2021人教版数学八年级下《平行四边形》常考题提高含答案

八年级下册《平行四边形》

常考题提高专练

1.如图，在正方形为83中，AB=5cm,£为对角线劭上一动点，连接布、CE,过£点作

EFLAE,交直线8c于点尸，£点从8点出发，沿8〃方向以每秒1cm的速度运动，当点£

与点。重合时，运动停止.设△皮尸的面积为ya?/,£■点的运动时间为*秒.

(1)点£在整个运动过程中，试说明总有：CE=EF；

(2)求jz与x之间关系的表达式，并写出x的取值范围.

备用图

2.如图，。ABCD中,BE平分NABC交AD于E,CF平分/BCD交AD于F.

(1)求证：AF=DE;

(2)若£为4)的三等分点(靠近4点)，BE=B,CF=6,求直线47与8c之间的距离.

3.已知，在长方形/仇切中，43=8,BC=6,AE,尸分别是边48,8c上的点，连接。£,

DF,EF.

1

(1)如图①，当C尸=2维=2时，试说明△际是直角三角形：

(2)如图②，若点£是边力8的中点，DE斗分ZADF,求6尸的长.

图①图②

4.四边形〃是正方形"是仇?边上的一点，E是面边的中点，〃"平分

图1图2

(1)求证：AM=AD^MC.

(2)若四边形是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2,试判断力44＞雨

是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

5.如图，口ABCD中,DF平分NADC史AC于点H,G为力/的中点.

(1)如图①，若"为4)的中点，ABLAC,AC=9,CF=Q,C42遥，求G附：

(2)如图②，的为线段48上一点，连接MF,满足NMCD=NBCG,ZMFB=4BAC.求证:

MX2CG.

2

图①图②

6.如图，矩形力&?〃的对角线交于点0,点F是矩形外的一点，其中〃劭，BE//AC.

(1)求证：四边形4砥7是菱形；

(2)若N4?B=30°,连接CE交于做于点尸，连接力尸，求证：4F平分NBAO.

7.如图，正方形的对角线交于点。，点£、尸分别在48、BC上(AE<B$且，EOF=

90°,OE、，的延长线交于点“，OF、48的延长线交于点乂连接做

(1)求证：OM=ON.

(2)若正方形483的边长为4,£为的的中点，则麻=.

8.已知：平行四边形力胸中，BD^CD,且N/8P=45°,过。作力」48于尸，点£是

3

的中点，连接&F交。尸于点。，点G是熊的中点，过8作8”！劭交。G的延长线于

(1)若48=2,求8的长；

(2)求证：DP^BH.

9.如图所示，在长方形/口?〃中，4B=8cm,3C^12cm,£为49的中点，动点。在线段8c

上以4c勿/s的速度由点8向C运动，同时，动点。在线段切上由点C向点。运动，设运

动时间为t(5).

(1)当t=2时，求△郎的面积；

(2)若动点。以与动点?不同的速度运动，经过多少秒，△商与全等？此时点0

的速度是多少？

(3)若动点。以(2)中的速度从点C出发，动点。以原来的速度从点8同时出发，都

逆时针沿长方形483的四边形运动，经过多少秒，点。与点。第一次在长方形48C〃的

哪条边上相遇？

10.如图，在四边形力比》中，点G在8C的延长线上，CE平分2BCD,CF斗分■匕GCD，过点

D作DELGE于点E,DFX.GF于点F.

(1)求证：四边形史•6■尸是矩形；

4

(2)添加一个条件,使四边形。灯尸是正方形(不用证明)

11.如图，在正方形为83中，G是对角线做上的一点，GELCD,GFLBC,点E,尸分别为

垂足，连接4G,EF.

(1)求证：AG=EF\

(2)若N，430°,G£=1,求正方形力成盟的面积.

12.如图，已知平行四边形力反步中，中垂直平分线段做，连接DF.

(1)求证：四边形阳方是菱形；

(2)若AB=3近,4)=6,N仍。=135°,求然的长.

13.如图，点8在线段力尸上，AB=8,BF=4,分别以48,8厂为边在线段4尸的同侧作正方

形ABCD和正方形8FGE,连接C£DE.

(1)求证：CF=DE；

5

(2)连接。G,若〃是。G的中点，求仍的长；

(3)在(2)的条件下延长8〃交缈于求。/的长.

14.如图，在四边形为8"中，AD//BC,NB=90°,4g16cm,DX13cm,BC^2\cm,动点

户从点8出发，以每秒2cm的速度在射线8c上运动到C点返回，动点。从点4出发，在

线段47上，以每秒1cm的速度向点。运动，点P,。分别从点8,4同时出发.当点。运

动到点。时，点。随之停止运动，设运动时间为t(秒).

(1)当t为何值时，四边形以“C是平行四边形.

(2)是否存在点。，使是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的大的值，

若不存在，请说明理由.

15.已知在线段48上有一点C(点C不与力、8重合且/4O8C),分别以AC、8c为边作正

方形ACED和正方彩BCFG,其中点尸在边CE上,连接AG.

6

(1)如图1,若AX7,8G=5,则4;=;

(2)如图2,若点C是线段48的三等分点，连接/!£、EG,求证：△/!&?是直角三角形.

参考答案

1.证明：(1)如图1,过E作椒〃力氏交4?于交仇?于乂

7

D

BN

图1

•・•四边形A8CD是正方形,

：.AD//BG,ABI.AD,

:.MN工AD,MNLBC,

:./AME=NFNE=9N=NNF日4FEN,

VAELEF,

:.ZAEF=/AE雌4FEN=9G,

:./AEM=/NFE,

VZDBC=45°,NBNE=9G,

：.BN=EN=AM,

：.^\AEM^/\EFN{AAS},

:.AE=EF,

•・•四边形ABC。是正方形,

：.AD=CD,NADE=4CDE,

'：DE=DE,

:.XADEQXCDEQSAS),

：.AE=CE,

:.CE=EF,,

(2)在RtZ\8CZ?中，由勾股定理得：BD=452+52=巩^,

由题意得：BE=x,

V2

:.BN=EN=^x,

2

由(1)知：AE=EF=EC,

分两种情况：

8

①当OWxW时，如图1,

2

■:AB=MN=5,

：.BF=FN-BN=5-与一冬=5一届,

•'•^yBF-EN^（5-V2x）,-y-x^^-x-yx2;

②当22<XW5正时，如图2,迂E岷ENLBC千N,

：.EN=BN=

：.FN=CN=5-

：.BF=BC-2CN=5-2（5-拳x）=心-5,

•',^yBF'EN^（亚x-5）•喙

综上，v与x之间关系的函数表达式为：y=.

会2学式平＜x。后)

2.(1)证明：•・•四边形力8CZ?是平行四边形,

:.AB=DC,AB//DC,AD//BC,

：.4AEB=NCBE,ADFC=ABCF,

‘：BE平分4ABC,CF^分/BCD.

：.4ABE=/CBE,4DCF=4BCF,

：・4AEB=/ABE,/DFg/DCF,

：.AE=AB,DF=DC,

:.AE=DF,

:.A日EF=DF+EF,

9

即AF=DE\

(2)解：作EM1BC于M,如图所示：

由(1)得：AE=DF,

•：E为的三等分点，

：.AE=EF=DF,

过点E作EP"CF交仇?于P,

则NBPE=NBCF,四边形。底是平行四边形,

：.EP=CF=6,

•:AB〃DC,

:•NABa/DCB=\8G0,

■:BE斗分4ABC,CF?分/BCD.

:.NABE=NCBE,NDCF=4BCF,

:・/CBEMBCF=M,

:./CB3/BPE=9G,

:.NBEP=9G,

•••BP=VBE2+EP2=VS2+62=10,

.™BEXEP_8X6

•.-----------=-----=-4-.8,

BP10

即AD巧8C之间的距离为4.8.

:,BE=1,

:・AE=AB-BE=7.

•・,四边形ABCD是短形,

:.NA=4B=4C=90°,CD=AB=8,AD=BC=6,

在Rt/\ADE中，。后=At+AC=6H=B5,

在Rt△仇正中，=D(f+=82+22=68,

10

在Rt△啊•中，左=8声房=「+42=17,

:.D户+E/=D后,

△诋是直角三角形，且NZVE=90°；

(2)解：作EHLDF于H,

就NA=NDHE=9G°.

'：DE平分NADF,

:./ADE=/HDE,

，ZA=ZDHE

在丛AED和丛HED中,<ZADE=ZHDE,

DE=DE

：./\AED^/\HED(加S),

:.DA=D46,EA=EH=4,

:.EH=EB=4,

(EF=EF

在RtZ\fi6F和Rt△斯中，i,

lEH=EB

...RtZ\£7&Rt△新(也)，

:.BF=HF.

设BF=x,则HF=x,CF=6-x,

:.DF=D*HF=6+x,

在RtZXCZ?「中，De+Cf?=D户,

82+(6-x)2=(6+x)2,

4.解：(1)如图1,过点£作日」4/于点尸，连接EM,

11

BMC

图1

・・•四边形ABC。是正方形,

：.ZD=ZC=9Q°,

:./D=/AFE,

・：AE平分NOAM,

：./DAE=4FAE,

AE=AE,

:・XAD恒IXAFE〈AAS),

：.AD=AF,DE=FE,

•:E是微边的中点，

：.DE=EC,

:・FE=EC,

EM=EM,

:.RQEFMQRtAECM(HL),

：.FM=MC.

：.AM=AF+FM=AD^MC.

(2)成立，理由如下：

如图2,过点E作日」4/于点打，连接W

・・•四边形49切是矩形，

：.ZD=ZC=90°,

,4D=4AFE,

12

,?AE斗■超乙DAM,

：./DAE=/FAE、

AE=AE,

：.^ADE^/\AFE(A4S),

：.AD=AF,DE=FE,

•:E是CO边的中点，

：.DE=EC,

:・FE=EC,

EM=EM,

：.Rt/\EFM^RSECM(HL),

：.FM=MC.

：.AM=AF+FM=Al>MC.

所以彳除=4>例成立.

5.M：(1)•・•□ABCD,ABLAG,

：.ZBAC=ZACD=9Q°,

•:G为ZW的中点,

：.CG=HG=GD,

■:CG=2后,

:.HD=4炳,

■:DF斗分4ADC,

：.乙DFC=NADF=NCDF,

:.CF=CD,

、：CF=8,

:・CD=8,

在RtZ\//⑺中，HC=4,

♦：AC=9,

:.AH=5,

•:M为4。的中点,

15

：.MG=—AH=--.

22

13

(2)如图②，过点。作ZW〃47,交CG的延长线于点乂

图②

:,乙N=4ACN,/DAC=4ADN,

♦:G为力/的中点，

：.DG=HG1且/N=NACG,NCGH=4DGA,

:.△CGH^RNGD(A4S)

：.GC=GN,

：.CN=2CG,

,?4MCD=4BCG,

:./FCM=/DCN,

•・,四边形力伙力是平行四边形，

:・4B=/ADC,AD//BC,

：.NDAC=ZACB=NADN,

■：NMFB=NBAC,NB=NB,且NBMF=W-/B-NBFM,NACB=、8G-£B-£BAC,

：./BMF=4ACB,

：.4BMF=4ADN,

J4BMR4B=4AD24ADC,

:・/MFG=/NDC,且CF=CD,/FCM=4DCN,

・•・△林g△也?C{ASA}

：.CM=CN,

：.CM=2CG.

6.解：(1)证明：,:AE"BD、BEUAG.

・・・四边形力的是平行四边形,

•・•四边形ABCD是矩形,

14

:,AC=BD,

：.0A=OB,

・・・四边形力砥?是菱形；

(2),・•四边形彳皈是菱形，

：.AO=BE,AO//EB,

：.4C0F=4EBF,

•・•四边形49切是矩形，

：.AO=OC=OB=OD,

：.EB=OC9

在尸和△砌7中，

<ZCFO=ZEFB

<ZCOF=ZEBF,

CO=EB

:•△COFQXEBFQAAS),

：.OF=BF,

VZADB=30°,AO=OD,

:.NADB=/DA0=3G,

:.NA0B=NAD讣NDAO=,

・・・△478是等边三南形，

•：OF=BF,

・・・力厂平分/%0.

7.(1)-：ZEOF=90°,ZAOB=90°

：.4A0M=/BON,

在△4。的和△80”中，

NAOM=4B0N,

OA=OB,

/OAM=/OBN

：.^AOM^/\BON(ASA)

：.OM=ON.

(2)如图，过点。作0H1AD于点、H,

15

:正方形的边长为4,

：.0H=HA=2,

•:E为掰的中点，

则OM^A/2+42VB,

.•.麻=20"=2X(2代)2=40.

故答案为:40.

8.(1)解：如图，过.P作PMLBD千M,

:四边形483是平行四边形，

:.CXAA2,

'：BMCD,

：.AB=BD=2,

是4〃的中点,

NDBE=/.ABE,

■:PFLAB,PM'BD,

：.PF=PM,

:NABD=45°,

：.△劭尸是等腰直角三角形，

:.DF=BF=M，NBDF=A5°,

：.DM=PM,PD=y[2PM,

柱丛BFP和丛BMP中，

,.fPF=PM

,lBP=BP，

:.Rt/XBFP^RSBMP(HD,

."仁8尸=&,

16

・••加2-&,

・・・。々加。仁2祀-2；

(2)证明：连接4户，

VZDEP=ZPFB=90°,NEPD=4FPB,

:・/EDP=/FBP,

在丛ADF和APBF中，

<ZADF=ZPBF

；DF=BF,

lZAFD=ZBFP=90"

:.XADFQXPBF〈AS4,

:・PF=AF,

・・・NW=45°,

；BD±BH,

：.^DBH=9Q°,

■:4DBF=45°,

:./HBG=9G-45°=45°,

:./PAF=/HBG,

在和△8〃G中，

'/PAF=ZHBG

•・・<AG=BG,

ZPGA=ZHGB

:•△APG^ABHGQASQ,

:・BH=AP,

•:AB=BD,N480=45°,

JN%8=N4〃8=67.5°,

RtZkXZ7「中，ZADP=ZDAP=22.5°,

：.AP=DP,

：.DP=BH.

17

D

9.解：(1)当/'=2时，BP=2X4cm=8cm

■:E为48的中点,

BE=^AB=^X8cm=4cm,

:长方形ABCD

：.NB=90°

：.S^CBP=^BE'8「春X4X8=16(COT).

(2)设点。的速度是acm/s,则BP^4t(COT),CQ=at(.cm),

:.PX(12-4t)(cm),

•：AEBPg丛CQP生等,ZB=40=90。

：.△EBP^△0C0或△EBP^△QCP

当△砥侬△夕C0时，PC=EB,CQ=BP

.•.12-41=4,解得亡=2,

：.2a=4X2

；.a=4,与动点。以与动点夕不同的速度运动矛盾.

当△砥侬△仇火时，CP=BP,CQ=BE

A12-4t=4t,解得t=),

a=4,解得a=&(.cm/s');

23

答：经过3秒，XEBPW4CQP全等:此时点。的速度是出■cWs;

23

(3)设经过X秒，点。与点。第一次在长方形4及Q的边上相遇;

则：4x=12+—x,解得：x=9

3

此时点P运动路程为：4X9=36{cm),.二点夕在48的中点处，

18

答：设经过9秒，点夕与点。第一次在长方形为8CD的边48上相遇.

10.(1)证明：DEI.CE,DFLCF,

二CE4分/BCD、C尸平分NGCR

AZ.DCE=^BCD,ADCF=^^DCG,

:.NDCB~NDCF=g(BCNZDCG=90°,

即NFC尸=90°,

四边形DECF是矩形;

(2)解：添加条件：DE=CE,理由如下：

:四边形巫C尸是矩形，DE=CE,

四边形DECF是正方形;

故答案为：〃£=龙(答案不唯一).

11.证明：(1)连接GC,

'：GE±CD,GFLBC,

AZGEC=ZGFC=90Q=4ECF,

四边形GFCE是矩形.

：.EF=GC.

•.•四边形483是正方形，

:.NADG=NCDG=45°,AD=CD.

又DG=DG,

:.XAD（运2CDG（弘S）.

**.AG=CG.

：.AG=EF,

19

(2)•/GE±DE,NGDE=45°,

：.DE=GE=}.

■：△ADG^XCDG,

:.NGCE=NDAG=3Q°,

.•.在RtZ\GC£中，仇?=2G£=2,

利用勾股定理可得CE=，GC2_GE2={22_]1=yf2-

则正方形ABCD的边长为CD=C日DE=.

正方形ABCD的面枳=C/f=(7y-D2=4+2。5.

12.(1)证明：•.•四边形49CZ?是平行四边形，

：.AD//BC,OB^OD,OA=OC,AABC,

NODE=ZOBF,

在△口把和△08尸中，

"ZODE=ZOBF

,OD=OB,

ZDOE=ZBOF

：./\ODE^/\OBF(.ASA),

：.DE=BF,

又,：ADHBC,

...四边形阳方是平行四边形，

叉,：EF'BD,

四边形跖9厂是菱形；

(2)如图，过点8作8MLAD于M,

外445°,且8优L47,AB=3近,

：.BM=AM=3,

;四边形阳尸是菱形，

：.BE=DE,

20

於=8"+或

(62=(X£+3)2+9,

：.AE=\

故答案为：1

13.(1)证明：•.•四边形力成步与四边形8尸GE都是正方形，

：.AD=AB=CD=BC=Q,BE=BF=FG=4,4DCE=NCBF=9Q°,AF//EG//CD,

:.CE=BC-8£=8-4=4,

：.CE=BF,

'CD=BC

在△。维和△斯中，，ZDCE=ZCBF.

CE=BF

:.△DCEQXCBF〈SAS'),

：.CF=DE-,

(2)解：过点、H作HNLAB于N,如图1所示：

则HN//AD//GF,

•.•〃是一的中点,

枷是梯形ADGF的中位线，

：.NH=—(AMF&=—X(8+4)=6,NF=—(A济BQ=—X(8+4)=6,

2222

：.BN=NF-8尸=6-4=2,

22=22=2

BH=VNH+BNV6+2VIO：

(3)解：延长G£交8〃于点花如图2所示：

则EN//CD,

•.•〃是0G的中点，

：.DH=GH,

'：EG//CD,

：.4MDH=ZNGH,

，ZMDH=ZNGH

在△加仰和△GM/中，,DH=GH,

,ZDHM=ZGHN

:.△DMgAGNH〈ASA),

：.DM=GN,

21

■:CE=BE=4,EN//CD,

...日V是△仇》的中位线，

：.CM^2EN,

设EN=x,则加2x,DM=Q-2x,

•：DM^GN,

.*.8-2x=4+x