北京市延庆区2023-2024学年高一下学期期末数学试卷

延庆区2023—2024学年第二学期期末试卷高一数学2024.07本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.（）A. B. C. D.12.下列函数中，最小正周期为且是偶函数的是（）A. B. C. D.3.若，，则（）A. B. C. D.4.已知某球体的体积与其表面积的数值相等，则此球体的半径（）A.4 B. C. D.35.在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，则（）A. B. C. D. 6.已知，是两条不重合直线，，，是不重合平面，则下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，，则D.若，，，则7.在中，若，，，则（）A.3 B. C.4 D.58.已知（，）的部分图象如图所示，则（）A. B. C. D.9.在四棱锥中，底面为正方形，，，，则此四棱锥的侧面积为（）A. B. C. D.10.设函数的定义域为，若存在常数满足，且对任意的，总存在，使得，称函数为函数，下列说法正确的是（）A.函数是函数B.函数是函数C.若函数是函数，则D.若函数是函数，则第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.在中，，，，则边__________.12.已知一个圆锥的母线长为2，底面半径为，则该圆锥的体积为__________.13.在中，，，请从①，②，③中选择一个，使存在且唯一，写出满足要求的一个条件的序号___________.14.已知长方形中，，点为上的动点，则__________；的取值范围是___________.15.如图：在正方体中，棱长为1，为中点，与平面交于点，点是棱上一点，在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是________.①为的中点；②点可以是的中点；③当是的中点时，点面；④线段的最大值为.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题13分）已知函数.（Ⅰ）求函数的最小正周期和单调递减区间；（Ⅱ）若，求函数的最大值和最小值及相应的值.17.（本小题14分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段上的中点.（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）求证：平面平面.18.（本小题13分）已知中，，，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）求的面积.19.（本小题15分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，，，分别为，的中点（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个，使得面，并证明.条件①：；条件②：；条件③：三棱锥的体积为.注：如果选择条件不能使面.（Ⅲ）得零分.20.（本小题15分）在中，，.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）从下列三个条件中选择一个作为已知，使存在，求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件使不存在，第（Ⅱ）问得0分.（Ⅲ）若，求周长的取值范围.21.（本小题15分）设正整数，集合，对应集合中的任意元素和，及实数，定义：当且仅当时；；.若的子集满足：当且仅当时，，则称为的完美子集.（Ⅰ）当时，已知集合，，分别判断这两个集合是否为的完美子集，并说明理由；（Ⅱ）当时，已知集合.若不是的完美子集，求的值；（Ⅲ）已知集合，其中.若对任意都成立，判断是否一定为的完美子集.若是，请说明理由；若不是，请给出反例.

延庆区2023-2024学年第二学期期末考试高一数学参考答案及评分标准2024.7一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.A2.B3.C4.D5.D6.C7.A8.B9.A10.D二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.2 12. 13.②或③ 14.4， 15.①③三、解答题（共6小题，共85分）16.解：（Ⅰ）由所以函数的单调递减区间是，.（Ⅱ）因为，，所以当，即时，函数函数的最大值为2；所以当，即时，函数的最小值为.17.（共14分）证明：（Ⅰ）如图，连结，交于点，连结.因为底面为正方形，所以是中点，为线段上的中点所以是的中位线所以，平面，平面，因为直线平面.（Ⅱ）因为底面为正方形，所以平面，平面，所以，，平面所以平面.（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面，因为为线段上的中点，，所以所以，，平面所以平面，平面所以平面平面18.（共13分）解：（Ⅰ）由余弦定理，可得，因为，所以；（Ⅱ）在中，由正弦定理，可得，解得；（Ⅲ）由的面积，可得.（19）（共15分）（Ⅰ）取的中点为，连接，，为的中点，所以，由三棱柱可得四边形为平行四边形，为的中点，所以，所以，，所以四边形是平行四边形，所以，平面，平面，故平面.（Ⅱ）因为侧面为正方形，故，而平面，平面平面，平面平面，故平面，因为平面，所以（Ⅲ）选②，四边形是平行四边形，且，因为，所以在三棱柱中，侧面为正方形，，的中点为，为的中点，所以，则，所以，故，所以因为平面，因为，，面，故面选③，因为平面，所以三棱锥的体积，因为，所以，平面，因为，，面，故20.（共15分）解：（Ⅰ）由，得.在中，由正弦定理得.因为，，所以.又，所以.（Ⅱ）选条件①：，所以由可得.由，可得或，由正弦定理解得或.当时，的面积为.当时，的面积为.选条件③：.在中，由余弦定理得，即.整理得.解得或.当时，的面积为.当时，的面积为.（Ⅲ）由正弦定理，可得，所以周长为因为，所以，，所以周长取值范围为.21.（共15分）解（Ⅰ）设，即，所以是完美子集.设，可得，解得：，，（）所以不是完美子集；（Ⅱ）因为集合不是的完美子集，所以存在，使得，即，由集合的互异性可得：且且，所