高中数学习题2：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 用空间向量研究距离、夹角问题

八用空间向量研究距离、夹角问题

一、选择题（每小题5分，共20分）

1.已知直二面角aT-B,点AGa,AC±7,C为垂足,Be0,BD±7,D为垂足.若

AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于（）

A*B虎cYD.1

333

2.两平面的法向量分别为m=（0,1,0）,n=（0,1,1）,则两平面的夹角为（）

A.45°B.60°C.90°D.135°

3.在正方体ABCD-ABCD中，BB,与平面ACD所成角0的正弦值为（）

A£BYC.-D.-

2355

4.正方形ABCD所在平面外有一点P,PA,平面ABCD.若PA=AB,则平面PAB与平面

PCD的夹角的大小为（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

二、填空题（每小题5分,共10分）

5.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为

（0,-1,3）,（2,2,4）,则这个二面角的余弦值为.

6.如图,在正方形ABCD中,EF〃AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE：ED：

AD=1：1：V2,则AF与CE所成角的余弦值为.

闩

AB

三、解答题（每小题10分，共20分）

7.如图所示，已知在四面体ABCD中，0为BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=V2,求

异面直线AB与CD所成角的余弦值.

A

8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC.F所截而得到的，其中

AB=4,BC=2,CC=3,BE=1.

（1）求BF的长；（2）求点C到平面AEC.F的距离.

(15分钟•30分)

1.（5分）（多选题）已知向量a=（V2,0,-V2）,则下列向量中与a所成的夹角为钝角

的是（）

A.（0,0,2）B.（2,0,0）

c.(0,V2,V2)D.(V2,-V2,0)

2.（5分）如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点,且PA,平面ABCD,

PA=AD=AC,点F为PC中点，则平面CBF与平面BFD夹角的正切值为（）

3B片

3.（5分）如图，正方体ABCD-ABCD的棱长为1,0是平面ABCD的中心,则异面直

线ADbOB所成角的余弦值为,B0与平面ABCD所成角的正弦值

为.

4.（5分）如图所示,在三棱柱ABC-ABG中，AA」底面ABC,AB=BC=AAbZABC=90°,

点E,F分别是棱AB,BBi的中点，则直线EF和BC.所成的角是

5.(10分)如图,在三棱锥P-ABC中,PAJ_底面ABC,NBAC=90°.点D,E,N分别为棱

PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.

⑴求证:MN〃平面BDE;

⑵求平面CEM与平面EMN夹角的正弦值.

(2)易知m=(l,0,0)为平面CEM的一个法向量.设必=区,ybzj为平面EMN的一个法

向量,则

1.如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在

线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为0,则cos0

的最大值为.

2.如图所示的几何体中，平面ADNM,平面ABCD,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形，

TI

ZDAB="AB=2,AM=1,E是AB的中点,在线段AM上是否存在点P,使平面PEC与平面

3

7T

ECD夹角的大小为一?若存在,求出AP的长;若不存在,请说明理由.

4

B

A用空间向量研究距离、夹角问题

(25分钟・50分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1.已知直二面角a-1-B,点AEa,AC±7,C为垂足,BWB,BD,D为垂足.若

AB=2,AC=BD=1,则D到平面ABC的距离等于()

【解析】选C.因为平面a_L平面B,且

平面a,依题意建立坐标系如图所示,在RtAACD中，可得CD=/2,故A(0,0,1),

B(l,V2,0),C(0,0,0),D(0,V2,0),

则五=(0,0,1),CB=(1,V2.0),cf)=(0,&,0).设平面ABC的一个法向量为

n=(x,y,z),

fn,CA=0,fl

X--y/2y,

贝ljIn,CB=O0

z—0,

令y=l,可得n=(-，2,1,0),

lcb・n|f2x/6

故所求距离d=Ini=J=」.故选C.

y/33

2.两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面的夹角为()

A.45°B.60°C.90°D.135°

【解析】选A.cos<m,n>=U=—二=*,

即<m,n>=45°.所以两平面的夹角为45°.

3.在正方体ABCD-A.B.C,D,中，BB,与平面ACD所成角0的正弦值为()

【解析】选B.设正方体的棱长为1,以D为坐标原点,DA,DC,DD所在直线分别为x

轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系，如图所示.则B(1,1,0),Bi(1,1,1),

A(l,0,0),C(0,1,0),立(0,0,1),

所以瓯=(0,0,1),AC=(-1,1,0),ATSI=(-1,0,1).令平面ACDi的法向量为

n=(x,y,z),贝ijn•AC=-x+y=0,n•Aii产-x+z=0,令x=l,可得n=(l,1,1),

173

所以sin6=|cos<n,BBi>=——=—.

<3X13

4.正方形ABCD所在平面外有一点P,PA,平面ABCD.若PA=AB,则平面PAB与平面

PCD的夹角的大小为()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解析】选B.建立空间直角坐标系如图，设AB=1,

则A(0,0,0),B(0,1,0),

P(0,0,l),D(l,0,0),C(l,1,0).

可知平面PAB的一个法向量为m=(l,0,0).

设平面PCD的法向量为n2=(x,y,z),

则L•CD0,得XZ—6令x=l,则Z=l.

ly=0.

所以n2=(l,0,1),cos<nb&>=/='.

yJ2.2

设平面PAB与平面PCD所成的夹角为0,

则cos9=cos〈n、n2>|=在所以9=45°.

2

即平面PAB与平面PCD夹角的大小为45°.

二、填空题(每小题5分，共10分)

5.在一个二面角的两个面内都和二面角的棱垂直的两个向量分别为

(0,-1,3),(2,2,4),则这个二面角的余弦值为.

【解析】设a=(0,-l,3),b=(2,2,4),则cos<a,b>=,又因为两向量的夹

回又回6

角与二面角相等或互补,所以这个二面角的余弦值为士竺.

6

答_案.：土,V」15

6

6.如图，在正方形ABCD中，EF〃AB,若沿EF将正方形折成一个二面角后，AE：ED：

AD=1：1：V2,则AF与CE所成角的余弦值为,

【解析】因为AE：ED：AD=1：1：&,所以AELED,即AE,DE,EF两两垂直,所以建

立如图所示的空间直角坐标系，设AB=EF=CD=2,则E(0,0,0),A(1,0,0),

F(0,2,0),C(0,2,1),所以=(-1,2,0),EC=(0,2,1),所以

A卜El

C0S<A'EX］人代•底仁言T，所以AF与CE所成角的余弦值为:

答案:勺

5

三、解答题(每小题10分，共20分)

7.如图所示，已知在四面体ABCD中，0为BD的中点,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=V2,求

异面直线AB与CD所成角的余弦值.

A

【解析】以0为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,

则B(1,O,O),D(T,O,0),C(0,V3,O),A(O,O,1),

BA=(-1,o,1),CD=(-1,-V3,0),

.♦3叵

所以COSGBA,cb>=\BA\CD|=—.

4

8.如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC.F所截而得到的,其中

AB=4,BC=2,CG=3,BE=1.

(1)求BF的长；(2)求点C到平面AECF的距离.

【解析】(1)建立如图所示的空间直角坐标系,

则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),

C(0,4,3).设F(0,0,z).

由面面平行的性质定理知四边形AEC.F为平行四边形,所以由■记EC.,

得(-2,0,z)=(-2,0,2),

所以z=2.所以F(0,0,2).所以BF=(-2,-4,2).

于是IBF|=2V6=BF.

⑵设n为平面AECF的一个法向量，

显然n不垂直于平面ADF,故可设n=(x,y,1),

n•AE=0,

由n,AF=0,

<0xz+4xy+l=0,

得《

-2Xx4-0Xy+2=0,

(4y+1=0,(x=1,

即《所以1i

(-2x+2=0,(y

所以n=(L—：,1\

又cc,=(0,0,3),设4与n的夹角为a,则

CG・n

34733

COSQ二|CG|rt|="

33

3・m

所以C到平面AECF的距离

4i7334国

d=|cCi|cosa=3X--=--.

3311

(15分钟・30分)

1.(5分)(多选题)己知向量a=(/2,0,-&),则下列向量中与a所成的夹角为钝角

的是()

A.(0,0,2)B.(2,0,0)

C.(0,y/2,V2)D.(V2,->/2,0)

【解析】选AC.由题意，可设b与a成的夹角为钝角.

则有:a・b=a,|b|cos〈a,b>,因为〈a,b>为钝角，

所以a•b<0,①

对于A:a•b=-V2X2=-2V2,满足①式,A符合题意；

对于B:a•b=V2X2=2V2,不满足①式,B不符合题意；

对于C:a•b=V2X0+0XV2-V2XV2=~2,满足①式,C符合题意;

对于D:a•b=V2XV2+0x（-V2）-V2X0=2,不满足①式,D不符合题意.

2.（5分）如图所示，已知点P为菱形ABCD所在平面外一点，且PAJ_平面ABCD,

PA=AD=AC,点F为PC中点，则平面CBF与平面BFD夹角的正切值为（）

［解析］选D.设ACABD=O,连接OF,

以0为原点,OB,OC,OF所在直线分别为X,y,z轴,

建立空间直角坐标系，

设PA=AD=AC=1,则BD=V3,

所以B俘,0,o）,F（o,0,I）,c（0,0）.

所以在=（0,0）,且正为平面BDF的一个法向量.

由航=（-今，：，0）,疝=（广，0,-3,可得平面BCF的一个法向量

n=（l,V3,V3）.

”一一V21一2五

所以cos<n,oc>=—=―,sin<n,00=—=—.

所以tan<n,oc>=-^—.

3

3.（5分）如图,正方体ABCD-ABCD的棱长为1,0是平面ABCD的中心,则异面直

线AD„0B所成角的余弦值为,B0与平面ABCD所成角的正弦值

为

【解析】建立空间直角坐标系如图

则B(l,1,0),0&T，1),A(1,O,0),D,(0,0,1),A,(1,O,1),

AD,=(-1,0,1),OB=Q,I，-1),

_一13

所以ADj•0B=--卜0-1.二—,

22

IAT^il=V2,IOB|=—,COS<AJ5[,OB>=-—,

22

所以异面直线AD„OB所成角的余弦值为

2

D3=(1,0,1)是平面ABC.D,的一个法向量.

I•D-,|1r

所以BO与平面ABCD所成角的正弦值为10后11DA,\=—=^--=—.

fxV26

答案成在

26

4.（5分）如图所示,在三棱柱ABC-ABG中，AA】_L底面ABC,AB=BC=AAbZABC=90°,

点E,F分别是棱AB,BBi的中点，则直线EF和BG所成的角是.

B

【解析】以BC为x轴,BA为y轴,BBi为z轴，建立空间直角坐标系.设AB=BC=AA1=2,

则C(2,0,2),E(0,1,0),F(0,0,1),

则萨(0,-1,1),BC)=(2,0,2),

所以而•记尸2,

21

所以COS<EF,BC,>=

^2X2722

所以EF和BG所成的角为60°.

答案:60°

5.(10分)如图,在三棱锥P-ABC中，PA_L底面ABC,NBAC=90°.点D,E,N分别为棱

PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点,PA=AC=4,AB=2.

⑴求证:MN〃平面BDE;

⑵求平面CEM与平面EMN夹角的正弦值.

【解析】如图，以A为原点，分别以品，AC,A。的方向为x轴、y轴、z轴的正方向

建立空间直角坐标系,依题意可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),P(0,0,4),

D(0,0,2),E(0,2,2),M(0,0,1),N(1,2,0).

(1)DE=(0,2,0),DB=(2,0,-2).

设n=(x,y,z)为平面BDE的一个法向量,

(n•DE—0,

贝ljIn*DB=0,

(2y=0,

即.

2x~2z=0.

不妨设Z=l,可得n=(l,0,1).

又MN=(1,2,-1),可得MN•n=0.

因为MNQ平面BDE,所以MN〃平面BDE.

(2)易知m=(1,0,0)为平面CEM的一个法向量.设n2=(x„ybzj为平面EMN的一个法

,EM=0,

向量，则\n2-MN0.因为EM=(0,-2,-1),MN=(1,2,T),所以

_2y「Zi=0,

不妨设yi=l,可得4=(-4,1,-2).

+2y「Zi=0.

n•n4“05

因此有cos<nn>=±2

b2-------"二一"F=，于是sin〈m,n2>=---.

\nr\n2\V2121

所以平面CEM与平面EMN夹角的正弦值为色U.

21

1.如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在

线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为0,则cos0

的最大值为.

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,

设正方形的边长为2,则A(0,0,0),

F(2,l,0),E(l,0,0),设M(0,m,2)(0WmW2),

则AF=(2,1,0),ME=(l,-m,-2),

cos0=----,令t=2-m(OWtW2),

V5xV5+7n2

cos0=—X

V5

答案：2

5

2.如图所示的几何体中，平面ADNM,平面ABCD,四边形ABCD是菱形,ADNM是矩形,

71

ZDAB="AB=2,AM=1,E是A