【数学】天津市河北区2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

成就未来，新教育伴你成长联系电话：400-186-9786天津市河北区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列事件中，是随机事件的是（）①明天本市会下雨；②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14；③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；④13个人中至少有2个人的生日在同一个月.A.①③ B.③④ C.①④ D.②③【答案】A【解析】由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件；②不可能发生，是不可能事件；④一定发生，是必然事件.故选：A.2.若是纯虚数，则实数的值等于（）A.0或2 B.2或 C. D.2【答案】C【解析】因为是纯虚数，所以，解得.故选：C.3.已知向量，，若，则（）A.－1 B.6 C.－6 D.2【答案】B【解析】向量，，则，由，得，解得.故选：B.4.若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】该圆锥的侧面积为.故选：B.5.如图，已知中，为的中点，，若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，所以，.故.故选：C.6.设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（）A.相交 B.平行 C.异面 D.无法确定【答案】A【解析】如图，延长使，因为，，，为棱的中点，所以延长，都会交中点处，所以直线和直线的位置关系为相交.故选：A.7.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（）A.若，则B.若，则C.若，则∥D.若，则【答案】D【解析】对于A，当时，可能平行，也可能相交，所以A错误；对于B，当时，可能平行，可能异面，所以B错误；对于C，当时，∥或，所以C错误；对于D，当时，由面面平行的性质可得，所以D正确.故选：D.8.从集合中随机地取一个数a，从集合中随机地取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（）A B. C. D.【答案】D【解析】依题意，向量的不同结果有：，共12个，由，得，则的事件有，共2个，所以向量与向量垂直的概率为.故选：D.9.一度跌入低谷的中国电影市场终于在兔年春节迎来了大爆发.2023年春节档（除夕至大年初六），在《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》《无名》《深海》《交换人生》等电影的带动下，全国票房累计67.59亿，超越2022年同期票房成绩，仅次于2021年成为史上第二强春节档.以下是历年的观影数据，下列选项正确的是（）A.2022年春节档平均每场观影人数比2023年春节档平均每场观影人数多B.这4年中，每年春节档上映新片数量的众数为10C.这4年中，每年春节档票房的极差为29.38亿元D.这4年春节档中，平均每部影片的观影人数最多的是2023年【答案】D【解析】对于A，2022年春节档平均每场观影人数为，2023年春节档平均每场观影人数为，故A错误；对于B，这4年中，每年春节档上映新片的数量从小到大排列为7，8，8，10，所以众数为8，故B错误；对于C，这4年中，每年春节档票房的极差为亿元，故C错误；对于D，这4年平均每部影片的观影人数依次为万，万，万，万，故D正确.故选：D.10.如图，在三棱锥中，，平面，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】取PC的中点为E，连接EO，可得OE∥BC，∵平面，平面ABC，∴又AC⊥BC，AC∩BC=C，∴BC⊥平面PAC，又OE∥BC，∴OE⊥平面PAC，∴∠OCE为直线与平面所成角，设，OE=1，，OC=，∴cos∠OCE=.故选：B.二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上．11.i是虚数单位，化简的结果为__________．【答案】【解析】依题意，.故答案为：.12.某同学进行投篮训练，在甲、乙两个不同的位置投中的概率分别为，p，该同学站在这两个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则p的值为__________．【答案】【解析】依题意，投篮两次都不中的概率为，解得，所以p的值为.故答案为：.13.某校举行演讲比赛，10位评委对一名选手的评分数据如下：8.0，7.7，8.1，8.2，7.6，7.8，7.9，8.7，8.8，7.5，根据以上数据，估计该选手得分的样本数据的第75百分位数是__________．【答案】8.2【解析】依题意，评分数据由小到大排列为：7.5，7.6，7.7，7.8，7.9，8.0，8.1，8.2，8.7，8.8，而，所以该选手得分的样本数据的第75百分位数是8.2.故答案为：8.2.14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为______.【答案】【解析】因为A1B//D1C，所以∠AD1C为异面直线A1B与AD1所成角的平面角，因为△AD1C为正三角形，所以∠AD1C，即异面直线A1B与AD1所成角的大小为.故答案为：60°.15.如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为______海里.【答案】【解析】连接，由题意可知，，，，，，，在中，由正弦定理得，，中，，，，在中，由余弦定理得．故答案为：.三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16.一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；（2）写出事件R与G，M与N之间的关系；（3）写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系．解：（1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，所以试验的样本空间，事件，事件，事件，事件.（2）由（1）知，，而，所以事件互斥，不对立；，所以事件互为对立事件.（3）由（1）知，，所以事件是事件与事件的并事件.17.的内角的对边分别为，若，求：（1）的值；（2）和的面积．解：（1）由余弦定理得：，解得．（2）由，则，由正弦定理得，又，则，．18.某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，．（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；（2）试估计该校学生满意度打分的众数、中位数（中位数保留小数点后2位）；（3）若采用分层随机抽样方法，从打分在的学生中随机抽取5人了解情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人打分都在的概率．解：（1）由频率分布直方图可知，，解得，该校学生满意度打分不低于70分的人数为：.（2）众数：75；，所以中位数为：.（3）由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为0.04和0.06，分层抽样抽取5人，则打分在和内分别抽取2人和3人，从5人中选取2人进行跟踪分析，这2人打分都在的概率.19.如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是菱形，点O是对角线与的交点，，M是的中点，连接．