2024八年级数学下册专题2.4特殊的三角形大题专练含解析新版浙教版

Page1专题2.4特殊的三角形大题专练（培优强化30题）一、解答题1．（浙江·余姚市梨洲中学八年级期中）已知：如图，在△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，D是BC的中点，DE⊥FG于点E．求证：GE=EF．【答案】见解析【分析】依据直角三角形斜边中线的性质可得DF=DG=12BC，再依据【详解】证明：如图，连接DG，DF．∵BF⊥AC，D是BC的中点，∴DF是Rt△BFC∴DF=1同理，∵CG⊥AB，D是BC的中点，∴DG是Rt△BGC∴DG=1∴DG=DF．又∵DE⊥FG，∴GE=EF．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质，解题的关键是驾驭：直角三角形斜边中线等于斜边的一半．2．（浙江·杭州市第十五中学八年级期中）如图，AD，CE分别是ΔABC的中线和角平分线，AB=AC(1)若△ABC的面积是20，且BC=4，求AD的长．(2)若∠CAD=20°，求∠ACE的度数．【答案】(1)10(2)35°【分析】（1）依据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，三角形的面积公式即可求解；（2）先依据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=12【详解】（1）解：AD是△ABC的中线，AB=AC．∴AD⊥BC，∵△ABC的面积是20，且BC=4，∴1∴1∴AD=10；（2）∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=1∵CE是ΔABC∴∠ACE=1【点睛】本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出∠ACB=70°是解题的关键．3．（浙江·杭州市第十五中学八年级期中）如图，在等腰ΔABC中，AB=AC，∠A<90°，CD是ΔABC的高，BE是ΔABC的角平分线，CD与BE交于点P．当∠A的大小变更时，ΔEPC的(1)当∠A=36°时，求∠BPD的度数；(2)设∠A=α，∠EPC=β，求变量β与α的关系式；(3)当ΔEPC是等腰三角形时，求∠ACB【答案】(1)54°(2)β=45°+(3)72°或540°【分析】（1）依据等边对等角求出等腰ΔABC的底角度数，再依据角平分线的定义得到∠ABE的度数，再依据高的定义得到∠BDC=90°，从而可得∠BPD（2）依据（1）中计算过程，即可得到∠A与∠EPC的关系，即可得到结果；（3）分①若EP=EC，②若PC=PE，③若CP=CE，三种状况，利用∠ABC+∠BCD=90°，以及45°+α4；解出α即可得【详解】（1）解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=(180-36)°÷2=72°，∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=1∴∠BPD=90°-36°=54°；（2）∵∠A=α，∠EPC=β，，∴∠ABC=(180°-α)÷2=90°-α由（1）可得：∠ABP=12∠ABC=45°-∴β=∠EPC=∠BPD=90°-(45°-α即β与α的关系式为β=45°+α（3）设∠A=α，∠EPC=β，①若EP=EC，则∠ECP=∠EPC=β，而∠ABC=∠ACB=90°-α2，则有：90°-α由（2）知β=45°+α∴90°-α解得：α=36°，∴∠ACB=90°-α②若PC=PE，则∠PCE=∠PEC=(180°-β)÷2=90°-β由①得：∠ABC+∠BCD=90°，∴90°-α∵β=45°+α∴90°-α解得：α=180°∴∠ACB=90°-α③若CP=CE，则∠EPC=∠PEC=β，∠PCE=180°-2β，由①得：∠ABC+∠BCD=90°，∴90°-α∵β=45°+α∴90°-α解得：x=0，不符合题意，综上：当ΔEPC是等腰三角形时，∠ACB的度数为72°或540°【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的两锐角互余的性质，高与角平分线的定义等学问，解题的关键关键是找到角之间的等量关系，利用方程思想以及分类探讨的思想解决问题．4．（浙江·余姚市梨洲中学八年级期中）如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1．在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A．按下列要求画图：(1)在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形ABC(2)在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个直角三角形ABC；(3)在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形，这个正方形的面积=．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析，10【分析】（1）依据勾股定理，结合网格结构．以B为圆心，AB长为半径画圆，可以画出3个；以A为圆心，AB长为半径画圆，可以画出2个；（2）依据勾股定理逆定理，结合网格结构，作直角三角形ABC；（3）依据勾股定理逆定理，结合网格结构，作出最长的线段作为正方形的边长即可．【详解】（1）如图所示，△ABC即为所要求作的三角形，（2）如图所示，△ABC即为所要求作的三角形，（3）如图③，边长为10的正方形ABCD的面积最大．．此时正方形的面积为(10故答案为：10．【点睛】本题考查了作图-应用与设计作图．熟记勾股定理，等腰三角形的性质以及正方形的性质是解题的关键所在．5．（浙江·杭州市采荷中学八年级期中）假如三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“奇异三角形”．(1)如图，在△ABC中，AB=AC=45，BC=8，求证：△ABC是“奇异(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=43，若△ABC是“奇异三角形”，求【答案】(1)见解析(2)BC的长是6或8【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，依据等腰三角形的性质求出BD，依据勾股定理求出AD，依据“奇异三角形”的定义证明；（2）分AC边上的中线BD等于AC，BC边上的中线AE等于BC两种状况，依据勾股定理计算．【详解】（1）证明：过点A作AD⊥BC于D，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=1由勾股定理得，AD=A∴AD=BC，即△ABC是“奇异（2）解：如图2：当AC边上的中线BD等于AC时，BC=B当BC边上的中线AE等于BC时，AC2=A解得BC=8．综上所述，BC的长是6或8．【点睛】本题考查的是勾股定理，假如直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a26．（浙江·杭州市采荷中学八年级期中）如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P．(1)已知∠EPD=120°，求∠BAD的度数；(2)在（1）的条件下，已知∠BAC=75°，BD=3，求AC【答案】(1)30°(2)3【分析】（1）设∠BAD=x°，由题意可得∠ABD=90°-x°，∠ABE=∠CBE=45°-x°2，再由（2）利用特殊的直角三角形的性质以及勾股定理，即可求解．【详解】（1）解：设∠BAD=由题意可得：∠BDA=90°，∠ABE=∠CBE=1∴∠ABD=90°-x°，∠ABE=∠CBE=45°-x°由三角形外角的性质可得∠EBD+∠BDA=∠DPE，即45°-x°2+90°=120°即∠BAD=30°；（2）由（1）得∠BAD=30°，则∠DAC=45°，∴∠DAC=∠C=45°，∴AD=CD，在Rt△ABD中，∠BAD=30°，BD=3∴AB=2BD=23由勾股定理可得：AD=AAC=A即AC=32【点睛】此题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的性质，含30°直角三角形的性质以及勾股定理，解题的关键是娴熟驾驭三角形的有关性质．7．（浙江省余姚市试验学校八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=40°，点D是线段BC上随意一点，连接AD，作∠ADE=40°，DE交线段AC于点E．(1)若∠BDA=115°，求∠BAD和∠DEC的度数；(2)若DC=AB，求证：△ABD≌【答案】(1)∠BAD=25°，∠DEC=115°；(2)见解析．【分析】（1）干脆利用三角形内角和定理可求出∠BAD；然后依据平角的定义和等腰三角形的性质求出∠EDC和∠C，再依据三角形内角和定理求出∠DEC即可；（2）求出∠BAD=∠EDC，利用ASA即可证明△ABD≌【详解】（1）解：∵∠B=40°，∠BDA=115°，∴∠BAD=180°-∠B-∠BDA=180°-40°-115°=25°，∵∠ADE=40°，∴∠EDC=180°-∠BDA-∠ADE=180°-115°-40°=25°，∵AB=AC，∴∠C=∠B=40°，∴∠DEC=180°-∠EDC-∠C=180°-25°-40°=115°；（2）解：∵∠ADC=∠B+∠BAD=40°+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC=40°+∠EDC，∴∠BAD=∠EDC，∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD和△DCE中，∠BAD=∠EDCAB=DC∴△A【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理等学问，涉及到的学问点较多，综合性较强，但难度不大，属于基础题．8．（浙江·杭州第十四中学附属学校八年级期中）如图1，△ABC中，作∠ABC,∠ACB的角平分线相交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB,AC于E、(1)①求证：OE=BE；②若△ABC的周长是25，BC=9，试求出△AEF的周长．(2)如图2，若∠ABC的平分线与∠ACB外角∠ACD的平分线相交于点P，连接AP，摸索求∠BAC与∠PAC的数量关系式．【答案】(1)①见解析；②16(2)2∠PAC+∠BAC=180°【分析】（1）①由BO平分∠ABC，可得∠EBO=∠OBC，再由EF∥BC，可得∠EOB=∠OBC，从而得到∠EOB=∠EBO，即可得到结论；②证得OF=FC，再（2）延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，垂足分别为N，F，M，依据角平分线的性质先证的【详解】（1）解：①∵BO平分∠ABC，∴∠EBO=∠OBC，∵EF∥∴∠EOB=∠OBC，∴∠EOB=∠EBO，∴OE=BE；②∵OC平分∠ACB，∴∠FCO=∠OCB，∵EF∥∴∠OCB=∠FOC∴∠FCO=∠FOC，∴OF=FC，∵△ABC的周长是25，BC=9，∴△AEF的周长=AE+AF+EF=AE+AF+EB+FC=AB+AC=25-9=16；（2）延长BA，作PN⊥BD，PF⊥BA，PM⊥AC，垂足分别为∵CP平分∠ACD，∴PM=PN，∵BP平分∠ABC，∴PF=PN，∴PF=PM，∴∠FAP=∠PAC，∴∠FAC=2∠PAC，∵∠FAC+∠BAC=180°，∴2∠PAC+∠BAC=180°．【点睛】本题主要考查角平分线的性质和判定、等腰三角形的判定和平行线的性质，正确作出帮助线是关键．9．（浙江·杭州绿城育华学校八年级期中）如图，△ABC是等边三角形，P，Q分别是边AC,BC上的点，且AP=CQ，AQ,BP交于点O．(1)求证：△ACQ≅△BAP；(2)求∠BOQ的度数；(3)当∠CBP=45°,BQ=46时，求OB【答案】(1)答案见解析(2)60°(3)4【分析】（1）由等边三角形的性质得出AB=AC,∠BAP=∠ACQ=60°，由SAS即可证明△ACQ≅△BAP；（2）由△ACQ≅△BAP，得到∠CAQ=∠ABP，利用外角∠BOQ=∠BAO+∠ABP=∠BAO+∠CAQ=BAC=60°，即可求出；（3）作QD⊥BO，则∠BDO=90°，依据勾股定理求动身DO、【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=AC,∠BAP=∠ACQ=60°，在△BAP和△ACQ中，AB=AC∠BAP=∠ACQ∴△ACQ≅△BAPSAS（2）∵△ACQ≅△BAP，∴∠CAQ=∠ABP，∴∠BOQ=∠BAO+∠ABP=∠BAO+∠CAQ=BAC=60°；（3）如下图，作QD⊥BO，则∠BDO=90°，∵∠CBP=45°,BQ=46∴DO=BD，∴DO=BQ∵∠BOQ=60°，∴∠OQD=30°，∴OD=Q∴BO=BD+OD=43【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是证明△ACQ≅△BAP．10．（浙江·杭州市杭州中学八年级期中）如图，在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线．(1)假如BD=CE，那么△ABC是等腰三角形，请说明理由；(2)取F为BC中点，连接点D，E，F得到△DEF，G是ED中点，求证：FG(3)在（2）的条件下，假如∠A=60°,BC=16，求FG的长度．【答案】(1)理由见解析(2)见解析(3)4【分析】（1）证明Rt△BCD≌（2）依据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到EF=DF即可得证；（3）证明△DEF为等边三角形，利用斜边上的中线等于斜边的一半，以及等边三角形的性质，利用勾股定理即可得解．【详解】（1）证明：在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，∴∠BDC=∠CEB=90°，在△BCD和△CBE中，BD=CEBC=CB∴Rt△BCD≌∴∠BCD=∠CBE，∴AB=AC；∴△ABC是等腰三角形．（2）在△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高线，∴∠BDC=∠CEB=90°，∵F是BC的中点，∴EF=DF=BF=CF=1∴△DE∵G是ED中点，∴FG⊥DE；（3）解：∵EF=DF=BF=CF=∴∠BEF=∠ABC,∠CDF=∠ACB，∵∠A=60°，∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠BFE+∠CFD=180°-2∠ABC+180°-2∠ACB=360°-2=120°’∴∠EFD=60°，∴△DEF是等边三角形；∴∠GFD=30°，∵DF=1∴DG=1∴FG=D【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线，30°的直角三角形以及利用勾股定理解三角形．本题综合性较强，解题的关键是娴熟驾驭斜边上的中线等于斜边上的一半，以及利用HL证明三角形全等．11．（浙江·杭州外国语学校八年级期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD=AE．(1)求证：CG=EG．(2)已知BC=13，CD=5，求点E到线段【答案】(1)见解析(2)点E到线段BC的距离为3．【分析】（1）连接DE，依据直角三角形的性质得到DE=12AB=AE（2）作EF⊥BC于F，依据题意求出BD，依据等腰三角形的性质求出DF，依据勾股定理求出EF即可得到答案．【详解】（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB∴DE=1∵CD=AE，∴DE=DC，又DG⊥CE，∴CG=EG；（2）解：作EF⊥BC于F，∵BC=13，∴BD=13-5=8，DE=CD=5∵DE=BE，∴DF=BF=4，∴EF=D∴点E到线段BC的距离为3．【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，勾股定理，驾驭在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键．12．（浙江·杭州绿城育华学校八年级期中）如图，已知△ABC,∠C=90°,AC<BC．(1)用直尺和圆规，作出线段AB的垂直平分线（不写作法，保留作图痕迹）(2)假如线段AB的垂直平分线交BC于点D，连结AD，已知∠B=37°，求∠CAD的度数．【答案】(1)图见解析(2)16°【分析】（1）分别以A,B为圆心，大于12AB的长为半径，画弧，两弧分别交于M,N，连接MN，直线（2）依据中垂线的性质，外角的性质和直角三角形两锐角互余进行计算即可．【详解】（1）如图，直线MN即为所求；（2）解：∵MN垂直平分线段AB，∴DA=DB，∴∠DAB=∠B=37°，∴∠ADC=∠DAB+∠B=74°，∵∠C=90°，∴∠CAD=90°-74°=16°．【点睛】本题考查中垂线的作图以及中垂线的性质，外角的性质和直角三角形两锐角互余．娴熟驾驭中垂线的作图方法和中垂线的性质是解题的关键．13．（浙江·杭州绿城育华学校八年级期中）如图，在△ABC中，∠ACB(1)当∠A=30°时，求∠MCN的度数；(2)当∠A的度数变更时，∠MCN的度数是否变更？如不变，求∠MCN的度数．【答案】(1)45°(2)当∠A的度数变更时，∠MCN的度数不变，∠MCN=45°【分析】（1）依据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到∠AMC=75°,∠CNB=60°，再依据三角形内角和定理得到∠MCN的度数；（2）依据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠AMC=12180°-∠A,∠CNB=1【详解】（1）解：∵∠A=30°,AC=AM，∴∠AMC=1∵∠B=60°,BC=BN，∴∠CNB=1∴∠MCN=180°-60°-75°=45°；（2）∵∠AMC=1∴∠MCN=180°-∠AMC-∠BNC=1∴当∠A的度数变更时，∠MCN的度数不变更，∠MCN=45°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是求得∠AMC,∠CNB的度数．14．（浙江·杭州绿城育华学校八年级期中）已知△ACB为直角三角形，∠ACB=90°，作CD⊥AB，AF平分∠CAB，点M、N分别为AC、EF的中点，且AC=6，(1)求证：CE=CF；(2)求证：MN∥AB；(3)请你连接DN，并求线段DN的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)6【分析】（1）依据直角三角形两个锐角互余，和对顶角相等即可得∠CEF=∠AFC，进而可得CE=CF；（2）如图，连接CN，依据等腰三角形三线合一可得CN⊥EF，再依据△ACN是直角三角形，依据斜边上的中线等于斜边的一半可得MN=AM，进而可得∠MNA=∠NAD，即可得MN∥AB；（3）延长CN交AB于点G，连接DN，依据勾股定理先求出AB的长，再依据三角形面积可得CD的长．依据三角形中位线定理可得MN=12AG，再【详解】（1）证明∶∵∠ACB=90°，∴∠CAF+∠AFC=90°,∵CD⊥AB∴∠ADC=90°，∴∠EAD+∠AED=90°，∵∠CEF=∠AED，∴∠EAD+∠CEF=90°，∵AF平分∠CAB，∴∠CAF=∠EAD，∴∠CEF=∠AFC，∴CE=CF；（2）证明：如图，连接CN，由（1）可知△CEF是等腰三角形，∵N为EF的中点，∴CN⊥EF，∴∠ANC=90°，∴ΔACN∵M是AC的中点，∴MN=1∵AM=∴AM=MN，∴∠MAN=∠MNA．∵AF平分∠CAB∴∠MAN=∠NAD，∴∠MNA=∠NAD，∴MN∥AD；（3）如图，延长CN交AB于点G，连接DN，∵MN∥AG，M是AC的中点，∴N是CG的中点，∴MN=1在Rt△CDG中，DN=∵∠ACB=90°，AC=6，∴AB=A∵S△ABC即：6×8=10CD，∴CD=24∴AD=A∵MN=∴AG=AC=6,∴DG=AG-AD=6-∴CG=∴DN=1【点睛】本题考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等腰三角形的判定和性质，以及勾股定理解三角形．娴熟驾驭相关学问点是解题的关键．同时考查了角平分线和平行线的判定．本题综合性强，对学生的思维要求较高．15．（浙江·杭州绿城育华学校八年级期中）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD=12AB(1)求证：CG=EG；(2)已知BC=13,CD＝5，求【答案】(1)证明见解析(2)19.5【分析】（1）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到：CD=12AB，进而得到CD=CE（2）依据CD=12AB，求出AB，利用勾股定理求出AD【详解】（1）证明：∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，∴∠ADB=90°，E为AB的中点，∴DE=1∵DG⊥CE，∴∠DGE=∠DGC=90°，∵DG=DG，∴△CDG≌△EDGHL∴CG=EG．（2）解：∵BC=13,CD＝∴AB=10,BD=BC-CD=13-5=8，∴AD=A∴S△ABC∵CE是AB边上的中线，∴S△BEC【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形中线的性质，勾股定理．娴熟驾驭全等三角形的判定方法，三角形中线平分面积是解题的关键．16．（浙江·八年级专题练习）如图1，ΔABC是等边三角形，D,E为AC上两点，且AD=CE，延长BC至点F，使CF=CD，连结(1)如图2，当D,E两点重合时，求证：BD=DF．(2)如图3，延长FE交线段BD于点G．①求证：BD=EF．②求∠BGF的度数．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②120°【分析】（1）依据等边三角形的性质得到∠ABC=∠ACB=60°,BA=BC，利用AD=DC=CF，求出∠DBC=12∠ABC=30°，∠F=∠CDF（2）①如图，作DH∥BC交AB于H，连接BE，得到△AHD是等边三角形，推出AD=DH=AH=CE，再证明△BDH≌②依据三角形全等的性质及三角形的外角性质解答即可．【详解】（1）证明：∵ΔABC∴∠ABC=∠ACB=60°,BA=BC，∵AD=DC=CF，∴∠DBC=12∠ABC=30°∵∠ACB=∠F+∠CDF=60°，∴∠F=30°，∴∠DBC=∠F，∴BD=DF，（2）①如图，作DH∥BC交AB于H，连接∵DH∥∴∠AHD=∠ABC=60°，∠ADH=∠ACB=60°，∵∠A=60°，∴△AHD是等边三角形，∴AD=DH=AH=CE，∵AB=AC，∴BH=CD，∵CD=CF，∴BH=CF，∵∠BHD=∠ECF=120°，∴△BDH≌∴BD=EF；②∵△BDH≌∴∠HBD=∠F∴∠DGE=∠GBF+∠F=∠GBF+∠HBD=∠ABC=60°，∴∠BGF=180°-∠DGE=120°．【点睛】本题考查等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等学问，是重要考点，难度一般，驾驭相关学问是解题关键．17．（浙江·宁波市镇海区骆驼中学八年级期中）如图，已知△ABC中，∠B=90°，AB=16cm，BC=12cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A起先沿A→B方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B起先沿B→C→A方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时动身，设(1)动身2秒后，求PQ的长；(2)当点Q在边BC上运动时，动身几秒钟后，△PQB能形成等腰三角形？(3)当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间．【答案】(1)2(2)动身163秒后，△PQB(3)当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．【分析】（1）先求出AP和BQ的长，则可求得BP的长，然后利用勾股定理计算即可；（2）用t分别表示出BP和BQ，依据△PQB为等腰三角形可得到BP=BQ，则可得关于t的方程，解方程即可；（3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种状况，分别得到关于t的方程，可求得【详解】（1）解：当t=2时，则AP=2cm，BQ=2t=4∵AB=16cm∴BP=AB-AP=16-2=14cm∴PQ=B（2）解：由题意可知AP=t，BQ=2t，∵AB=16，∴BP=AB-AP=16-t，当△PQB为等腰三角形时，则有BP=BQ，即16-t=2t，解得t=16即动身163秒后，△PQB（3）解：①当CQ=BQ时，如图1所示，则∠C=∠CBQ，∵∠ABC=90°，∴∠CBQ＋∠ABQ=90°，∴∠A=∠ABQ，∴BQ∴CQ=AQ，∵AC=A∴CQ=AQ=10，∴BC+CQ=22，∴t=22÷2=11秒；②当CQ=BC时，如图2所示，则BC+CQ=24，∴t=24÷2=12秒；③当BC=BQ时，如图3所示，过B点作BE⊥AC于点E，则BE=AB⋅BC∴CE=B∴CQ=2CE=14.4，∴BC+CQ=26.4，∴t=26.4÷2=13.2秒，综上所述：当t为11秒或12秒或13.2秒时，△BCQ为等腰三角形．【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类探讨思想等学问．用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”是解决这类问题的一般思路，留意方程思想的应用．18．（浙江·八年级专题练习）如图1，在ΔABC中，过点B作BD⊥AB，且BD=AB，连接CD(问题原型)(1)若∠ACB=90°，且AC=BC=8，过点D作的ΔBCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到Δ(变式探究)(2)如图2，若∠ACB=90°，BC=a，用含a的代数式表示△BCD的面积，并说明理由．(拓展应用)(3)如图3，若AB=AC，BC=16，则△BCD的面积为______．【答案】(1)32；(2)SΔBCD=【分析】(1)如图1中，由AAS定理可证△ABC≌△BDE，就有(2)如图2中，过点D作BC的垂线，与CB的延长线交于点E，由AAS定理可证得△ABC≌△BDE，就有(3)如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC交CB延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=12BC，由条件可以得出△AFB【详解】解：(1)∵在△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥AB且过点D作的△BCD的BC边上的高DE，∴∠DEB=∠ACB=∠ABD=90°∴∠ABC+∠DBE=90°∵∠DBE+∠BDE=90°∴∠ABC=∠BDE．在Rt△ABC与Rt△BDE∠ACB=∠DEB∴Rt△ABC≌Rt△BDE(AAS)，DE=CB=8∴S故答案为：32(2)SΔBCD=12a∴∠DEB=∠ACB=90°∵BD⊥AB，∠1+∠2=90°∵∠2+∠A=90°∴∠A=∠1．在Rt△ABC与Rt△BDE∠ACB=∠DEB∴Rt△ABC≌Rt△BDE(AAS)，DE=CB=a∴S(3)如图3中，∵AB=AC∴BF=1过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，∴∠AFB=∠E=90°，∴∠FAB+∠ABF=90°．∵∠ABD=90°，∴∠ABF+∠DBE=90°，∴∠FAB=∠EBD．在△AFB和△BED中，∠AFB=∠E∠FAB=∠EBD∴△AFB≌∴BF=DE=4．∵S△BCD∴S∴△BCD的面积为16．故答案为：16【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键．19．（浙江·翠苑中学八年级期中）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90∘，点M为边AB的中点，点E在线段AM上，EF⊥AC于点F，连接CM，CE．已知∠A=50°，(1)求证：CE=CM．(2)若AB=4，求线段FC的长．【答案】(1)见解析(2)3【分析】（1）依据直角三角形的性质可得MC=MA=MB，依据外角的性质可得∠MEC=∠A+∠ACE，∠EMC=∠B+∠MCB，依据等角对等边即可得证；（2）依据CE=CM先求出CE的长，再利用勾股定理求出FC的长．【详解】（1）证明：∵∠ACB=90°，点M为边AB的中点，∴MC=MA=MB，∴∠MCA=∠A，∠MCB=∠B，∵∠A=50°，∴∠MCA=50°，∠MCB=∠B=40°，∴∠EMC=∠MCB+∠B=80°，∵∠ACE=30°，∴∠MEC=∠A+∠ACE=80°，∴∠MEC=∠EMC，∴CE=CM；（2）解：∵AB=4，∴CE=CM=1∵EF⊥AC，∠ACE=30°，∴EF=1∴FC=C【点睛】本题考查了直角三角形的性质，涉及三角形外角的性质，含30°的直角三角形，解题的关键是娴熟驾驭并灵敏运用直角三角形的性质进行求解．20．（浙江·八年级专题练习）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC＝BC，D为斜边AB上一动点（不与端点A，B重合），以C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE(1)求证：BE⊥AB；(2)用等式表示线段CD，【答案】(1)见解析(2)4CF【分析】（1）证明△ACD≅△BCE(SAS)，推出（2）结论：4CF2+BE2=2CD2．延长AC交BE的延长线于点【详解】（1）如图，∵以C为旋转中心，将CD逆时针旋转90°得到CE，∴CD=CE，∵∠ACB=∠DCE=90°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，CA＝∴△ACD≅△BCE(SAS∴∠CAD=∠CBE，∵CA=CB，∴∠CAB=∠CBA=45°，∴∠CBE=45°，∴∠ABE=90°，∴BE⊥AB；（2）结论：4C理由：延长AC交BE的延长线于点T．∵∠BCT=90°，∴∠T=∠CBT=45°，∴BC=CT=AC，∵AF=EF，∴CF=1∵BC⊥AT，∴BA=BT，∵△ACD≅△BCE，∴AD=BE，∴BD=ET=2CF，∵△CDE是等腰直角三角形，∴DE∵∠DBE=90°，∴BD∴4CF【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等学问，解题的关键是正确找寻全等三角形解决问题．21．（浙江·萧山区高桥初级中学八年级期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，动点P从点C动身，按C-A-B-C的路径运动（回到C点停止），且速度为每秒3个单位，设动身时间为t秒．(1)求BC边上的高线AE的长与AC边上的高线BD的长；(2)当CP⊥AB时,求t的值；(3)若△ACP是等腰三角形，干脆写出全部满足条件的t的值．【答案】(1)4，24(2)32(3)2.6或113或103或【分析】（1）如图，依据等腰三角形的性质可得BE，然后再运用勾股定理可求得AE，然后再依据S△ABC=1（2）如图：过C作CF⊥AB于F，先求得CF=245，进而求得AC+AF，最终（2）分①CA=CP.②CA=AP，③AP=PC三种情形，分由等腰三角形的性质和勾股定理分别求解即可．【详解】（1）解：∵AB=AC=5，BC=6，BC边上的高线AE∴BE=EC=在Rt△ABE∵1∴6×4=5BD,解得：BD=24（2）解：如图：过C作CF⊥AB于F同（1）的方法可得CF=在Rt△AFC中，AF=∴当CP⊥AB时，点P走过的路程为7∴t=6.4（3）解：①当AC=CP=5时且在AB上，如图：过点C作CE⊥AP于点E，∵AC=CP=5∴AE=PE，∵CE⊥AB，∴由（2）可得，CF=由勾股定理可得：AF=∴AC+AP=AC+2AF=5+2.8=7.8∴t=7.8当AC=CP=5时且在BC上，则有AC+AB+BP=11∴t=11②如图，当PA=AC时，即点P与点B重合，∴AC+AP=AC+AB=5+5=10∴t=10③如图，当AP=PC时，点P在BC上，过点A作AH⊥BC于H∵AB=AC，∴AH⊥BC∴BH=CH=3，由（1）可知：AH=4，∵点P在BC上∴PC=16-3t，PH=∴(13-3t)2+4综上所述，满足条件的的值为2.6或113或103或【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形的面积等学问，驾驭运用分类探讨的思想是解答本题的关键．22．（浙江·萧山区高桥初级中学八年级期中）已知在RtΔABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=6,BC=63，点E为(1)如图1所示，BD平分∠ABC，E、F分别为线段BC，BD上的动点．①当BE=6时，求CF+EF的最小值；②点E，F在运动过程中，求(2)如图2所示，P，Q分别为边BC，AB上的点，BP=3,BQ=5，M为边AB上的动点，M，E在运动过程中，请干脆写出PM+ME+EQ的最小值．【答案】(1)①６；②33(2)34．【分析】（1）①作点E关于直线BD的对称点E'，如图1-1，由“两点之间，线段最短”可知，当CF,FE'共线时，CF+EF②作点E关于直线BD的对称点E'，如图1-2，由“点到直线的距离，垂线段最短”可知，当CE'与CF共线时，CF+F（2）如图2所示，当点M、E分别为P'Q'与AB、BC【详解】（1）解：在RtΔABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=6,BC=6∴AB=2AC=12，①∵BD平分∠ABC，∴BD所在直线是∠ABC的对称轴，∵BE=6，作点E关于直线BD的对称点E'，如图1-1∴E'点在AB上，且BE∴AE∴CF+EF=CF+FE由“两点之间，线段最短”可知当CF,FE'共线时，CF+EF=C∵AECE∴CF+EF的最小值为6；②点E，F在运动过程中，作点E关于直线BD的对称点E'∴E'点在AB上，且BE由“点到直线的距离，垂线段最短”可知，当CE'与CF共线且CE'⊥AB此时SΔ∴CE∴CF+FE的最小值为33（2）解：作点P关于直线AB的对称点P'，点Q关于直线BC的对称点Q则PM=P连接P'当点M、E分别为P'Q'与AB从而PM+ME+EQ的值最小，最小值为线段P'此时，连接BPBP'=BP=3,B∴∠P故在RtΔP'∴PM+ME+EQ的最小值为34．【点睛】此题考查了轴对称的性质、“两点之间线段最短”、“垂线段最短”、勾股定理、直角三角形的性质等学问，解题的关键是把求直线同一侧的两点到直线上一点的距离之和的最小值，通过轴对称转化为直线两侧的两点，再利用“两点之间线段最短”或“垂线段最短”求出最小值．23．（浙江·萧山区高桥初级中学八年级期中）如图，在ΔABC中，AB=AC，点D,E,F分别在AB,BC,AC边上，且BE=CF，BD=CE(1)求证：ΔDEF(2)当∠A=40°时,求∠DEF的度数；(3)若∠A=∠DEF，推断ΔDE【答案】(1)证明见详解；(2)70°；(3)等边三角形，理由见详解．【分析】（1）依据边角边证明ΔDBE≌ΔECF（2）由ΔDBE≌ΔECF（3）由（2）知∠DEF=∠B，再依据已知可以判定ΔABC是等边三角形，从而可以推断ΔDEF的【详解】（1）解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，在ΔDBE和ΔDB=EC∠B=∠C∴∴DE=EF，∴Δ（2）解：∵Δ∴∠BDE=∠CEF，∵∠DEC=∠B+∠BDE即∠DEF+∠CEF=∠B+∠BDE，∴∠DE∵∠A=40°，∠B=180°-40°∴∠DEF=70°；（3）解：ΔDEF由（2）知∠DEF=∠B，又∵∠A=∠DEF，∴∠A=∠B=∠C，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°=∠DEF，又∵DE=EF，∴Δ【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的外角性质、等腰三角形与等边三角形的判定等学问，娴熟驾驭三角形全等的判定与性质、三角形的外角性质是解答此题的关键．24．（浙江·乐清市虹桥镇第一中学八年级期中）如图，在ΔABC中，∠BAC=90°,AB=AC．AD⊥BC于点D，AD=4．E为AC边上一点（不与A，C重合），连结BE，作AG⊥BE，垂足为F，交BC于点G，连结EG．分别记∠AEB，∠AGB，∠CEG为(1)AB的长为．(2)当∠1=∠2时，求(3)当∠1=∠3时，AE的长为．（【答案】(1)4(2)8(3)2【分析】（1）先依据直角三角形斜边上的中线得到BD=AD=4，再依据勾股定理解答即可；（2）先依据等角的余角相等和角平分线的定义得到∠ABO=∠OBD，再依据AG⊥BE得到AF=FG,∠AFE=∠GFE=90°，再依据全等三角形的判定和性质得到∠EAF=∠EGF，再由角平分线的性质得到AE=EG，然后由勾股定理得到EC=2GC=2EG，进而求出（3）先依据等腰三角形三线合一得到AC=AB=42,∠C=∠DAE=∠BAD=45°，再依据等量代换得到∠AOB=∠AGC，然后【详解】（1）解：∵∠BAC=90°,AB=AC．AD⊥BC于点D，AD=4，∴BD=AD=4，∠ABD=45°，∴AB=2故答案为：42（2）解：设BE与AD相交于点O∵AD⊥BC,AG⊥BE，∴∠BOD+∠OBD=90°,∠AOF+∠DAG=90°,∠DAG+∠2=90°，∵∠BOD=∠AOF，∵∠OBD+∠2=90°，∠1=∠2，∴∠OBD+∠1=90°，∵∠BAC=90°，∴∠ABO+∠1=90°，∴∠ABO=∠OBD，∵AG⊥BE，∴∠AFB=∠GFB=90°在ΔABF与Δ∠AFB=∠GFBBF=BF∴ΔABF≌∴AF=FG,∠AFE=∠GFE=90°，在ΔAEF与ΔEF=EF∠AFE=∠GFE∴ΔAEF≌∴∠EAF=∠EGF，AE=EG∵∠1+∠EAF=90°,∠1=∠2，∴∠2+∠EGF=90°，∴EG⊥BC，∵∠BAC=90°,AB=AC，∴∠C=45°，∴EC=2∴AE+EC=AE+2∴ΔEGC的周长=AE+EC+GC=2AE+==8．（3）解：∵ΔBAC是等腰直角三角形，AD⊥BC∴AC=AB=2∵AG⊥BE∴∠AOF+∠OAF=90°，∵∠2+∠OAF=90°，∴∠2=∠AOF，∵∠BOD=∠AOF，∴∠2=∠BOD，∵∠AOB+∠BOD=180°,∠AGC+∠2=180°，∴∠AOB=∠AGC，在ΔABO与Δ∠AOB=∠AGC∠BAD=∠C=45°∴ΔABO≌∴OA=GC，在ΔAOE与ΔGCE∠1=∠3∠DAE=∠C=45°∴ΔAOE≌∴AE=EC=1故答案为：22【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形三线合一，勾股定理，角平分线的定义和性质，全等三角形的判定和性质．关键是依据全等三角形的判定和性质以及等腰直角三角形的性质解答．25．（浙江·乐清市虹桥镇第一中学八年级期中）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=12cm，AC=5cm，点P是从A点动身的动点，在三角形边上沿着A-B-C运动，速度为每秒2cm，设点P的运动时间为t(1)当t=7.5秒时，CP的长为．(2)是否存在t的值，使得时间为t秒时△ABP的面积与时间为(t+2)秒时△ACP的面积相等?若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)10cm(2)存在，t=【分析】（1）利用勾股定理计算出BC=13cm，然后计算出当t=7.5秒时，点P运动的路程，即可计算出此时CP的长；（2）设△ABC斜边BC上的高为h，依据面积公式可知当S△ABP=S△ACP时，可有BP=CP，然后计算出时间为t秒时BP的长与时间为【详解】（1）解：∵∠A=90°,AB=12cm，AC=5cm，∴BC=A∴当t=7.5秒时，点P运动的路程为7.5×2=∴BP=15cm∴CP=BC-BP=13-3=10cm．故答案为：10cm；（2）存在，理由如下：设△ABC斜边BC上的高为h，依据面积公式，当S△ABP可有12BP⋅h=1当时间为t秒时，BP=2t-AB=2t-12cm，当时间为(t+2)秒时，CP=AB+BC-2(t+2)=12+13-2(t+2)=21-2t，由题意，可得2t-12=21-2t，解得t=33故当t=334秒时，△ABP的面积与时间为(t+2)秒时【点睛】本题主要考查了动点问题、勾股定理以及三角形面积公式等学问，利用数形结合的思想分析问题是解题关键．26．（浙江·金华市南苑中学八年级阶段练习）（1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画个．（2）如图1，假如OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画个．想一想：如图2，△ABC中，∠A=20°，∠B=50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC=10°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数．【答案】（1）4；（2）2；想一想：5；算一算：5°或20°或80°或140°或42.5°．【分析】（1）依据等腰三角形的定义，两条边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论；（2）同（1）原理，理论上可以画4个，但是P2想一想：分五种状况：①当AC=AF，②当BC=BE，③当CB=CG，④当AD=CD，⑤CH=BH时，于是得到结论；算一算：如图3，当AD=CD，分三种状况：①当CD=BD时；②当CD=BC时；③当BD=BC时；如图4，当AC=AE，CE=BE时；如图5，当AC=CE，【详解】解：（1）如图1，①AO=OP1，②AO=AP2；③故答案为：4；（2）同（1）可知满足题意的点有4个，∵OA与直线l所成的锐角为60°，∴△AOP∴P2∴满足题意的点只有2个，故答案为：2；想一想：①当AC=AF，②当BC=BE，③当CB=CG，④当AD=CD，⑤CH=BH时，过顶点C作一条直线，能分割出一个等腰三角形，∴过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条，故答案为：5；算一算：如图3，当AD=CD时，∴∠ACD=∠A=10°，∴∠CDB=∠ACD+∠A=20°，∴①当CD=BD时，∠B=∠BCD=180°-∠CDB②当CD=BC时，∠B=∠CDB=20°；③当BD=BC时，∠B=180°-20°-20°=140°；如图4，①当AC=AE，CE=BE时，∵∠A=10°，∴∠ACE=∠AEC=180°-∠A∴∠B=∠BCE=1如图5所示，当AC=CE，∴∠CEA=∠A=10°，∴∠B=∠BCE=综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为5°或20°或80°或140°或42.5°．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与定义，三角形内角和定理，熟知等腰三角形的性质是解题的关键．27．（浙江·义乌市稠州中学教化集团八年级阶段练习）如图，点C是线段AB上随意一点（点C与点A，B不重合），分别以AC，BC为边在直线AB的同侧作等边三角形ACD和等边三角形BCE，AE与CD相交于点M，BD与CE相交于点N．连接MN．证明：(1)△ACE≌△DCB；(2)CM=CN【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）依据等边三角形的性质得到AC=DC,EC=BC,∠ACD=∠BCE=60°，利用SAS即可证明△ACE≌△DCB；（2）证明△ACM≌△DCN即可得到结论．【详解】（1）证明：在等边三角形ACD和等边三角形BCE中，AC=DC,EC=BC,∠ACD=∠BCE=60°，∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠DCB∴△ACE≌△DCB；（2）∵△ACE≌△DCB，∴∠CAM=∠CDN，∵∠ACD+∠BCE+∠DCE=180°，∠ACD=∠BCE=60°，∴∠DCN=60°=∠ACM∴△ACM≌△DCN∴CM=CN．【点睛】此题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定及性质，娴熟驾驭全等三角形的判定定理是解题的关键．28．（浙江·义乌市稠州中学教化集团八年级阶段练习）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE(1)如图1，当点D在线段BC上，假如∠BAC=90°，则∠BCE=____________度；(2)设∠BAC=α，∠BCE=β．①找出图2中的一对全等三角形：______________，并写出其全等的依据：____________________；②如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明理由．③当点D在直线BC上移动时，请干脆写出α，β之间的数量关系【答案】(1)∠BCE=90°；(2)①ΔBAD≅ΔCAE②α+β=180°；③α+β=180°或α=β．【分析】（1）由“SAS”可证ΔBAD≅ΔCAE，得∠ABC=∠ACE=45°（2）①由“SAS”可证ΔABD≅ΔACE②由“SAS”可证ΔABD≅ΔACE③分三种状况：点D在线段BC的延长线上，在线段BC上，在线段CB的延长线上时，证明ΔBAD≅【详解】（1）解：∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∵∠DAE=∠BAC，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，∴∠BAD=∠CAE，在ΔBAD和ΔAB=AC∠BAD=∠CAE∴Δ∴∠ABC=∠ACE=45°，∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°，故答案