山东省河源市东华实验学校2023-2024学年高二下学期4月月考数学试题

2023-2024学年第二学期高二年级阶段性测试高二数学试卷试卷共4页，19小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．考查范围：必修第一册和必修第二册占10%，选择性必修第一册占20%，选择性必修第二册占50%，选择性必修第三册第六章第一、二节占20%．2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡指定位置上．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无处．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将答题卡交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知向量，，则（

）A．14 B．20 C．36 D．382．若a是与1的等差中项，则（

）A．1 B．0或1 C．或1 D．或13．曲线在点处的切线方程是（

）A． B．C． D．4．函数有极值点，则（

）A． B． C． D．5．已知等比数列的前项和为，，且，则（

）A．10 B．15 C．25 D．456．已知点F为椭圆的右焦点，点A，B是C上与其长轴端点不重合的两点，设甲：直线AB经过C的左焦点；乙：的周长为，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．现有如图所示的九宫格，方格编号为1~9，将其中5个不同的方格染成黑色，则至少有一行或一列被染成黑色的染色方式总数有（

）A．90种 B．81种 C．75种 D．72种8．已知，实数a，b，c满足，，，则（

）A． B．C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某影院在2024年春节档引入了4部电影，包含2部喜剧电影、2部动画电影，其中《熊出没·逆转时空》是一部动画电影．该影院某天预留了A，B两个影厅用于放映这4部电影，这4部电影当天全部放映，每部电影固定在一个影厅内放映，每个影厅当天至少放映一部电影，则下列选项正确的是（

）A．若B影厅仅放映1部电影，有4种安排方法B．一共有16种安排方法C．若将《熊出没·逆转时空》安排至A影厅，有7种安排方法D．若将2部动画电影安排至不同影厅，有4种安排方法10．已知定义在上的函数，则（

）A．在上单调递增 B．在上单调递减C．有极大值 D．无极小值11．数列满足，且对任意均有．记数列的前n项和为，则的值可能是（

）A． B． C．1 D．2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．若，则．13．很多收费软件需要产品密钥激活才能使用，其中由25个字符构成的产品密钥比较常见，下面是两个25字符的密钥示例：JDHTC-NCQHB-6W444-97QYC-KW3MBD68QB-N79BC-DMXTD-PM8TY-6VJXM这两个产品密钥由数字和字母组成，将其中的数字从小到大排列，得到一组数据，则这组数据的40%分位数是．14．已知函数（其中且），若存在，使得，则实数a的取值范围是．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．现有个球，球的编号从1到，从中任取2个球，取法总数记为．(1)求数列的通项公式；(2)证明：．16．已知数列满足，，数列满足．(1)判断数列的单调性；(2)求数列的前n项和．17．如图，已知圆台的高为，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径，．(1)证明：是等边三角形；(2)已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值．18．已知函数．(1)求f（x）的单调区间；(2)已知，证明：（ⅰ）；（ⅱ）且时，．19．在平面直角坐标系中，已知，其中B，C在x轴上，以为圆心的圆内切于，与边AB切于点M，且等于点A到x轴的距离．(1)求点A运动轨迹的方程；(2)求的面积的最小值．

1．C【分析】利用向量的坐标运算,计算向量的数量积即可.【详解】由．故选：C．2．A【分析】利用等差中项的性质即可求解.【详解】由a是与1的等差中项得，解得．故选：A．3．A【分析】求导，用导数几何意义得到切线斜率，求出方程即可．【详解】记，有，．所以曲线在点处的切线方程为：，即．故选：A．4．D【分析】对函数进行求导，再结合极值的概念可求出a的值，求出来的值注意验证.【详解】，因为有极值点，所以，解得，经检验，时在处取得极小值，满足题意．故选：D．5．D【分析】设的公比为，分析出，由已知求出，结合代值计算即可．【详解】设的公比为，当时，，所以，则，与矛盾，故，因为，所以，解得，故．故选：D．6．C【分析】设C的左焦点为E，直线AB经过C的左焦点E，由椭圆的定义推出充分性；由三角形不等式性质可知，，当且仅当A，B，E三点共线时等号成立，进而推出充分条件.【详解】设C的左焦点为E，若直线AB经过C的左焦点E，则△ABF的周长为，故充分性成立．由三角形不等式性质可知，，当且仅当点共线时等号成立．故的周长为．故若的周长为，则直线AB经过C的左焦点，必要性成立．故选：C．7．B【分析】由基本计数原理以及组合数的计算即可求解.【详解】若其中一行与其中一列同时被染成黑色，则染色方式总数有种，若仅有一行被染成黑色或仅有一列被染成黑色，则染色方式总数有种，所以至少有一行或一列被染成黑色的染色方式总数有81种．故选：B．8．B【分析】先利用三角恒等变换和诱导公式得到，，，根据，得到，，从而得到.【详解】由题可得，，，其中，故，，，所以．故选：B．9．AC【分析】利用分步选取，只要确定影厅放映的电影，剩下的就是给影厅，即可解决问题.【详解】对于A，按影厅仅放映1部电影，有种安排方法，故A正确；对于B，按影厅放映的电影，有种安排方法，故B错误；对于C，按影厅放映的电影一定有《熊出没逆转时间》，则有种安排方法，故C正确；对于D，按影厅放映的电影一定有1部动画电影，有种安排方法，故D错误．故选：AC．10．BCD【分析】将求导后，根据导数性质即可判断递增、递减区间及极大极小值.【详解】对函数求导得，．当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增，由于，故A错误，B正确；时，有极大值，无极小值，故C正确，D正确．故选：BCD．【点睛】（1）可导函数在点处取得极值的充要条件是，且在左侧与右侧的符号不同．（2）若在内有极值，那么在内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值．11．BD【分析】令，，得出，再令，求出，即可求解．【详解】令，，得，即，，故．令，得，由，有，又由，有，解得或1，当时，由，得，，，，当时，由，得，，，．所以，因为，所以或2．故选：BD．12．2【分析】将组合数化为阶乘形式后化简即可．【详解】由题知，即，解得．故答案为：２.13．6【分析】利用百分位数的定义即可以求解.【详解】由题易知共有13个数字，这13个数字从小到大排列得：3，4，4，4，6，6，6，7，7，8，8，9，9．由于，则这组数据的40%分位数是其第6项，即6．故答案为：6．14．【分析】按照且的限制条件进行分类讨论：，，，存在性问题转化为求函数极值最值问题即可.【详解】由题知，，若，则当时，，当且仅当时第一个等号成立，所以f（x）在上单调递增，所以当时，，不满足题意；若，则当时，，f（x）在上单调递减，所以当时，，满足题意；若，则当时，则，令，则，所以g（x）在上单调递增，当时，，所以存在唯一的，使得，且时，f（x）单调递减，所以时，，满足题意．故实数a的取值范围是．故答案为：.15．(1)(2)证明见解析【分析】（1）选取问题利用组合数公式即可得到通项公式；（2）利用组合数计算公式即可证明.【详解】（1）由题意可得：．（2）证明：因为，所以．16．(1)数列单调递增(2)．【分析】（1）首先化简，再利用的正负性判断单调性即可；（2）利用错位相减法求和即可得.【详解】（1）由题可得，又因为，所以数列单调递增．（2）由题意可得，①②－②得，故．17．(1)证明见解析(2)．【分析】（1）作出辅助线，得到，，由平行关系得到，得到三角形为等边三角形；（2）建立空间直角坐标系，得到点的坐标，求出平面BCE的法向量，得到线面角的正弦值.【详解】（1）证明：由及AB，CD分别是上、下底面的直径可知，A，B，C，D四点共面．作于点F，则，，故，因为，所以，故是等边三角形．（2）以为原点，过点与平面ABCD垂直的直线为x轴，分别以，所在直线为y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，连接，则，，，由题易知，故，，，，设平面BCE的法向量为，则即，取，得，记直线BD与平面BCE所成的角为θ，则．故直线BD与平面BCE所成角的正弦值为．18．(1)单调递增区间为，单调递减区间为(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析【分析】（1）求导，求出根为0，后分情况讨论即可．（2）（ⅰ）由前面一问赋值0，得到，令，两边再n次方即可．（ⅱ）由前面得出，两边取对数，变形得到．累加求和,后按照放缩求和即可.【详解】（1）由得，单调递增且．故时，；时，，所以的单调递增区间为，单调递减区间为．（2）（ⅰ）由（1）知，，即，当且仅当时取等号，令得，两边n次方得，即得证．（ⅱ）由，两边取对数得，即，则有，，…，，累加得．即得证．19．(1)(2)8【分析】（1）设，由圆的切线的性质，得，列方程化简即可得出答案；（2）解法一：设直线AB的方程为，由直线与圆E位置关系可得b，c是方程的两个根，由韦达定理求出，即可表示出的面积，由基本不等式即可求出面积的最小值；解法二：利用几何性质求出，即可表示出的面积，由基本不等式即可求出面积的最小值；【详解】（1）因为圆E与BC相切，B，C在x轴上，所以圆E的半径为1，设，由题意知，．由圆的切线的性质，得，因为等于点A到x轴的距离，所以．整理得，即点A运动轨迹的方程为．（2）解法一：设，则直线AB的方程为．由于直线AB与圆E相切，由