集为，则一定满足．③含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．设f(x)的最大值为M，最小值为m.(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题(1)若f(x)>0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)>0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)；(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为[m，n]，则f(x)≥a恒成立⇒f(x)min≥a，即m≥a；f(x)≤a恒成立⇒f(x)max≤a，即n≤a.具体如下：设（1）当时，上恒成立，上恒成立（2）当时，上恒成立上恒成立注：①。②3、给定参数范围求x范围的恒成立问题的解法解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般情况下，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．（1）一元二次不等式在R上的恒成立问题【例7-1】(2023·江苏南通·模拟预测）当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】由题意，当时，不等式恒成立，故解得，故实数的取值范围是故选：A【例7-2】(2023·全国·高三专题练习）若不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】对一切实数都成立，①时，恒成立，②时，则，解得，综上可得，.故选：D.【例7-3】(2023·北京·高三专题练习）若不等式的解集为空集，则的取值范围是（

）A． B．，或C． D．，或【解析】∵不等式的解集为空集，∴，∴.故选：A.【例7-4】(2023·浙江·高三专题练习）若命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】∵命题“存在，使”是假命题，则其否定“任意，”为真命题,∴，所以.故选：C.【例7-5】(2023·北京·高三专题练习）已知函数，则“函数的图象恒在轴的下方”是“”的（

）A．既不必要又不充分条件B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件【解析】因为二次函数的开口方向向下，所以有，则，即，满足函数的图像在轴的下方.又因为，所以“函数的图像在轴的下方”是“0”的必要不充分条件.故选：C【题组练透】1、(2023·全国·高三专题练习）关于的不等式的解集为，则实数的范围是（

）A． B．C． D．或【解析】当时，该不等式为，解集为，不成立；当时，由不