高中数学必修第一册1.1.1集合及其表示方法

1.1集合

1.1.1集合及其表示方法

最新课（1）通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系.

程标准（2）针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础上，用符号语言刻画集合.

新知初探・自主学习——突出基础性

知识点一集合的概念

在数学中，我们经常用“集合”来对所研究的对象进行分类.把一些能够确定的、不同

的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合（有时简称为集），组成集合的

每个对象都是这个集合的元素.

知识点二元素与集合的表示及关系

1.元素与集合的符号表示

表示［元素：通常用小写拉丁字母—表示.

I集合：通常用大写拉丁字母表示.

2.元素与集合的关系

关系语言描述记法示例

a是集合

a属于集合A若A表示由“世界四大

A中的元素—

洋”组成的集合，则太平

a不是集合

a不属于集合A洋GA,长江4A

A中的元素—

状元随笔对元素和集合之间关系的两点说明

1.符号“e”“阵”刻画的是元素与集合之间的关系.对于一个元素a与一个集合A而

言，只有“a《A”与“a&A”这两种结果.

2.e和庄具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如Reo是错误的.

3.集合中元素的特征

特征含义

集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何元素在不在这个集合里是确定

确定性

的.它是判断一组对象是否构成集合的标准

给定一个集合，其中任何两个元素都是不同的，也就是说，在同一个集合中，同

互异性

一个元素不能重复出现

无序性集合中的元素无先后顺序之分

4.空集

一般地，我们把不含任何元素的集合称为空集，记作。.

5.几种常见的数集及其记法

全体非负整数组成的集合称为非负整数集（或自然数集），记作N；

全体正整数组成的集合称为正整数集，记作N*或N+；

全体整数组成的集合称为整数集，记作Z；

全体有理数组成的集合称为有理数集，记作Q；

全体实数组成的集合称为实数集，记作R

6.集合的分类

集合可以根据它含有的元素个数分为两类：含有有限个元素的集合称为有限集，含有无

限个元素的集合称为无限集.空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集.

知识点三集合的表示

1.列举法

把集合中的元素_______出来(相邻元素之间用逗号分隔)，并用大括号“{}”括起

来表示集合的方法叫做.

2.描述法

一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x),而不属于集合A的元素都

不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.此时，集合A可以用它的特征性

质p(x)表示为{x/(x)}.

这种表示集合的方法，称为特征性质描述法，简称为描述法.

状元随笔

1.列举法表示集合时的4个关注点

(1)元素与元素之间必须用“，”隔开.

(2)集合中的元素必须是明确的.

(3)集合中的元素不能重复.

(4)集合中的元素可以是任何事物.

2.描述法表示集合时的3个关注点

(1)写清楚集合中元素的符号，如数或点等；

(2)说明该集合中元素的共同特征，如方程、不等式、函数式或几何图形等；

(3)不能出现未被说明的字母.

知识点四区间及其表示

I.区间的几何表示

定义名称符号数轴表示

-J___

闭区间[afb]abx

-4——U

{x\a<x<b]开区间(。，b)&hx

-J——u

半开半闭区间[a,b)«bX

{x\a<x^：b]半开半闭区间b\-4〃——bX

2.实数集R的区间表示

实数集R可以用区间表示为,“8”读作“无穷大”；“一8”读作“负

无穷大”；“+8”读作“正无穷大”.

3.无穷大的几何表示

定义符号数轴表示

{小2〃}[a,+0°)Ja_____x.

{小>。}(〃，

+0°)Ja,___x.

(—8,b]-----1_，

bx

{x\x<b}(—8,b)X*

状元随笔关于无穷大的2点说明

(1)“8”是一个符号，而不是一个数.

(2)以“一8”或“+8”为端点时，区间这一端必须是小括号.

基础自测

1.下列能构成集合的是()

A.中央电视台著名节目主持人

B.我市跑得快的汽车

C.上海市所有的中学生

D.香港的高楼

2.集合{x£N*|x—3<2}的另一种表示法是()

A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4)

C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5}

3.若ie{4，a+\,a2},则“的值是()

A.OB.1

C.-ID.0或1或一1

4.用区间表示下列集合：

(l){x|-|<x<5)=:

(2){x|x<l或2<xW3)=.

课堂探究•素养提升——强化创新性

题型1集合的概念［经典例题J

例1下列对象能构成集合的是()

构成集合的元素具有确定性.A.高一年级全体较胖的学生

B.sin30°,sin45°,cos60°,1

C.全体很大的自然数

D.平面内到△ABC三个顶点距离相等的所有点

方.')3他

判断一组对象组成集合的依据

判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对

象，都能确定它是不是给定集合的元素.

跟踪训练1下列各项中，不可以组成集合的是()

A.所有的正数

B.等于2的数

C中元素不确定.C.接近于0的数

D.不等于0的偶数

题型2元素与集合的关系［经典例题］

例2(1)下列关系中，正确的有()

©^GR；②迎4；③|-3|GN；@|-V3|GQ.

A.1个B.2个

C.3个D.4个

(2)满足“aWA且4—“EA,adN且4—“CN”，有且只有2个元素的集合A的个数是

()

A.OB.1

C.2D.3

a分类处理：

①a=0,a=l>a=2；

②a=3,a=4

还讨论吗？

方法招他

判断元素和集合关系的两种方法

(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即

可.此时应首先明确集合是由哪些元素构成的.

(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素

是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即

该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件.

跟踪训练2下列说法正确的是()

N自然数集；Z整数集；Q有理数集；R实数集.

A.0枷B.V2GQ

C.演RD.V4SZ

题型3集合的表示[教材P7例题1]

找准元素，列举法是把元素一一列举.描述法注意元素的共同特征.

例3用适当的方法表示下列集合：

(1)方程Mx-D=O的所有解组成的集合A；

(2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成的集合B.

【解析】(1)因为。和1是方程x(x—1)=0的解，而且这个方程只有两个解，所以4=

{011}.

(2)因为集合8的特征性质是横坐标与纵坐标都大于零，因此

B={(x,y)|x>0,y>0}.

散材反思

本例题用列举法和描述法表示集合，关键是找准元素的特点，有限个元素一一列举，无

限个元素的可以用描述法来表示集合，需要用一种适当方法表示.何谓“适当方法”，这就

需要我们首先要准确把握列举法和描述法的优缺点，其次要弄清相应集合到底含有哪些元

素.要弄清集合含有哪些元素，这就需要对集合进行等价转化.转化时应根据具体情景选择

相应方法，如涉及方程组的解集，则应先解方程组.将集合的三种语言相互转化也有利于我

们弄清楚集合中的元素.

跟踪训练3用适当的方法表示下列集合：

⑴方程组2：_3＜丝，的解集；

I3x+2y=8

(2)由所有小于13的既是奇数又是素数的自然数组成的集合;

(3)方程x2-2x+1=0的实数根组成的集合；

(4)二次函数y=N+2x-10的图像上所有的点组成的集合.

易错点忽略集合中元素的互异性出错

例含有三个元素的集合{a,g,1},也可表示为集合{标，a+b,0},求a,。的值.

【错解】：［，2，1j—{a2,a~\~b,0},

a+-+l=a2+(a+b)+0,

a--•1=a2•(a+b)-0,

la

解得卜=1，或卜=-L

(b=0(b=0.

【正解】V{a,l}={a2,a+b,0),

(b

a+-+l=a24-(a4-b)4-0,

a---1=a2•(a+b)-0,

la

解得卜=1，或卜=_1,

(b=0(b=0.

由集合中元素的互异性，得。WL

-1,b=0.

【易错警示】

错误原因纠错心得

错解忽略了集合中元素的互异性，当。含有参数的集合问题，涉及的内容多为元素与集合

=1时，在一个集合中出现了两个相同的关系、集合相等，解题时需要根据集合中元素的

的元素.互异性对参数的取值进行分类讨论.

第一章集合与常用逻辑用语

1.1集合

1.1.1集合及其表示方法

新知初探咱主学习

知识点二

1.a,b,Cf…A,B,C,

2.a^Aa^A

知识点三

1.一一列举列举法

知识点四

2.(-8,H-OO)

[基础自测]

1.解析：A,B,D中研究的对象不确定，因此不能构成集合.

答案：C

2.解析：,•,x—3<2,x£N*,

.,.x<5,x£N*,

Ax=l,2,3,4.故选B.

答案：B

3.解析：由已知条件1£｛。，a+1,层｝知有三种情况，若。=1,则。+1=2,a2=l.

则。=/=1,与集合元素的互异性相矛盾，破aWl.

若。+1=1,即。=0,则居=0.与集合元素的互异性相矛盾，故〃N0.

若/=1,即。=±],当4=—1时，符合题意.综上知4=-1.

答案：c

4.解析：(1)注意到包括不包括区间的端点与不等式含不含等号对应，则｛x|一：Wx<5｝=

[~|­5).

(2)注意到集合中的“或”对应区间中的“U”，贝必小<1或2<XW3｝=(-8,I)U(2,3],

答案：5)(2)(—8,l)u(2,3]

课堂探究•素养提升

例1【解析】由于较胖与很大没有一个确定的标准，因此A,C不能构成集合；B

中由于sin30。=8$60。不满足互异性；D满足集合的三要素，因此选D.

【答案】D

跟踪训练1解析：由于接近于0的数没有一个确定的标准，因此C中的对象不能构成

集合.故选C.

答案：c

例2【解析】⑴装实数，企是无理数，|一3|=3是非负整数，|一声|=8是无理数.因

此，①②③正确，④错误.

(2)；aWA且4-“WA,aCN且4一.eN,若a=0,则4一4=4,此时A={0,4}满足

要求；