黑龙江省海林市朝鲜族中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试卷【含答案】

2023-2024学年度第二学期高二年级数学学科第一次考试（选修5、6章）班级：___________姓名：___________一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若，则x的值为（

）A．2 B．4 C．4或2 D．32．从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为（

）A．甲乙，乙甲，甲丙，丙甲B．甲乙丙，乙丙甲C．甲乙，甲丙，乙甲，乙丙，丙甲，丙乙D．甲乙，甲丙，乙丙3．6名同学排成一排，其中甲､乙两人必须在一起的不同排法共有（

）A．720 B．360 C．240 D．1204．3名男生和2名女生站成一排朗诵，其中女生不能站在一起的排法种数为（

）A．72 B．60 C．36 D．305．在的展开式中，的系数是A． B． C．5 D．406．分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道，要求4名水暖工都分配出去，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有A．种 B．种 C．种 D．种7．计算的值是（

）A．252 B．70 C．56 D．218．为迎接2022年北京冬奥会的到来，某体育中心举办“激情冰雪，相约冬奥”主题展览体验活动，共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目，每人限报1个项目．有3位同学准备参加该活动，则不同的体验方案种数为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．下列求导运算中正确的是（

）A． B． C． D．10．某学生在物理､化学､生物､政治､历史､地理､技术这七门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是（

）A．若任意选择三门课程，选法总数为B．若物理和化学至少选一门，选法总数为C．若物理和历史不能同时选，选法总数为D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不能同时选，选法总数为11．已知二项式的展开式中各项系数的和为,则下列结论正确的是（

）A．B．展开式中二项式系数和为128C．展开式中项的系数为21D．展开式中有3项有理项三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．已知集合A＝{0，3，4}，B＝{1，2，7，8}，集合C＝{x|x∈A或x∈B}，则当集合C中有且只有一个元素时，C的情况有种．13．若把一句话“我爱中国”的汉字顺序写错了，则可能出现的错误共有种．14．若a为函数的极小值点，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．求函数的单调区间.16．4个男生，3个女生站成一排．（必须写出算式再算出结果才得分）(1)3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女生彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲乙二人之间恰好有三个人，有多少种不同的排法？17．已知，其中，，，，.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.(1)求值及二项式系数最大项；(2)求的值（用数值作答）.18．已知函数(1)求的单调减区间；(2)若在区间上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．19．已知函数.(1)求函数的单调性；(2)当时，记函数的最小值为，证明：.1．C【分析】利用组合数性质计算即可.【详解】当时，满足题意；当，即时，满足题意.故选：C.2．C【解析】根据题意依次列出即可.【详解】解：若选出的是甲、乙，则站法有甲乙、乙甲；若选出的是甲、丙，则站法有甲丙、丙甲；若选出的是乙、丙，则站法有乙丙、丙乙.故选：C.3．C【分析】先将甲乙捆绑在一起，然后将其看成一个元素与其余4人一起进行全排列可得.【详解】先将甲､乙两人排成一排共种排法，将甲､乙两人看成一个元素，然后与其余4人一起排成一排，共有种，所以甲､乙两人在一起的不同排法共有种排法.故选：C4．A【分析】根据条件，先排3名男生，有种排法，再将女生插入4个空，有种排法，再利用分步计数原理，即可求出结果.【详解】因为排3名男生，有种排法，再将女生插入4个空，有种排法所以女生不能站在一起的排法种数为，故选：A.5．A【分析】由二项展开式的通项公式，可直接得出结果.【详解】因为的展开式的通项为，令，则的系数是.故选A【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数，熟记二项式定理即可，属于基础题型.6．C【详解】C试题分析：由题意得：有个居民家去两名水暖工，其他两个居民家各去一名水暖工，因此分配的方案共有种，选C.考点：排列组合7．C【分析】根据组合数的计算公式即可求解.【详解】故选：C.8．C【分析】按照分步计数原理，计数结果.【详解】每个人都可以参加5项活动中的一项，共有种方法.故选：C9．AB【分析】利用导数的运算法则及基本函数的导数，逐一分析各项，即可求出结果.【详解】对于选项A，因为，所以选项A正确，对于选项B，因为，所以选项B正确，对于选项C，因为，所以选项C错误，对于选项D，因为，所以选项D错误，故选：AB.10．ABC【分析】根据组合数判断A，分物理和化学选一门与选两门两种情况，即可判断B，利用间接法即可判断C，分3种情况，分别讨论计算，即可判断D.【详解】解：对于A．若任意选择三门课程，选法总数为种，可判断A正确；对于B．若物理和化学选一门，有种方法，其余两门从剩余的5门中选2门，有种选法，若物理和化学选两门，有种选法，剩下一门从剩余的5门中选1门，有种选法由分步乘法计数原理知，总数为种选法，故B正确；对于C．若物理和历史不能同时选，选法总数为种，故C正确；对于D．若物理和化学至少选一门，有3种情况，①只选物理有且物理和历史不同时选，有种选法；②选化学，不选物理，有种选法；③物理与化学都选，有种选法，故总数为种，故D错误．故选：ABC．11．BD【分析】根据各项系数的和为,令即可得,可得选项A错误,二项式系数和即,即可判断选项B的正误,根据二项式定理写出通项,使的幂次为1,解得项数,即可得选项C的正误,使通项中的幂次为有理数即可判断选项D的正误.【详解】解:由题可得,不妨令,得,所以,故选项A错误;展开式中二项式系数和为,故选项B正确;展开式的通项公式为,令,解得,展开式中项的系数为,故选项C错误;展开式的通项公式为,当时,为有理项,故选项D正确.故选:BD12．7【分析】分两种情况，由分类加法原求解即可【详解】解：分两种情况：当集合C中的元素属于集合A时，有3种；当集合C中的元素属于集合B时，有4种．因为集合A与集合B无公共元素，所以集合C的情况共有3＋4＝7(种).故答案为：713．23【分析】先计算得到四个字的全排列，减去不满足题意的即可.【详解】“我爱中国”,这四个字的全排列有种，其中有一种是正确的，故错误的有23种.故答案为23.【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法：（1）元素相邻的排列问题——“捆邦法”；（2）元素相间的排列问题——“插空法”；（3）元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；（4）带有“含”、“不含”、“至多”、“至少”的排列组合问题——间接法．14．2【分析】求出函数的导数，直接求函数的极值点即可得解.【详解】令，解得，由二次函数可知，当或时，，当时，，所以函数在和上递增，在上递减，所以是函数的极小值点，即，故答案为：215．单调递减区间，单调递增区间【分析】先求出函数的定义域，对求导，得到，利用导数与函数单调性间的关系，即可求出结果.【详解】易知函数的定义域为，因为，令，得到，当时，，当时，，所以的单调递减区间为，递增区间为.16．(1)720；(2)1440；(3)720.【分析】（1）先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素进行全排列，即可得到答案；（2）男生排好后，5个空中再插入3个女生，即可得到答案；（3）甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最后剩余的2个元素全排列，由分步计数原理，即可求解结果．【详解】（1）解：先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素进行全排列有种．（2）解：男生排好后，5个空再插女生有种．（3）解：甲、乙先排好后，再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间，把排好的5个元素与最后剩余的2个元素全排列，分步有种．17．(1)(2)3281【分析】（1）根据题意知最大得出的值，再计算即可；（2）利用赋值法，分别令和，得出两式，相加即可得出的值.【详解】（1）因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大，即仅有最大，所以，故.即，二项式系数最大项为第5项：；（2）令，得，令，得.两式相加可得.18．(1)，；(2).【分析】（1）根据导数与单调性的关系即得；（2）根据导数与函数的最值的关系可得函数的最大值，可得，结合条件进而即得.【详解】（1）由，求导可得,由，可得或，所以函数的单调减区间为，；（2）因为，令，解得或可得下表：则，分别是在区间上的最大值和最小值，所以，解得，从而得函数在上的最小值为.19．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导得，分别讨论和两种情况下的正负，可得