2021江西八所重点中学联考高三数学（文科）高考模拟试卷含答案

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2021江西八所重点中学联考高三数学(文科)高考模拟试卷含答案

2021年江西省八所重点中学高考数学联考试卷(文科)(4月份)

一、选择题(共12小题).

1.已知集合彳={x||x-1|V2},B=U|r>2),则4()

A.(0,3)B.(-1,4)C.(2,3)D.(-1,3)

2.定义：若复数二与二'满足='=1,则称复数二与二'互为倒数.已知复数二=，■考/，

则复数二的倒数二'=()

3.若。=2021021,6=sin~~~n,c=log202!0.21,则（

5

A.c<a<bB.b<a<cC.b<c<aD.c<b<a

4.已知向量：=（3.4）,”，-5）,若？_L（2：+E）,则》=（

A.0B.-2C.-10D.6

jr

5.已知角e终边经过点P(五,a),若e=-《-,Ma=()

A.V6B.华C.-V6D.平

6.执行如图所示的程序框图，若输入的x为-9,则输出y的值为()

A.4B.7C.17D.27

171

7.函数/（K）="-十）cos（--x）的图象可能为（）

A.

B.

8.设地球表面某地正午太阳高度角为e,E为此时太阳直射纬度,<p为该地的纬度值，则有8

=90°-|（p-4根据地理知识，某地区的纬度值约为北纬27.95°,当太阳直射南回归

线（此时的太阳直射纬度为・23.5°）时物体的影子最氏，如果在当地某高度为力。的楼

房北边盖一新楼，要使新楼,层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡（如图所示），两

楼的距离应至少约为垢的（〉倍.（注意tan38.55°^0.80）

影长

A.0.5倍B.0.8倍C.1倍D.1.25倍

9.在△/8C中，48=3,BC=5,D为BC边上一点,且满足而得而，此时NADC=g■.贝U

/C边长等于()

A.V?B.—C.4D.V19

10.已知正项数列｛劣｝满足，S”是｛〃｝的前〃项和，且S”=a”2+£an-14,则$=()

22

An15nn15n325

A.----+------BR.—+------Cr.MnDn.n^-3n

44332n2"

II.已知R,B是双曲线%-。1心>0,b>0）的左、右焦点，B关于其渐近线的对

a」一

称点为尸，并使得NPOR=4NQPO（O为坐标原点），则双曲线的离心率e=（）

A.2B.V3C.V2D.

12.已知函数f（x）=lnx+bmx2行两个零点b,且存在唯一的整数xOe（a,6）,则实

X

数机的取值范围是（）

A.（0.1）B.［蹙，1）C.［噜，1）D.（0,蹙）

二、填空题（每小题5分）.

x+y>3

13.已知实数x,y满足不等式组,x-2y>0,则==2x+y的最小值是.

x<4

14.如图，根据已知的散点图得到y关于K的线性回归方程为丫=晓.2,则8=.

7JT

15.函数/（x）=cos（户——）+sin2x的最大值为.

16.在澈锥。・46。中，PA=PB=BC=4,AC=S,AB1BC.平面E48J■平面48C,若

球。是三棱锥尸-48。的外接球，则球。的表面积为.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题，每

个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60

分.

17.已知正项等比数列（〃“｝的前〃项和为S”，S3=7,02田=16.

（1）求数列｛小｝的通项公式:

（2）设仇=1,当〃22时，^=T—-——,求数列｛九｝的前〃项和7；.

iog2aniog2an+1

18.江西全面推进城市生活垃圾分类，在2021年底实现''零”填埋.据统计，截止2020

年4月，全省II个设区市有1596个党政机关、2008个事业单位、369个公共场所、373

个相关企业、51个示范片区、1752个居民小区开展了垃圾分类工作，覆盖人口2481万

人.某校为了宣传垃圾分类知识，面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调查，

每位学生仅有一次参与机会，通过抽样，得到100人的得分情况，将样本数据分成[50,

60）,[60,70）,[70,80）,[80,90），[90,100]五组，并整理得到如图频率分布直

已知测试成绩的中位数为75.

（1）求x,y的值，并求出测试成绩的平均数（同一组中的每个数据可用该组区间中点

值代替）：

（2）现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出6人进行垃圾分类知识竞答活动，

再从中选出两人进行一对一PK,求抽出的两人恰好来自同一组的概率.

19.如图，四边形4?。。是边长为2的菱形且N/8C=60°,平面48CQJ■平面AF

“BE,AB工BE,AB=BE=2,AF=\.

（I）求证：8E_L平面处纥。：

（2）求三极锥力-DEF的体积.

20.已知函数/(x)=x2-(a+2)x+alnx.

＜1)当加＞2时，求函数/(x)的单调区间：

(2)若存在x€[l,+8),使/(x)V。成立，求实数a的取值范围.

正的正三角形.

(1)求椭圆。的方程；

(2)过椭圆C的右焦点后的直线/(/的斜率存在)交椭圆C于M,N两点，弦MN的

|MN|

垂直平分线交k轴干点P,问：书可丁是否是定值？若是，求出定值：若不是，说明理

由.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一

题计分J选修4-4：坐标系与参数方程|

令Y

22.在平面直角坐标系中，曲线。的参数方程为，(/为参数，且，＞0)，

以坐标原点。为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，宜线/极坐标方程为pcos

(I)写出曲线。和直线/的直角坐标方程：

(2)若极坐标方程为。=子(pWR)的直线与曲线C交于异于原点的点4与直线/交

于点8,且直线/交x轴于点M,求的面积.

|选修4-5：不等式选讲|

23.已知函数/(x)=|2x-2|+|x+i|.

(I)解不等式/(x)<5：

(2)若a、b为正实数，函数/(x)的最小值为人已知2/26=人求3的最小值.

参考答案

一、选择题（每小题5分）.

1.已知集合力={x||x-1|V2},B={x|r>2},则4CI5=(

A.(0,3)B.(-I,4)C.(2,3)D.(-I,3)

解：'：A={x\-l<x<3},B={x\x>2],

：.AHB=(2,3).

故选：C.

已知复数二=/二与/，

2.定义：若复数二与二'满足='=1,则称复数二与二'互为倒数.

故选：A.

3,若a=202102i,b=sin--~n,c=log2G2i0.2l,则(

b

A.c<a<bB.b<a<cC.b<c<ac<b<a

解：V2O21o2l>2O210=l,/.a>l,

...2021冗7T

•sin---z---:sin5，.*.0<6<I.

o

Vlog2Q2l0.2l<log202ll=0>/.c<0»

/.c<b<a,

故选：D.

4.已知向量；=(3,4),b=(x.-5)若；_L(2a+b>，则》=<)

A.0B.-2C.-10D.6

解：因为a=(3,4)»b=G，-5)•

所以2a+b=(6+x>3)»

若;_L(2a+b>，贝U3(6+x)+12=0.

故》=-10.

故选：c.

l7T

5.已知角0终边经过点尸I版,a),若。=-〒，则。=()

)5

A.V6B.C.-娓D.

O«5

l7T

解：：角e终边经过点P(加，a),若6=-三，

TVla

-tan(--)=-43=&，

•••解得a—~V6-

故选：C.

A.4B.7C.17D.27

解：执行如图所示的程序框图，若输入的x为-9,

第一次执行循环体后，否，＞=14,不满足退出循环的条件；

第二次执行循环体后，否，x=9,满足退出循环的条件：

第三次执行循环体后，否，x=4,是，y=7,输出产

故输出y值为7.

故选：B.

171

7.函数/(x)=(x-q)cos的图象可能为()

A.

B.

解：/(x)=(x-工)cos<----x)=(JC--)siru,

x2x

则函数的定义域为{HxHO},

则/(r)=(・/q)sin(-JC)=(x-q)sinx=/(x),即/(x)是偶函数，图象

关于y轴对称，排除/，D,

当OVxVl时，sinx>0,X--<0,则/(x)<0,排除C,

x

故选：B.

8.设地球表面某地正午太阳高度角为6,1为此时太阳直射纬度，叩为该地的纬度值，则有8

=90°-|(p-Q根据地理知识，某地区的纬度值约为北纬27.95°,当太阳直射南回归

线(此时的太阳直射纬度为-23.5。)时物体的影子最长，如果在当地某高度为例的楼

房北边盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡(如图所示)，两

楼的距离应至少约为尿的()倍.(注意tan38.55°*0.80)

影长

A.0.5倍B.0.8倍C.I倍D.1.25倍

解：由题意知，E=-23.5°,(p=27.95°,计算8=90°-|<p-^|=90°-|27.95°

23.5°)|=38.55O，

h

0h0

计算冬至时楼房的影长为寻,:―L=1.25尿,

tan38.55°0.80

所以两楼的距离应至少约为队的L25倍.

故选：D.

9.在△刖（7中，/8=3,6C=5,。为3c边上一点，且满足丽=1~氏，此时/M），=等.则

/C边长等于（）

A.V7B.C.4D.V19

解：・；BC=5,BD=yDC»

:.BD=3,CD=2,

,2兀

B

D

：,N4DB=-j~,

•;AB=BD=3,

为等边三角形,

：.AD=3,

J.A^Af^DC2-2JC*Z)Ccos-^-=9+4-2X3X2X(-/)=19,

故力。=后，

故选：D.

10.已知正项数列｛〃｝满足，S”是｛«”｝的前〃项和，且S.ua/Van-l%则5=()

A.金■里1B.C.|n24nD.”2+3”

4433乙乙

解：由于SjUaJ+^an-14①，

当〃=1时，整理得Si=ai=a/，ai-14,即(m+7)5-4)=0，

故ai=4(-吊"舍去)，

当〃22时，S”.i=a”.『+■^anT-14,②

①-②得:aJ-ak/^Qn+a同)，

故an-a„_i4•(常数)•

所以数列｛〃｝是以4为首项，£为公差的等差数列：

所以an=4+^-(n-l)=yn+^--

22

A!tSn=(^-n-t--)+--<yn-t--)-14=^-n-»-n.

故选：A.

22

II.已知Fi,乃是双曲线看-勺l(a>0,b>0)的左、右焦点，后关于其渐近线的对

ab

称点为P,并使得/尸OFi=4/F/O(O为坐标原点)，则双曲线的离心率e=()

A.2B.V3C.V2D.

解：由题意可知|OP|=|OQ|=|OB|,：・NOPFi=NPFQ,NOPF2=NPF9,

设NOPQ=a，则NOPB+NPBO=NPOQ=4a,

由三角形的内角和定理可知6a=180°,故a=30°,

••・/PFQ=30°,PF1A.PF2,

设『向与渐近线尸争内交点为M,则向劝|=即啊=加八|吟

即R(・c,0)到直线bx-ay=0的距离为导

2

12.已知函数f(x)=lnx+bmx有两个零点0,/),且存在唯'•的整数(a.b),则实

X

数m的取值范围是()

A.(0,-1)B.卢詈，1)C.喈亘，y)D.(0,学")

解：根据题意，XW(0,+oo)

令/(x)=0,则方程lnx+\~nF^nx?有两个解:

x

令h(x)=®^(x€(0,©)),则丁="与人(》)有两个交点，

,,、x-2x(lnx+1)=21nxT

h\xJ-=

XX

1

令"(X)=0,则有x=e一不

令R⑴>0,贝情OVxV弓，此时函数万(x)单调递增：

e

令"(Jr)<0,则有x>e+，此时函数力(X)单调递减：

A

h(x)max=h(e2)=|

又丁h(—)=0»

e

工当xW(0,工)时,h(x)<0；

e

又丁当r*+8时，/〃x+]f+8,犬-»+8

・••当x€(p3)时，0<h(X)<-1

作出函数简图如下:

根据题意，存在唯•整数XOW（Gb）

，结合图象可得，h（2）S（1）

故选：B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知实数x,>•满足不等式组（x-2y>0,则==2x+y的最小值是3_.

x<4

由二=2x+），，得y=-2x+二.由图可知，

当直线y=-2x+二过/时，直线在），轴上的截距最小，二有最小值为5.

故答案为：5.

14.如图，根据已知的散点图得到v关于x的线性回归方程为丫=产.2,则6=L6.

-y=《1(2+3+5+7+8)=5,

5

样本中心(3,5),代入回归直线方程可得5=3/。2,

t>

解得k=16

故答案为：16.

771

15.函数/(X)=cos<x+—)+sin2x的最大值为2.

7冗7T7T,71

2

解：・；/(x)=cos(JN-7-)+sinZr=cos(x——)+cos2(x——)=2cos(x——)

4444

7T

+cos(x——)-1.

4

JT

又-l^cos(x——)WI,

4

冗7T7T

当cos(x——>=1时，f(x)=2cos2(x——)+cos(x——)-I取得最大值2+1

444

-1=2,

故答案为：2.

16.在：枝锥尸。中，PA=PB=BC=4,AC=S,ABLBC.平面0平面"C,若

球。是三棱锥尸-4BC的外接球，则球。的表面积为8(hr.

解：如图，

由P/=〃8=8C=4,/C=8,ABLBC.可得/8=464-16=4匾,

取/C中点凡则户是△力6c的外心，

取力8中点£连接户£,则PEL46,

又平面P48_L平面X8C,・・・PE_L平面4BC,

设△P4B的外心为G,则G在PE上，

在△218中，由尸力=尸5=4,力得cosNP/18=当，AsinZPJB=-^,

4

设△P43的外接圆半径为r,由工=2几得/*=4,即PG=4.

7

设三棱锥P-ABC外接球的球心为O,则OG=EF=2,

/.OP2=OG2+PG2=4+16=20,

，三棱锥P-ABC外接球的表面积为4nX20=80n.

故答案为：8(hr.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17・21题为必考题，每

个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60

分.

17.已知正项等比数列S”｝的前〃项和为S”，5j=7,^4=16.

(1)求数列｛雨)的通项公式：

(2)设6=1,当〃22时，bn=y——7———,求数列｛瓦｝的前〃项和7”.

iog2aniog2an+1

解：(1)设正项等比数列｛%｝的公比为q(>0),

ai(l+q+q2)=7fai=l

由题设可得：《；，，解得：\1,

24

aiq=16U=2

[an=2f

(2)由(I)可得：当〃22时，Z>„=11Offa=7—

ios2aniog2an+l(nT)nn-ln

・•・当〃22时，〃=也+岳+…+儿=1+1-"|得-亲…+白；-5=2-5，

又当〃=1时，T\—b\=1也适合，

：.T=2--.

nn

18.江西全面推进城市生活垃圾分类，在2021年底实现“零”填埋.据统计，截止2020

年4月，全省II个设区市有1596个党政机关、2008个事业单位、369个公共场所、373

个相关企业、51个示范片区、1752个居民小区开展了垃圾分类工作，覆盖人口248.1万

人.某校为了宣传垃圾分类知识，面向该校学生开展了“垃圾分类知识”网络问卷调行，

每位学生仅有一次参与机会，通过抽样，得到100人的得分情况，将样本数据分成[50,

60),[60,70),[70,80),|80,90),[90,100]五组，并整理得到如图频率分布直

己知测试成绩的中位数为75.

(1)求x,y的值，并求出测试成绩的平均数(同一组中的每个数据可用该组区间中点

值代替)：

(2)现用分层抽样从第四组和第五组按照比例抽选出6人进行垃圾分类知识竞答活动，

再从中选出两人进行一对一PK.求抽出的两人恰好来自同一组的概率.

解：(1)因为中位数为75，

所以0.005X10+]Qy+0.04X(75-70)=0.5,解得产=0.025,

又0.05+0.25+0.4+10x+0.1=l,解得x=0.02,

所以平均数为55X0.05+65X0.25+75X0.4+85X0.2+95X0.1=75.5:

(2)第四组与第五组的比例为2：I,第四组抽选4人，则第五组抽选2人，

从中选出两人一共有。=15种可能，

恰好来自同一组的一共有C>"=7种可能，

所以抽出的两人恰好来自同一组的概率为士7.

13

19.如图，四边形是边长为2的菱形且N4SC=60°,平面平面8QE,AF

//BE,AB±BE,AB=BE=2,AF=\.

(I)求证：8EJ•平面48CQ：

(2)求三棱锥4-DEE的体积.

【解答】(1)证明：因为四边形力始。是边长为2的菱形，所以NC_L8。，

又平面平面BDE,且平面48CDA平面BDE=DB,

・・・力。_1_平面6。。：.ACLBE,又ABtBE,ACC\AB=A,力Bu平面/8C。，/Cu平面

ABCD,平面

(2)解：'：AF//BE,：.AFL^ABCD,VA.DEF=VE.ADF=VB.ADF^^'：BE//^ADF),

又VB-ADF=VF-ABD=4加SAABD=fX1X^X4=^，：.梭锥A-DEF的体积为：

返

20.已知函数/(x)=f・(o+2)x+alnx.

(I)当。>2时，求函数/(x)的单调区间:

(2)若存在xW[l,+8),使/(x)V。成立，求实数a的取值范围.

解：(1)/(x)=2x-(a+2)/=2x?-(a+2)x.=(2x-a)(x-1),

XxX

又•*-/(K)>0时，OVxVI或/(x)VO,IVxV5,

：.f(.X)在(0,1)递增，在(1,-1)递减，在(5,+8)递增：

(2)•・•存在xqi,+8)使得/(x)Va成立=°>/(x)…，

a2a

由⑴可得：①a>2时，/(x)制”=/号=-亍“+H冷V。，

即历?-告<2,令，=今(P(/)=lnt--(/>I),<p*(Z)=----=-7-^(/>I),

242叩2t22t

・・・(P(/)在(1,2)单调递增，在(2,+8)单调递减，

A(p(/)m=(p<2)=加2-IV2恒成立，即加>2时，不等式恒成立，

(另解：当a>2时，/(x)在(1,])递减，在(5，+8)递增，

/./(X)册仞=/1-a<a,解得：故a>2：

②aW2时，/G)在》日1,+oo)上单调递增，

/(x)mm=f(1)=-a-l<a.解得：a>-、，故-/vaW2,

综合①0，a>-p即a的取值范围是(-/,+8).

21.已知椭圆C：1{a>b>Q),其上顶点与左、右焦点月、B围成的是面积为

“的正三角形.

*1)求椭圆C的方程:

(2)过椭圆C的右焦点后的直线/(/的斜率存在)交椭圆C于例，N两点.弦的

IMNI

垂直平分线交x轴于点P,问：,上「是否是定值?若是，求出定值：若不是，说明理

由.

解：(1)因为△PKB为正三角形

所以S^PFIFZ=2/1(2c)2=“，解得c=L

4

由对称性可得/OBB=30°,

l^2|=7c2+b2=flt

|0F,|01

所以sin/O8"2=sin30°=-TT-Z-r,即一=—,

|DF2|a2

所以a=2,

所以护=苏-/=3,

所以椭圆c的方程为邕？：=1.

43

当直线/的斜率不为0时，设其方程为3=〃沙夕1，M5，y\)»N(K2,")’

x=my+l

联立.得(4+3m2)卢6〃少-9=0.

1

△>0

-6m

y「y广-5~8

所以3m4+4，且xi+x2=/w(y\+yz)+2='

3m2+4,

一9

32百

-3m

所以弦MN的中点Q的坐标为(3m2+4)'

43m

则弦MN的垂直平分线方程为y=-m(x3m2+4)3m2+4*

令尸0,得

13(m'+l)

所以|/¥1=1-3m2+43m2+4'

所以时V|=J1+m2M-jzl=J1+m纣(y1+丫2)2-4丫可2

_/2I36m2，3612(1+IR2)

2+22

T1+mV(3m^4)3m+4-3m+4,

所嚅H=4,

当直线/的斜率为0时，|MM=4,

所以耦=4,

综上所述，愣­是定值且为4.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一

题计分选修4-4：坐标系与参数方程|

x=t2-»^-4

22.在平面直角坐标系xQy中，曲线。的参数方程为，1a为参数，旦>o）,

y=2t-

以坐标原点。为极点，X轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线/极坐标方程为pcos

兀

<e+—）=i.

（1）写出曲线C和直线/的直角坐标方程：

TT

（2）若极坐标方程为8=-y（p€R）的直线与曲线C交于异于原点的点儿与直线/交

于点8