2021届高三数学“小题速练”含答案解析25

2021届高三数学“小题速练”25

答案解析

一、单项选择题：

1.已知集合4={灯/一2了一3>0},集合8={XGZ|X2«4幻，贝1」(备4)八3=()

A.{x|()<X<3}B.{-1,0,1,2,3}C.{0,1,2,3}D.{1,2}

【答案】C

【解析】

【分析】

首先解一元二次不等式，根据代表元所满足的条件，求得集合A和集合B,之后利用补集和交集的定义求

得结果.

【详解】集合人={%|%2-2x—3>0}={x|x>3或

B={xeZ|x2<4x}={4,3,2,l,0)

用A={x|-lW},故低A)c5={0,1,2,3}

故选：C.

【点睛】该题考查的是有关集合的问题，涉及到的知识点有解一元二次不等式求集合，集合的补集和交集

的运算，属于简单题目.

3)

2.设a=2°s,b=log3,c=cos:—，则()

44

A.c>a>bB.b>a>cC.a>b>cD.a>c>b

【答案】c

【解析】

【分析】

根据指数函数的单调性、对数函数的单调性以及特殊角的余弦函数值即可判断.

【详解】a=2ft5>2°=b

由0=log41<log43<log44=1,即0<b<1,

cos—=-->所以。>6>c.

c=42

故选：C

【点睛】本题考查了利用指数函数、对数函数的单调性比较式子的大小，属于基础题.

3.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若acosA-/?cos8=0,则AABC一定是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

【答案】D

【解析】

【分析】

根据正弦定理得到sin2A=sin28,计算得到答案.

【详解】acosA-bcosB-Q,则sinAcosA-sinBcos6=0,即sin2A=sin28.

、，71

故4=3或2A+23=4，即A+B=—.

2

故选：D.

【点睛】本题考查了根据正弦定理判断三角形形状，意在考查学生的应用能力.

__1______7__

4.如图，在A/LBC中，AN=—NC,P是3N上的一点，若4户=加4月+一人仁，则实数团的值为（）

311

N

532

B.—C.—D.—

111111

【答案】C

【解析】

【分析】

平面内三点A,8,C共线的充要条件为：存在实数/1,〃，使花=4赤+〃砺，且；1+4=1.求得

一一8——

AP=mAB-^—AN1从而可得结果.

___1___

【详解】由AN=3NC,可得4c=4AN，

____2_____Q___

所以丽=加丽+—/=加通+—丽，

1111

Q

又8,P,N三点共线，由三点共线定理，可得："2+^=1,

3

/.m=—，

11

故选C.

【点睛】本题主要考查平面向量共线定理的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于基础

题.

5.将函数/(xXsin'x+cos。的图像向左平移一个单位长度后，得到g(x)的图像，若函数y=g(6yx)在

8

[-£,二]上单调递减，则正数。的最大值为

124

132

A.-B.1C.-D.-

223

【答案】A

【解析】

【分析】

先化简”X)的表达式，平移后得到g(无)的解析式，再求出g(s)的解析式，然后利用g(s)的单调减

区间列不等式组，求得力的取值范围，进而求得正数0的最大值.

.**,、，***。/\(1-cos2XY(1+cos2XY1+COS22X3+COS4X七+.工幻兀人MAI/

【详解】依题意，〃x)=-----------+-----------=------------=--------------向左平移7•个单位长

V7L2JL2)248

度得到3+'COS|4x+—=旱京+9313一((

^•-―sin4x.故g®x)sin46tzx)，下面求函

4444I2)4

7tkn7ikn

TT7T--U4-

数的减区间：由一一+2&兀<4Gx<一+2匕1,由于0>()故上式可化为82//82，由于函数

22--———<x<————

一一coG)

兀

-------1---k--i-t

3-

824一co<——6k

jrjrCD1221

g（①x）在一五7上单调递减,解得人1，所以当攵=0时，8=—为

7ikit2

-T------co<-+2k

-8------2-->兀--I2

(D4

正数①的最大值.故选A.

【点睛】本小题主要考查三角函数降次公式，考查三角函数图像变化的知识，考查三角函数的单调区间的

求法，综合性较强，需要较强的运算能力.sii?x+cos’x是不能够直接合并起来的，需要通过运用降次公

式两次，才能化简为Asin（5+0）+3的形式.求解三角函数单调区间时，要注意A是正数还是负数.

6.函数“r）=彳表在［—匹句上的图象大致为（）

【答案】A

【解析】

【分析】

构造函数g(x)=x-sinx,证明当x«0,句时,g(x)Ng(O),即x-sinx20,从而当xe[0,句时,

/(%)>0,排除B,C,D,即可得解.

【详解】记g(x)=x-sinx,X&\-7T,7v\,

g'(x)=l—cosx»(),

g(x)在卜阳句上单调递增,

又g(0)=0，

.•.当XG[0,何时，g(x)>g(O),即x-sinxNO,

又ex+e~x>0>

二.当无e[O,;r]时，/(x)N(),

故排除B,C,D.

故选：A.

【点睛】本题考查了函数图象的判断以及利用导数证明不等式，考查了转化能力，属于中档题.

7.已知。，b为正实数，直线y=x一。与曲线y=in(x+/7)相切，则工+」的最小值是()

ah

A.2B.472C.4D.272

【答案】C

【解析】

【分析】

求函数的导数，由已知切线的方程，可得切线的斜率，求得切线的坐标，可得。+人=1,再由乘1法和基

本不等式，即可得到所求最小值.

【详解】解：了=/〃。+与的导数为>'=-^,

由切线的方程y=%一々可得切线的斜率为1,

可得切点的横坐标为1—人，所以切点为(1-6,0),

代入y=x—a,得。+匕=1,

•••4、b为正实数，

则_L+L(a+勿(工+1)=2+2+4..2+2、^^=4.

ababab\ab

当且仅当〃=〃=」时，!+工取得最小值4.

2ab

故选：C

【点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的几何意义以及基本不等式是解决本题的关键，属于中档题.

8.已知/(x)是可导的函数，且/''(x)</(x)，对于xeR恒成立，则下列不等关系正确的是()

2022

A./(1)>^(0)./(2020)<e°/(0)B./(l)>ef(O),/(l)>e/(-l)

C./(1)<仪0),41)3(7)D./⑴>年(0),〃2020)>产〃0)

【答案】c

【解析】

【分析】

构造新函数g(x)=/^,求导后易证得g(x)在R上单调递减，从而有g⑴<g(0),g(2020)<g(0),

g⑴<g(—1),故而得解.

【详解】设g(x)=4»，

则g(x)=£⑷:4也.

e

-：f'(x)</(x),

g'(x)<0,

即g(x)在R上单调递减，

g⑴<g(0)，

即改〈华，

ee

即/(I)<e/(O),故选项A不正确；

g(2020)<g(0),

/(2020)/(0)

即匚k<k

即/(2020)<*2°/(0),故选项D不正确；

g⑴<g(-D，

即5<21^12,即/(i)<e2/(—i).

ee

故选项B不正确；

故选：C.

【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，构造新函数是解题的关键，考查学生的分析能力、逻

辑推理能力和运算能力，属于中档题.

二、多项选择题：本题共4小题，在每小题给出的选项中，有多项符合要求.

9.已知相，“为两条不重合的直线，a,夕为两个不重合的平面，则()

A.若加〃a,n//p,a〃/?，则加//〃

B.若_La,nVp,a工。,则〃?_L〃

C.若m//n,mVa<nV(3,则a//£

D.若mlln,〃_La,aL(3,则加〃,

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.

【详解】若mlla，n///3,all/3,则加/〃或加，〃异面，A错误；

若a,则机〃£或当加〃，时，因为〃_1_£,所以〃?_]_〃；当/〃u/7时，由〃_!_/?

结合线面垂直的性质得出加_L〃，B正确；

若，〃//〃，mLa,则〃_La,又〃_L£,则a〃/7,C正确；

若，〃〃“，nVa,则，〃_La,又则根〃尸或根u£,D错误；

故选：BC

【点睛】本题考查了直线和直线，直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.

10.某校计划在课外活动中新增攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向学生开展了一次随机

调查，其中参加调查的男女生人数相同，并绘制如下等高条形图，则()

口不喜欢

口喜欢

n(ad-bc)2

参考公式：K2=n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K设次）0.050.01

3.8416.635

A.参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多

B.参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多

C.若参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关

D.无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关

【答案】AC

【解析】

【分析】

由于参加调查的男女生人数相同，则设为加人，从而可求出男女生中喜欢攀岩的人数和不喜欢攀岩的人数,

再代入K?公式中计算，可得结论.

【详解】解：由题意设参加调查的男女生人数均为，"人，则

喜欢攀岩不喜欢攀岩合计

男生0.8m0.2mm

女生0.3mOJmm

合计1.1m0.9m2m

所以参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多，A对B错;

*2322

“22m（0.56m-0.06/n）50m

99

,…八,亡250m50x100厂八厂八厂,

当加=100时，K~=-----=----------x50.505>6.635，

9999

所以当参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关，C对D错,

故选：AC

【点睛】此题考查了独立性检验，考查了计算能力，属于基础题.

22

11.已知耳（-6,0）,居（百,0）是双曲线C：*-乐=1（4>08>0）的焦点，A为左顶点，。为坐标原点,

p是c右支上一点，满足（亏+哥）・（亏一哥）=0,|哥+耳耳=|哥—月耳，则（）

4,4,

A.。的方程为一f一一y2=i

39-

B.C的渐近线方程为丁=±岳

C.过耳作斜率为且的直线与C的渐近线交于M，N两点，则△（?肱V的面积为:

38

D.若点。是工关于c的渐近线的对称点，则4。。耳为正三角形

【答案】ABD

【解析】

【分析】

由（耳尸+石用.（石万-%用=0,|g户+不1=1秆一可可得|可1=1哥I，F\A1F2P,及C=6,再由

a,b,。之间的关系求出。，6的值，进而求出双曲线的方程及渐近线的方程，可得A，8正确；求过耳

作斜率为显的直线方程,与c的渐近线方程求出交点M，N的坐标,求出IMNI的值,再求。到直线MN

3

的距离，进而求出AOMN的面积可得C不正确：求出尸2关于渐近线的对称点。的坐标，进而求出IOQI，

IOF,|,|。月|的值，可得A。。片为正三角形，所以。正确.

【详解】解：由（牙+廖）4哥一"4）=0,可得铲=豆片，即|6乂|=1鸟户1，由|gA+E，l=lEA-廖1，

可得月乂_1.用户，

2

A

—=a+c

2

82

将x=c=G代入双曲线的方程可得|y|=—,由题意可得<C=6解得/=』，b1=—,

a2=a2+b244

C

44

所以双曲线的方程为：一/一一y2=\,渐近线的方程：y=±—x=±\/3x,

39a

所以A,B正确;

。中：过耳作斜率为3的直线，则直线MN的方程为：x=

二岛-后

3

则「解得：x=±，y==,即M（坦，

[y=y/3x2222

则卜="：一"，解得：x=-昱,>=?,即N（-立，-

y=-6x4-44

所以|MN|=Jg+分+（|_/=|,

「73g

。到直线MN的距离为d=-7「,二丁

7(^3)+12

而WC_1IAXA/I>_*36_38

所以S&MNO=7I用N卜4=-rr-T-=--

ZZZZo

所以。不正确;

n_rrG+加

2-2-

。中：渐近线方程为y=设居(G，0)的关于渐近线的对称点。(九〃)，贝卜厂解得:

n_-J3

m-y/33

63G3

m=----，n=—,即0(--,-

2222

所以|00=“一4)2+弓)2=石,|0月1=百,1041="一事+若)2+(|)2=3,

所以A。。耳为正三角形，所以。正确;

故选：ABD.

本题考查由向量的关系线段的长度及位置关系，及点关于线的对称，和三角形的面积公式，属于中档题.

12.已知/(X)是定义域为(YO,+8)的奇函数，〃x+l)是偶函数，且当xe(O,l］时，f(x)=-x(x-2),

则()

A.“X)是周期为2的函数

B./(2019)+/(2020)=-l

C.的值域为［-1,1］

D./(x)的图象与曲线y=cosx在(0,2兀)上有4个交点

【答案】BCD

【解析】

【分析】

对于A,由/(X)为R上的奇函数，〃X+1)为偶函数，得/(x)=/(x—4),则“X)是周期为4的周期

函数，可判断A；

对于B,由“X)是周期为4的周期函数，则〃2()2())=/(())=0,/(2019)=/(-1)=-/(1)=-1,

可判断B.

对于C,当xe(O,l］时，/(x)=-x(x-2),有。4八》)4,又由/(x)为R上的奇函数，则xe［-1,0)

时，-lW/(x)V0,可判断C.

对于D,构造函数g(x)=/(x)-cosx,利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D.

【详解】根据题意，

对于A,f(x)为R上的奇函数，为偶函数，

所以fM图象关于%=1对称，/(2+x)=/(-X)=-/(%)

即/(x+4)=-/(x+2)=/(x)

则/(x)是周期为4的周期函数，A错误；

对于B,/(X)定义域为R的奇函数，则/⑼=0,

“X)是周期为4的周期函数，则“2020)="0)=0；

当xe(0,l］时，/(x)=-x(x—2),则/(l)=—lx(l-2)=l,

则/(2019)=/(-1+2020)=/(-I)=-/(1)=-1,

则〃2019)+42020)=-1；故B正确.

对于C,当无G(0,1]时，/(x)=-x(x-2),此时有

又由/(X)为R上的奇函数，则xw[—1,0)时，-1<f(x)<0,

/(0)=0,函数关于x=l对称，所以函数“X)的值域[一川.

故C正确.

对于D,•••/(())=0,且xe(0,l]时，/(x)=-x(x—2),

xG[0,1],/(%)=—x(x-2),

:.xe[l,2],2-xe[0,1],/(x)=/(2-x)=-x(x-2),

xG[0,2],f(x)=-x。-2),

•."0)是奇函数，，xe[-2,0],/(x)=x(x+2),

•・・/(x)的周期为4,xe[2,4],/(%)=(x-2)(x-4),

%e[4,6],/(%)=—(x—4)(x—6),

二.%e[6,2^],/(%)=(x—6)(x—8),

设g(x)=/(x)-cosx,

当xe[0,2],g(x)=-x2+2x-cosx,

g'(x)=—2x+2+sinx,

设〃x()=g\x),h'(x)=-2+cos%<0在[0,2]恒成立，

//(x)在［0,2］单调递减，即g'(x)在［0,2］单调递减,

且g'⑴=sinl>0,g'(2)=-2+sin2<0,

存在玉)€(1,2)送，(%)=0,

xe(O,Xo),g'(x)>0,g(x)单调递增,

xe(x0,2),g'(x)<0,g(x)单调递减,

g(0)=-l,g(l)=l-cosl>0,^(x0)>^(l)>0,^(2)=-cos2>0,

所以g(x)在(0,x0)有唯一零点，在(七,2)没有零点，

即xe(0,2],〃x)的图象与曲线y=cosx有1个交点，

当xe[2,4]时，，g(x)=/(x)-cosx=x2-6x+8-cosx,

则g'(x)=2x-6+sinx,=g'(x)=2x-6+sinx,

则"(x)=2+cosx>0,所以g'(x)在[2,4]上单调递增，

且g[3)=sin3>0,g〈2)=-2+sin2<0,

所以存在唯一的玉e[2,3]u[2,4],使得g'(x)=0,

所以xe(2,xj,g'(x)<0,8(力在(2,1])单调递减,

xw(x]4),g<x)>0,g(x)在(与4)单调递增，

又g(3)=—l-cos3<0,所以g(xJ<g(3)<0,

又g(2)=-cos2>0,g(4)=-cos4>0,

所以g（x）在（2,xJ上有一个唯一的零点，在（』,4）上有唯一的零点,

所以当xe[2,4]时，/(x)的图象与曲线y=cosx有2个交点，，

当xw[4,6]时，同xe[0,2],“X)的图象与曲线y=cosx有1个交点，

当工£[6,2%],/(%)=(%—6)(x—8)<0,y=cosx>0,

〃x)的图象与曲线y=cosx没有交点，

所以/(x)的图象与曲线y=cosx在(0,2兀)上有4个交点，故D正确；

故选：BCD.

【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.

三、填空题：

13.展开式中的常数项是.

【答案】77

16

【解析】

【详解】试题分析：通项为4+1=61式》2)6-「(—-L)r=(—令12—3r=0,得r=4，

2x

所以常数项为1=屐(/)2(_1)4=*.

2x16

考点：二项展开式系数

【方法点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略

(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r+1项，再由特定项的特点求出r值即可.

(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r+1项，由特定项得出r值,

最后求出其参数.

14.已知向量a=(cos。,J7),坂=(；,tan6),且&〃坂，则8s26=_______.

【答案】一A

9

【解析】

【分析】

直接利用向量共线的充要条件列出方程求解，然后利用二倍角公式求解即可.

【详解】解：:向量£=(cos。,J7),否二(；,tan。)，且£〃加，

可得tan0cos^=^-，

3

..不

..sin0——,

3

cos26>=1-2sin26»=1-2x(^-)2=—].

故答案为：.

9

【点睛】本题考查向量共线的充要条件，二倍角的余弦函数的应用，考查计算能力，属于基础题.

22

15.已知椭圆[+学■=l(a>b>0)的焦点分别为£(一。,0),6(c,0)(c>0),两条平行线小y=x-c,

/2：丁=1+，交椭圆于A，B,C,。四点，若以A，B，C,。为顶点的四边形面积为2〃，则椭圆

的离心率为.

【答案】2-V2

【解析】

【分析】

直线CO的方程与椭圆的方程联立求出两根之和及两根之积，进而求出弦长CO,再求两条平行线间的距

离，进而求出平行四边形的面积，再由题意可得。，c的关系，进而求出椭圆的离心率.

y=x-c

【详解】解：设C（x，＞0,D（X,%），联立直线4与椭圆的方程：,22

2xy，整理可得:

第十广

(a2+b1)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0,

242c_a2c2-a2b2

A,A2=a2