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专题七圆周运动临界问题的模型建构1.[水平面内的临界问题/海南高考]如图,一硬币(可视为质点)置于水平圆盘上,硬币与竖直转轴OO'的距离为r,已知硬币与圆盘之间的动摩擦因数为μ(最大静摩擦力等于滑动摩擦力),重力加速度大小为g.若硬币与圆盘一起绕OO'轴匀速转动,则圆盘转动的最大角速度为(B)A.12μgr B.μgr C.2μg解析硬币由静摩擦力供应其做圆周运动的向心力,当达到最大静摩擦力时,角速度最大,设硬币质量为m,由牛顿其次定律可得μmg=mω2r,解得圆盘转动的最大角速度ω=μgr,故B正确,A、C、D错误2.[水平面内的临界问题/浙江高考]一质量为2.0×103kg的汽车在水平马路上行驶,路面对轮胎的径向最大静摩擦力为1.4×104N,当汽车经过半径为80m的弯道时,下列推断正确的是(D)A.汽车转弯时所受的力有重力、弹力、摩擦力和向心力B.汽车转弯的速度为20m/s时所需的向心力为1.4×104NC.汽车转弯的速度为20m/s时汽车会发生侧滑D.汽车能平安转弯的向心加速度不超过7.0m/s2解析向心力为效果力,故A错误;汽车转弯的速度为20m/s时,所需的向心力Fn=mv2r=1.0×104N,故B错误;汽车转弯时,径向摩擦力供应向心力,转弯的速度为20m/s时,所需的向心力小于径向最大静摩擦力,故不会发生侧滑,C错误;汽车平安转弯所需的最大向心力等于径向最大静摩擦力,汽车转弯的最大向心加速度anm=fnmm=7.0m/s3.[水平面内的临界问题/2024福建]一种离心测速器的简化工作原理如图所示.细杆的一端固定在竖直转轴OO'上的O点,并可随轴一起转动.杆上套有一轻质弹簧,弹簧一端固定于O点,另一端与套在杆上的圆环相连.当测速器稳定工作时,圆环将相对细杆静止,通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度.已知细杆长度l=0.2m,杆与竖直转轴的夹角α始终为60°,弹簧原长x0=0.1m,弹簧劲度系数k=100N/m,圆环质量m=1kg;弹簧始终在弹性限度内,重力加速度大小取10m/s2,摩擦力可忽视不计.(1)若细杆和圆环处于静止状态,求圆环到O点的距离;(2)求弹簧处于原长时,细杆匀速转动的角速度大小;(3)求圆环处于细杆末端P时,细杆匀速转动的角速度大小.答案(1)0.05m(2)1063rad/s(3解析(1)圆环处于静止状态时,设弹簧压缩量为x1,由平衡条件可得mgcosα=kx1解得x1=mgcos圆环到O点的距离s1=x0-x1=0.05m(2)弹簧处于原长时,圆环受力如图甲所示,由牛顿其次定律得mgtanα=其中r1=x0sinα代入数据解得ω1=106(3)圆环在P点时,弹簧伸长量x2=l-x0,圆环受力如图乙所示,在水平方向有kx2sinα+N2cosα=mω22在竖直方向有kx2cosα+mg=N2sinα其中r2=lsinα代入数据解得ω2=10rad/s.4.[竖直面内的临界问题/2024广东深圳阶段练习]张同学设计了一个过山车轨道模型,如图所示,由倾角为α=37°的直轨道AB、半径为R的圆弧轨道BC、水平轨道CD、竖直圆轨道以及足够长的水平轨道DF组成.C点左侧轨道和竖直圆轨道是光滑的,水平轨道CD和DF是粗糙的.现将一小物块由轨道上A点无初速度释放,已知小物块的质量为m,与水平轨道CD和DF间的动摩擦因数均为μ=0.2,AB=6R,CD=2R,重力加速度为g,sin37°=0.6,cos37°=0.8,忽视轨道交织的影响.求:(1)物块第一次运动到B点时的速度大小;(2)物块第一次运动到C点时对轨道的压力大小;(3)欲使物块在竖直圆轨道上运动时,不脱离轨道,圆轨道的半径R'应满意什么条件.答案(1)21.8gR(2)8.6mg(3)R'≤1.36R或R'≥解析(1)在AB段,依据牛顿其次定律得mgsinα=ma解得a=0.6g依据运动学公式vB2-0=2a解得vB=21(2)从B到C,依据动能定理得mgR(1-cosα)=12mvC2-解得vC=21在C点,依据牛顿其次定律有N-mg=mv依据牛顿第三定律可得物块第一次运动到C点时对轨道的压力大小N'=N联立解得N'=8.6mg(3)若物块不能过圆轨道最高点,不脱离圆轨道,物块最高能到达与圆轨道圆心等高处,依据动能定理得-μmg·2R-mgR'=0-12m解得R'=3.4R若物块恰好能过圆轨道最高点,在最高点,有mg=mv从C点到
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