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文档简介
2023-2024学年度第二学期高二年级数学学科第一次考试(选修5、6章)班级:___________姓名:___________一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若,则x的值为(
)A.2 B.4 C.4或2 D.32.从甲、乙、丙三人中选出两人并站成一排的所有站法为(
)A.甲乙,乙甲,甲丙,丙甲B.甲乙丙,乙丙甲C.甲乙,甲丙,乙甲,乙丙,丙甲,丙乙D.甲乙,甲丙,乙丙3.6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须在一起的不同排法共有(
)A.720 B.360 C.240 D.1204.3名男生和2名女生站成一排朗诵,其中女生不能站在一起的排法种数为(
)A.72 B.60 C.36 D.305.在的展开式中,的系数是A. B. C.5 D.406.分配4名水暖工去3个不同的居民家里检查暖气管道,要求4名水暖工都分配出去,且每个居民家都要有人去检查,那么分配的方案共有A.种 B.种 C.种 D.种7.计算的值是(
)A.252 B.70 C.56 D.218.为迎接2022年北京冬奥会的到来,某体育中心举办“激情冰雪,相约冬奥”主题展览体验活动,共有短道速滑、速度滑冰、花样滑冰、冰球、冰壶5个活动项目,每人限报1个项目.有3位同学准备参加该活动,则不同的体验方案种数为(
)A. B. C. D.二、多项选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.下列求导运算中正确的是(
)A. B. C. D.10.某学生在物理、化学、生物、政治、历史、地理、技术这七门课程中选三门作为选考科目,下列说法正确的是(
)A.若任意选择三门课程,选法总数为B.若物理和化学至少选一门,选法总数为C.若物理和历史不能同时选,选法总数为D.若物理和化学至少选一门,且物理和历史不能同时选,选法总数为11.已知二项式的展开式中各项系数的和为,则下列结论正确的是(
)A.B.展开式中二项式系数和为128C.展开式中项的系数为21D.展开式中有3项有理项三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.已知集合A={0,3,4},B={1,2,7,8},集合C={x|x∈A或x∈B},则当集合C中有且只有一个元素时,C的情况有种.13.若把一句话“我爱中国”的汉字顺序写错了,则可能出现的错误共有种.14.若a为函数的极小值点,则.四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.求函数的单调区间.16.4个男生,3个女生站成一排.(必须写出算式再算出结果才得分)(1)3个女生必须排在一起,有多少种不同的排法?(2)任何两个女生彼此不相邻,有多少种不同的排法?(3)甲乙二人之间恰好有三个人,有多少种不同的排法?17.已知,其中,,,,.且展开式中仅有第5项的二项式系数最大.(1)求值及二项式系数最大项;(2)求的值(用数值作答).18.已知函数(1)求的单调减区间;(2)若在区间上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.19.已知函数.(1)求函数的单调性;(2)当时,记函数的最小值为,证明:.1.C【分析】利用组合数性质计算即可.【详解】当时,满足题意;当,即时,满足题意.故选:C.2.C【解析】根据题意依次列出即可.【详解】解:若选出的是甲、乙,则站法有甲乙、乙甲;若选出的是甲、丙,则站法有甲丙、丙甲;若选出的是乙、丙,则站法有乙丙、丙乙.故选:C.3.C【分析】先将甲乙捆绑在一起,然后将其看成一个元素与其余4人一起进行全排列可得.【详解】先将甲、乙两人排成一排共种排法,将甲、乙两人看成一个元素,然后与其余4人一起排成一排,共有种,所以甲、乙两人在一起的不同排法共有种排法.故选:C4.A【分析】根据条件,先排3名男生,有种排法,再将女生插入4个空,有种排法,再利用分步计数原理,即可求出结果.【详解】因为排3名男生,有种排法,再将女生插入4个空,有种排法所以女生不能站在一起的排法种数为,故选:A.5.A【分析】由二项展开式的通项公式,可直接得出结果.【详解】因为的展开式的通项为,令,则的系数是.故选A【点睛】本题主要考查二项展开式中指定项的系数,熟记二项式定理即可,属于基础题型.6.C【详解】C试题分析:由题意得:有个居民家去两名水暖工,其他两个居民家各去一名水暖工,因此分配的方案共有种,选C.考点:排列组合7.C【分析】根据组合数的计算公式即可求解.【详解】故选:C.8.C【分析】按照分步计数原理,计数结果.【详解】每个人都可以参加5项活动中的一项,共有种方法.故选:C9.AB【分析】利用导数的运算法则及基本函数的导数,逐一分析各项,即可求出结果.【详解】对于选项A,因为,所以选项A正确,对于选项B,因为,所以选项B正确,对于选项C,因为,所以选项C错误,对于选项D,因为,所以选项D错误,故选:AB.10.ABC【分析】根据组合数判断A,分物理和化学选一门与选两门两种情况,即可判断B,利用间接法即可判断C,分3种情况,分别讨论计算,即可判断D.【详解】解:对于A.若任意选择三门课程,选法总数为种,可判断A正确;对于B.若物理和化学选一门,有种方法,其余两门从剩余的5门中选2门,有种选法,若物理和化学选两门,有种选法,剩下一门从剩余的5门中选1门,有种选法由分步乘法计数原理知,总数为种选法,故B正确;对于C.若物理和历史不能同时选,选法总数为种,故C正确;对于D.若物理和化学至少选一门,有3种情况,①只选物理有且物理和历史不同时选,有种选法;②选化学,不选物理,有种选法;③物理与化学都选,有种选法,故总数为种,故D错误.故选:ABC.11.BD【分析】根据各项系数的和为,令即可得,可得选项A错误,二项式系数和即,即可判断选项B的正误,根据二项式定理写出通项,使的幂次为1,解得项数,即可得选项C的正误,使通项中的幂次为有理数即可判断选项D的正误.【详解】解:由题可得,不妨令,得,所以,故选项A错误;展开式中二项式系数和为,故选项B正确;展开式的通项公式为,令,解得,展开式中项的系数为,故选项C错误;展开式的通项公式为,当时,为有理项,故选项D正确.故选:BD12.7【分析】分两种情况,由分类加法原求解即可【详解】解:分两种情况:当集合C中的元素属于集合A时,有3种;当集合C中的元素属于集合B时,有4种.因为集合A与集合B无公共元素,所以集合C的情况共有3+4=7(种).故答案为:713.23【分析】先计算得到四个字的全排列,减去不满足题意的即可.【详解】“我爱中国”,这四个字的全排列有种,其中有一种是正确的,故错误的有23种.故答案为23.【点睛】求解排列、组合问题常用的解题方法:(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”;(2)元素相间的排列问题——“插空法”;(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”;(4)带有“含”、“不含”、“至多”、“至少”的排列组合问题——间接法.14.2【分析】求出函数的导数,直接求函数的极值点即可得解.【详解】令,解得,由二次函数可知,当或时,,当时,,所以函数在和上递增,在上递减,所以是函数的极小值点,即,故答案为:215.单调递减区间,单调递增区间【分析】先求出函数的定义域,对求导,得到,利用导数与函数单调性间的关系,即可求出结果.【详解】易知函数的定义域为,因为,令,得到,当时,,当时,,所以的单调递减区间为,递增区间为.16.(1)720;(2)1440;(3)720.【分析】(1)先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素进行全排列,即可得到答案;(2)男生排好后,5个空中再插入3个女生,即可得到答案;(3)甲、乙先排好后,再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间,把排好的5个元素与最后剩余的2个元素全排列,由分步计数原理,即可求解结果.【详解】(1)解:先排3个女生作为一个元素与其余的4个元素进行全排列有种.(2)解:男生排好后,5个空再插女生有种.(3)解:甲、乙先排好后,再从其余的5人中选出3人排在甲、乙之间,把排好的5个元素与最后剩余的2个元素全排列,分步有种.17.(1)(2)3281【分析】(1)根据题意知最大得出的值,再计算即可;(2)利用赋值法,分别令和,得出两式,相加即可得出的值.【详解】(1)因为展开式中仅有第5项的二项式系数最大,即仅有最大,所以,故.即,二项式系数最大项为第5项:;(2)令,得,令,得.两式相加可得.18.(1),;(2).【分析】(1)根据导数与单调性的关系即得;(2)根据导数与函数的最值的关系可得函数的最大值,可得,结合条件进而即得.【详解】(1)由,求导可得,由,可得或,所以函数的单调减区间为,;(2)因为,令,解得或可得下表:则,分别是在区间上的最大值和最小值,所以,解得,从而得函数在上的最小值为.19.(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】(1)求导得,分别讨论和两种情况下的正负,可得
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