普通物理学复习纲要(下)

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第十章振动与波动

第一部分振动

简谐振动的描述

1.简谐振动：物体运动时，离开平衡位置的位移(角位移)随时间按余弦(或正弦)

规律随时间变化：

x=Acos("+0)

则物体的运动为简谐振动

2.描述简谐振动的物理量

(1)周期和频率：完成一次全振动所需要的时间，称为周期(T)；单位时间里完成

全振动的次数称为频率

_In1co

T=——，v=—=——

coT2兀

(2)振幅：质点离开平衡位置的最大距离(4)。

(3)位相与初相：m+s称为简谐振动的位相，/称为初相。位相是描述物体振动状

态的物理量。

A周期和频率由振动系统的固有性质决定——固有周期和固有频率。例:

弹簧振子：7=2小」小后

A振幅和初相由初始条件决定。例：若山=。=%，则

3.简谐振动的表示

振动方程：x=Acos((af+(p)

振动曲线：x~/关系曲线

旋转矢量表示：

0M：以角速度o作匀速转动

P：作简谐振动：x=Acos(<yf+8)

图3

‘振幅:旋转矢量的模4

■圆频率漩转矢量的角速度y

位相:旋转矢量与OX轴的夹角&+(p

4.简谐振动的速度和加速度

速度：

v=-Aa>sin(a)f+(p)=Aa)cos(ca+(p+—)

加速度：

a=-Aa)2cos((zx+<p)=Aa)2cos(a)t+e+乃)

A简谐振动的速度和加速度也作同频率的简谐振动

△Vm=ACD，Clin—ACl)~

A速度位相比位移位相超前万/2,加速度位相比位移位相超前兀

简谐振动的动力学问题

1.简谐振动的判别

1)确定平衡位置；

2)以平衡位置为坐标原点建立坐标系：

3)求出振子离开平衡位置为x时的加速度或所受的合力，并判别是否满足:

a=一。一或F=-kx

2.几种常见的简谐振动

弹簧振子：T=2/rJzn/k

单摆：丁=2乃J77]

复摆：T=2周I/(mgh)

3.简谐振动的能量

22

Ek=—kAsin(67r+^)

122

Ep=—cos(cot+(p)

2

E=Ek+Ep=^kA

A谐振子的动能和势能都随时间而变化，振动过程中两者相互转换，但系统的总机

械能保持不变。谐振子系统是一个封闭保守系统。

三.简谐振动的合成

1.同频率同方向的简谐振动的合成

0X

图13

X]=Atcos（«y/+（pt）

x2=A2cos（由+夕?）

x=+x2=Acos（由+<p）

A={A；+&+24A2cosA（p

A（p=2k兀,A=A+A2

A（p=（2k+］）7r,A=|Aj-A,|

2.同方向不同频率的简谐振动的合成：形成拍

3.相互垂直的同频率的简谐振动的合成：椭圆

4.相互垂直的同频率的简谐振动的合成：李萨如图

*四.阻尼振动与受迫振动

1.阻尼振动：质点在振荡过程中因受阻力的作用而使能量不断损失，振幅不断减小

的振动。

1）欠阻尼（阻力较小）：质点在平衡位置附近来回振动，振幅随时间不断衰减，最

终停止振动。

2）过阻尼（阻力较大）：质点不再作来回振动，而是逐渐向平衡位置靠近，最后停

止在平衡位置。

3）临界阻尼（阻尼适中）：质点振动到平衡位置刚好停下来，以后不再振动。

2.受迫振动：振动系统在周期性驱动力的持续作用下产生的振动。

A稳定时，系统作简谐振动。

A系统稳定时的频率等于驱动力的频率。

A简谐振动的振幅驱动力的幅度和频率有关：当驱动力的频率与系统的固有频率相

等时，受迫振动振幅最大。这种现象称为共振。

第二部分波动

一.机械波的基本概念

1.机械波及其产生条件：

（1）机械波：机械振动在弹性介质中的传播，形成机械波。

（2）产生条件：1）波源；2）弹性介质

2.机械波中的两种运动：

质点振动：弹性介质中各质点只在平衡附近作振动。

波的传播：振动状态（振动位相）向前传播的过程。

3.机械波的分类：

1）横波与纵波

2）平面波与球面波

3）简谐波和非简谐波

重点研究：平面简谐波

描述机械波的几个物理量

1.波速c：单位时间里振动状态向前传播的距离。

2.波长4：在一个全振动周期内振动状态向前传播的距离。或波的传播方向上振动

位相差等于2施两质点的距离。

3.周期与频率

周期T：振动状态向前传播一个波长所需的时间。

频率1/：单位时间里振动状态向前传播的波数。

说明：

1）波的周期和频率决定于波源振动的周期和频率，与传播媒质无关；而波速和波长

与传播媒质有关。

2）波速、波长、周期（频率）三者间的关系

v

三.平面简谐波表达式

1.平面简谐波：1）波沿直线传播；2）传播方向上各点作同频率、同振幅（但不同

位相）的简谐振动。

2.平面简谐波的表达式

设：1）波速为c,沿y轴正（负）方向；2）原点0的振动方程：

y（）=Acos（fy/+<p）

则：波的表达式（任一位置坐标为y的质点的振动方程）为：

XxtX

y=Acos[tyQ+—）+^]=Acos[2万（vf+—）+（p]=Acos[2/（一+—）+（p]

c2TA.

3.波动表达式的物理意义

l）y不变，r可变：表示处在）'处的质点的振动方程：）=）C）,曲线为振动曲线。

2）/不变，y可变，表示f时刻各质点离开平衡位置的位移与质点的平衡位置坐的关

系：y-y（.x）,曲线为波形图。

3）y、，均可变：表示振动状态的传播。

四.波的能量与波的强度

1.波的能量密度

若y=Acos刃«——），则

/V中的能量：AW=pA2co2sin2a)(t--)dV

c

能量密度：vv=4^=pA2a)2sin2co(j--)

AVc

图19

平均能量密度：W=1p42d>2

2.波的能流密度(波的强度)

(1)平均能流：单位时间里通过某一截面

的平均能量，即

i=wcAS=gpA2a>2cAS

(2)平均能流密度：通过垂直于波的传播

方向的单位面积平均能流，即

j1

I=—=wv=—pA~co1c

AS2图14

五.波的干涉驻波

1.波的迭加原理

1)两列波在传播过程中相遇，在相遇区域内任一点的振动为两列波单独存在时在该

点所引起真的振动的迭加。

2)相遇后两列波仍然保持各自原有的特性继续向前传播，就好象在传播过程中不曾

相遇过。

2.波的干涉____________________

A=JA：+Al+2AlA2COSAcp

2万,、

△<P=(P2-<P\---(r-/-1)

A2

(2k兀,A=A+A

^p—\(2左+1)肛A=।|A~_儿|।

3.驻波

必40cos24(7--)

tx

为A)COS2^(-+-)

,2次2加

<V]+为=24cos---cos

A

Ay轴上各点作同频率的间谐振动。

A各点的振幅随坐标X而变化：

A=2Aoeos

°2

xk=(2^+1)1,A=0一波节

波动15

J

xk=2k-,A=24——波腹

Xk=xM-Xk=2/2

A若相邻波节之间为一段，则同一段中各点的振动位相相同，而相邻段振动的位相

相反

六•波的衍射、反射与折射

1.惠更斯原理：波阵面(波前)上的每一点都可视为发射子波的波源，在其后的任

一时刻，这些子波的包迹就是新的波阵面(波前)。

2.波的衍射

(1)波的衍射现象：波在传播过程中遇到障碍物时，能改变其传播方向而绕过障碍

物的现象。

(2)波的衍射现象的解释：各子波的叠加

(3)产生波的衍射的条件：小孔或障碍物的尺寸不比波长大得多。

3.波的反射与折射

(1)波的反射与折射现象：波传播到两种媒质的界面时，一列波被分成两部分，一

部分反射回来，形成反射波，另一部分进入另一种媒质，形成折射波，这种现象称为

波的反射与折射现象。

(2)反射定律与折射定律：

i=i'

<sinz_G

sinrc2

第十一章波动光学

第一部分光的干涉

相干光的获得光程差与明暗条件

1.相干光的获得：

1)分波阵面：同一列光波的同一波阵面的不同部分发出的两列子光波为相干光波。

2)分振幅：通过反射或折射的方法把同一列光波分成两列，这两列光波为相干光波。

2.光程：光通过某一媒质的光程等于光在相同时间里在真空中所传播的几何路程。

l=nx

3.光程差与明暗条件-------------------

------------------>

n

x

图5

2乃[±2k/r明

/8=，(/,—1)=4

/I21[±(2&+1)乃暗

±U明

6-—l--

t|±(k+l/2)A暗

A薄透镜不产生附加的光程差

杨氏双缝实验

1.条纹的形成：由两狭缝加和$2出来的两束相干光在观察屏上各点叠加的结果。

2.光程差：

cdx

o=——

D

3.明暗条件：

3='=］土观女级明

一方一1±（&+1/2）4A级暗(&=。，1,2,……)

±k-D&级明

d

a=o,1,2,……)

1夕

±a+-)-o颜暗

4.条纹的特点：以Po为中心，明暗相间，相互平行，等间距的条纹。Po为明条纹。

条纹间距：

Ax--D

d

三.薄膜干涉

（一）薄膜干涉（I）：入射光为平行光，薄膜厚度均匀

1.条纹的形成：由薄膜上、下表面反射的两束光八人叠加的结果。

2.光程差

S-2eq一〃:sin。i+5'

A半波损失

—%/<&或〃]<%%

2

0n{>n2>%或〃[<n2<n3

A透射光(优、力)的光程差

&透=涯+-1

图9

3.明暗条件

±U明

2

6—一九；sini+>==<土伏+引

暗

（二）薄膜干涉（II）等厚干涉：入射光为平行光，薄膜厚度不均匀

1.条纹的形成：由薄膜上、下表面反射的两束光。、匕在波膜表面叠加的结果。

2.光程差

6«2e-yjnl-nfsin2i+S'

垂直入射：

6«2%e+b'

3.明暗条件：（〃|>%V〃3或〃]<%>〃3）

U明

8—2ne+2/2=<\

2仅+今/1暗

（k—）%级明

22%

e={

kqk级端

12%

4.条纹形状：e相同地方的轨迹。

（1）劈尖：相互平行，等间距的直条纹：

伙」1）‘2一颜明

e22n,0

3k-^-檄暗

〔2n20

/x=—C—（条纹间距）

2n20

图40

（三）薄膜干涉（III）——等倾干涉：入射光来自扩展光源，薄膜厚度均匀（略）

五.干涉仪干涉现象的应用

1.迈克尔逊干涉仪

条纹的形成：由两平面镜反射的两叠加的结果。

明暗条件：

。一颜明

8=2d=〈

伏+1/2）2旗暗

2.干涉现象的应用

1）精确测量：

2）检查光学表面的光洁度

第二部分光的衍射

惠更斯-菲涅耳原理光的衍射的实质

1.惠更斯-菲涅耳原理：波传播到各点，都可以视为发射子波的波源。从同一波阵面

上各点发出的各子波，经传播而在空间各点相遇时，可相互迭加而产生干涉现象。

2.光的衍射的实质：波阵面上各点发出的子波在相遇点的迭加。

单缝夫琅和费衍射

图15

1.条纹的形成：任意P的明暗情况决定于由狭缝上各点发出的沿OP方向传播的平

行光经透镜L2后在P点迭加的结果。

2.明暗条件：

±U&级暗纹

asin0=-0零级明纹(々=1,2,3……)

±(%+1/2)24级明纹

。不大时，x=/2tan^»/,sin0,明暗条件可写成：

±k-f2%级暗纹

x=，00零级明纹(4=1,2,3……)

12

±()1+-)-/,k级明纹

,2a

3.衍射图样的特点：

1)衍射图样为以Po为对称，相互平行、明暗相间的条纹。各级明纹亮度不一，级数

越大，亮度越小。

2)零级明条纹的宽度是其它级明条纹宽度的两倍：

』x°=2—力，Ax=-f(k^0)

aak2

3)零级明纹中心的位置取决于L2的位置。

三.圆孔夫琅和费衍射光学仪器的分辨率

1.圆孔夫琅和费衍射图样：中心明斑（爱

利斑），两边明喑相间的同心圆。爱利斑

半张角：

e=1.22—=0.61—

xDR

r,=M=1.22-/=0.61-/

L）2K2

2.光学仪器的分辨本领

（1）几何光学与波动光学：

N也f波动光学:形成衍射图样

成像系统：\.

［几何光学:形成象5

时，衍射图样一点，

波动光学.几何光学。

（2）光学仪器的分辨本领：

最小分辨角：OR=1.22-^

分辨率：M=1包

图18

四.衍射光栅

E

图2()

1.条