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人教版必修4第二章

平面向量2.4平面向量的数量积2.4.1平面向量数量积和物理背景及其含义一个物体，在力f的作用下产生位移s，如图．如何计算这个力所做的功？力f在位移方向上的分力的数值是多少？自主预习情境引入向量a与b的夹角同向反向垂直0自主梳理正射影|a|·cosα|a|

－|a|3．向量的数量积(内积)(1)_______________叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝______________.(2)两向量的数量积不是向量而是________，它可以为正数、零、负数，要注意区分两向量数量积的运算性质与数乘向量、实数乘实数之间的差异．(3)向量数量积的几何意义：向量a与向量b的数量积等于a的长度|a|与b在a方向上的正射影的数量|b|cos<a，b>的乘积，或看作是__________与____________________________________的乘积．|a||b|cos〈a，b〉

|a||b|cos〈a，b〉数量b的长度|b|

a在b方向上的正射影的数量|a|cos〈a，b〉4．向量数量积的性质(1)如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝______________.(2)a⊥b⇔________；(3)a·a＝|a|2或|a|＝________；(4)cos<a，b>＝_________(a≠0，b≠0)；(5)|a·b|≤________.|a|·cos〈a，e〉a·b＝0|a||b|[答案]

C[解析]

a·b＝|a|·|b|cos<a，b>＝2×1×cos60°＝1.预习效果[答案]

A[答案]

B4．已知a·b＝12，且|b|＝5，则向量a在向量b的方向上的正射影的数量为________．1.向量在轴上的射影典例精析[分析]

利用射影、射影的数量以及向量夹角的定义解题．[解析]

a在l上的射影为向量．这个向量的坐标叫做数量．故①②不正确，③正确，④⑥不正确，⑤正确，由向量夹角的范围可知⑦不正确．故选③⑤.[答案]③⑤已知向量a、b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b与a上的投影是________．[答案]

1跟踪练习[分析]

已知|a|与|b|，只需确定其夹角θ，特别需注意a∥b时有θ＝0°和θ＝180°两种可能．2.关于向量数量积的定义和应用[解析]

(1)当a∥b时，若a、b同向，则它们的夹角为0°，所以a·b＝|a|·|b|cos0°＝10；若a、b反向，则它们的夹角为180°.所以a·b＝|a|·|b|cos180°＝－10.(2)当a⊥b时，夹角为90°，所以a·b＝|a|·|b|cos90°＝0.(3)当a、b夹角为60°时，a·b＝|a|·|b|cos60°＝5.[点评]

(1)用定义求数量积一定要注意两个向量的夹角；(2)当a∥b时，要注意夹角为0°和180°两种情况．若向量a、b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为120°，则a·a＋a·b＝________.跟踪练习3

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