高中数学-生活中的变量关系教学设计学情分析教材分析课后反思

《生活中的变量关系》教学设计

数学组

【教材分析】

《生活中的变量关系》一节是北师大版必修一第二章第一节的教学内容，函数是中

学数学的核心内容，生活中的变量关系是函数一章的开篇课，为函数的学习提供必要的知

识铺垫.通过本节的学习，学生将明析依赖关系与函数关系的区别和联系，体会生活与数学

的密切联系,掌握研究方法激发学生学习数学的兴趣。

【教学目标与核心素养】

一、教学目标

L知识与能力：

（1）通过实例，了解生活中的变量关系，体会变量和变量之间的相互关系。

（2）知道两变量之间有相互依赖关系不一定就是函数关系；

（3）学会判断两变量之间是否具有函数关系，并结合实际生活培养学生的思考和

数学建模能力。

2.过程与方法：

（1）从实践生活中发现变量之间存在关系的过程，感知函数的实际意义，发展符

号感。

（2）注意收集归纳生活中变量之间的关系。

3.情感态度与价值观：培养学生广泛联想的能力；从生活的实例让学生贴近生

活，热爱生活；数学与生活结合，从源头上让学生更加热爱数学，培养学生善于发

现的责任心，提高学习的积极性。

二.核心素养

1.数学抽象：初中时函数概念的理解

2.逻辑推理：借助初中所学的变量之间的关系，分析生活中变量的关系，将函

数运用于实际生活中，更能体现数学知识无处不在

3.数学运算：根据变量之间的关系，列出相应函数关系式，从而解决实际问题

4.直观想象：通过有些函数图像的画法，了解函数关系是如何体现。

5.数学建模:利用函数变量的关系，对于生活中，牵扯到有关变量的实际问题，

我们都可以构建数学模型，更好的解决一些问题。

【教学重点】两个变量的依赖关系和函数关系

【教学难点】通过观察数据和图像，能够辨析依赖关系和函数关系的区别和联系。

【教学方法】教师启发引导与学生自主探索相结合.

【教学手段】投影和计算机辅助教学.

［教学凌程】，

生活经验,—考察J数学概念・

概括。

生活中的变化实例；一

依赖关系的概念”

通过实验探讨两个变量函数关系的概念，

之间的依赖关系“

列举现实问题，考察应通过函数关系分析变化

用及现实意义。并学会思考。

【教学过程】

一、创设情境，体会变量的多样性和复杂性，并能发现变量与变量之间的关系。

1.展示生活实例1：警察破案，通过视频观看发现，这位警察是怎样通过一个

脚印判断出凶手来的？

2.展示生活实例2：从人类进化史、社会发展实例、以及个人成长的图片中，

通过体会事物的变化，你能得出什么结论呢？

设计意图通过电影片段和图片展示，从学生感兴趣的生活实例引入，激发学生

的听课热情，让学生体会学习变量的复杂和多样性，并能发现生活中变量之间的依赖关

系.

二、归纳共性，形成依赖关系的概念

从事物发展变化的角度看，能够发现以上图片的共同点吗？

事物会随时间的变化而变化，从数学角度上讲，可以解释为一个变量随着另一个变

量的变化而变化，从而我们发现这两个变量之间具有依赖关系。

设计意图有了前面的基础，此时学生能够概括上述生活体脸的共性.在提问时明

确思考的角度，避免不必要的发散.从而引出课题，明确本节课的学习目标。

三、深入情境，形成函数关系的概念

老师和学生一块动手操作，请同学们认真观察往水杯中注水时水量的变化。

问题：水量的变化是怎样体现出来的？

水量的变化会引起很多量的变化，那我们就来研究一下水量V、水的高度h以及水面宽

度W这三个变量之间的依赖关系。

问题一：探究水量V和水的高度h之间的依赖关系

问题二：探究水量V和水面宽度W之间的依赖关系

实验二

关系一：当水面宽度W给定后，水量V不一定能够被唯一确定。

关系二：当水量V给定后，水面宽度W能够被唯一确定。

那从上述结论中，我们发现关系二中，任意给定一个变量的值，另一个变量都有唯一确

定的值与之对应，那我们就称这两个变量之间满足函数关系。

接下来，为了更好的理解函数关系，设计以下判断题：

在上面的实验二中，如果我们从初中学过的函数角度看，以下有依赖关系的两个变量中,

是函数关系的有哪些？

A.水M：v是水面高度h的函数

B.水量v是水面宽度w的函数

C.水而宽度w是水的函数

D.水面高度h是水面宽度w的函数

答案：AC

设计意图通过实验带给学生更加直观的视觉享受，从而不仅体验了生活还能从生

活中挖掘一些变量之间的一些规律，传递给学生学习数学的积极态度.激发学生对生活

经验的反思和探究，从而发现并学会判断依赖关系中的一种特殊关系--函数关系。

四、强化概念，形成学生的建模思维

通过一个例题讲解和习题练习，加深对函数关系的强化，将生活中的现实用函数的

思想来构建，从而研究这个变化背后所隐藏的现实意义。

例：(1)某护士从上午8：00到下午2：00每小时量一次病人的体温，并记录成表

格。在这里设置了一个问题：

请分析有哪些变量？这些变量之间是否存在依赖关系？如果存在，其中一个变量是

否是另一个变量的函数？

随后根据这个变量之间的变化规律，假想一下如果自己是那个病人，会有什么感想

呢？

为了更加贴近生活，我设计了一个纯文字型生活实例，让学生来感受变化，这个地

方不用任何数据导入，直接让学生模拟生活，结合化学角度来观察现象。这个地方充分

体现了学科与学科之间也是相通的。

练习：在一定温度下，往一定量的水中加入蔗糖至饱和态，在这个过程中，糖水的

浓度与所加蔗糖的质量之间存在依赖关系吗？若存在，请找一下其中的函数关系。

设计意图与实例中的表格区别开，设计了一个纯文字型生活实例，让学生来感受

变化，这个地方不用任何数据导入，直接让学生模拟生活，这里结合化学的角度来解决

问题，体现学科之间的共通性。

五、层层深入，形成学生的应用和责任意识

疫情下的思考：

累

计

确

诊

Time

（1）请同学们利用本节课学习的知识来解释一下曲线的变化规律。

（2）对其所产生的现实意义谈谈你的看法。

设计意图结合现在最热门的话题，新冠肺炎中美发展情况，针对不同体制下的两

个国家之间疫情情况的对比，以曲线形式呈现，从图像中去发现函数关系。来让学

生从分析实际情况的变化中来发现作为中国人民的骄傲和幸福感，体会在党的正确

领导下，中国人民团结一心，众志成城，体会中国的强大，作为中国少年，少年强

则国强，充分体现学习的重要性，增强学习的热情和家国责任感。

六、课堂小结

通过本节课的学习，你学到了什么呢？

设计意图通过让学生归纳小结，培养学生的逻辑思维能力和归纳概括能力

七、课后作业

1,利用本节课的知识对视频中的警察是如何通过脚印判断出凶手的外形特征做

一个解释。（可查阅相关资料）

2,尝试利用糖水的浓度与所加蔗糖的质量之间的函数关系以及其变化规律模拟

出函数图像.

设计意图让学生体会数学与生活的密切联系，即数学来源于生活，又应用于

生活，激发学生学习数学的兴趣与积极性，突显三维教学目标。

学情分析

从学生知识储备和经验储备来看，学生已经学习了函数的定义，

对于函数当中自变量X和因变量y之间的关系是有所了解的，能够准

确的把握因变量y的唯一确定性从来想到函数关系的唯一确定性，继

而再分析，从生活中分析两个变量之间依赖关系，从依赖关系当中抽

象出函数关系，有利于他们更好的理解函数关系，有利于他们更好的

从生活当中来挖掘函数关系。

学生已经学会初步学会用数学知识来解决实际问题的能力，已经

初步形成数学问题进行合作探究的意识和能力。

教学分析：创设问题情景，引出问题实际操作，类比生活中的数

学问题，激发学生的求知欲，小组合作探究师生共同交流。

效果分析

一开始通过电影片段和图片展示，从学生感兴趣的生活实例引入,

激发学生的听课热情，让学生体会学习变量的复杂和多样性，并能发

现生活中变量之间的依赖关系.学生听课效果很好，比较有兴趣，有

了前面的基础，此时学生能够概括上述生活体验的共性.在提问时明

确思考的角度，避免不必要的发散.从而引出课题，明确本节课的学

习目标。

通过实验带给学生更加直观的视觉享受，从而不仅体验了生活还

能从生活中挖掘一些变量之间的一些规律，传递给学生学习数学的积

极态度.激发学生对生活经验的反思和探究，从而发现并学会判断依

赖关系中的一种特殊关系一-函数关系。

结合现在最热门的话题，新冠肺炎中美发展情况，针对不同体制

下的两个国家之间疫情情况的对比，以曲线形式呈现，从图像中去发

现函数关系。来让学生从分析实际情况的变化中来发现作为中国人民

的骄傲和幸福感，体会在党的正确领导下，中国人民团结一心，众志

成城，体会中国的强大，作为中国少年，少年强则国强，充分体现学

习的重要性，增强学习的热情和家国责任感。

学生评价上：本节课从操作能力、概括能力、学习兴趣、情绪情

感方面对学习效果进行过程评价。对出现问题的学生，能够及时指出

其可取之处并耐心引导，培养学生勇于面对挫折，持之以恒地探索精

神；当学生做得精彩有创新，教师给予学生充分的鼓励，因此本节课

学生在学习过程中兴趣浓厚，学得积极主动，课堂气氛相对活跃。

教师评价：整个教学环节体现了学生为主体的教学理念，由学生

发现问题、学生互相交流学习、学生设计问题、学生自主解决问题,

为数学建模课起到了示范引领的作用。

教材分析

《生活中的变量关系》一节是北师大版必修一第二章第一节的教

学内容，函数是中学数学的核心内容,生活中的变量关系是函数一章

的开篇课,为函数的学习提供必要的知识铺垫.通过本节的学习，学生

将明析依赖关系与函数关系的区别和联系，体会生活与数学的密切联

系,掌握研究方法激发学生学习数学的兴趣。

教学目标：通过生活实例研究变量关系，明析依赖关系与函数关

系的区别和联系，合作交流，归纳探知生活中的变量关系。

教学重点：依赖关系与函数关系的区别和联系，生活实例的变量

关系研究。

教学难点：合作交流，归纳探知生活中的变量关系，函数关系中

的自变量与因变量。

课堂分层测试题

（建议用时：40分钟）

[4组基础巩固练]

一'选择题

i.下列变量间的关系是函数关系的是（）

A.匀速航行的轮船在2小时内航行的路程

B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系

C.正方形的面积S与其边长。之间的关系

D.光照时间和苹果的亩产量

C[A是常量，B是依赖关系，C是函数关系，D是依赖关系.]

2.下图是反映某市某一天的温度随时间变化情况的图象.由图象可知，下

列说法中错误的是（）

A.这天15时的温度最高

B.这天3时的温度最低

C.这天的最高温度与最低温度相差13℃

D.这天21时的温度是30℃

C[这天的最高温度与最低温度相差为36—22=14°C,故C错.]

3.已知变量x,y满足y=|x|,则下列说法错误的是（）

A.x,y之间有依赖关系

B.x,y之间有函数关系

C.y是x的函数

D.x是y的函数

D[当）取一个正值时，有两个x与它对应，故D错.]

4.谚语“瑞雪兆丰年”说明（）

A.下雪与来年的丰收具有依赖关系

B.下雪与来年的丰收具有函数关系

C.下雪是丰收的函数

D.丰收是下雪的函数

A[下雪与来年的丰收具有依赖关系，但不是函数关系.]

5.一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时

的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，晚上体温渐渐下降直到半夜亮

亮才感觉身上不那么发烫了.下列各图中能基本上反映出亮亮这一天（0时〜24

时）体温的变化情况的是（）

CD

C[从亮亮的体温变化，可以看出图象应为：早晨37°C以上不二37°C（中

午）总37℃以上占37℃（半夜），结合图象知，只有C项符合.]

r千吃上

二'填空题

6.当圆柱底面半径变化时，圆柱的体积也随之发生变化，在这个变化过程

中，是自变量，是因变量.

［答案］圆柱底面半径圆柱的体积.

7.自变量光与因变量y之间的关系如下表:

X01234•・・

y02468・・・

(1)写出尤与y的关系式：

(2)当x=2.5时，y=.

［答案］(l)y=2x(2)5

8.假定甲、乙两人在一次百米赛跑中，路程与时间的关系如图所示，那么

可以知道：

(1)甲、乙两人中先到达终点的是

(2)乙在这次赛跑中的速度为m/s.

⑴甲(2)8［设甲、乙的速度分别为。2，

「10025100

贝】硒=~^=了(01人)，02=Yy^=8(m/s),

三'解答题

9.如图所示为某市一天24小时内的气温变化图.

(1)上午8时的气温是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？

(2)大约在什么时刻，气温为0°C?

(3)大约在什么时刻内，气温在0C以上？两个变量有什么特点，它们具有

怎样的对应关系？

［解］(1)上午8时气温是0°C,全天最高气温大约是9°C,在14时达到，

全天最低气温大约是一2°C,在4时达到.

(2)大约在0时8时和22时，气温为0℃.

(3)在8时到22时之间，气温在0℃以上，变量0W/W24,变量一2W0W9,

由于图象是连续的，可知它们之间具有随着时间的增加，气温先降再升再降的变

化趋势，所以6与，具有依赖关系，也具有函数关系.

10.如图的曲线表示一人骑自行车离家的距离s(千米)与时间f(时)的关系.骑

车者9时离开家，15时回家.根据这个曲线图，请你回答下列问题：

(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？

(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？

⑶第一次休息时，离家多远？

(4)11：00到12：00他骑了多少千米？

(5)他在9：00—10：00和10：00-10：30的平均速度分别是多少?

(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？

［解］(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米.

(2)10:30开始第一次休息,休息了半小时.

(3)第一次休息时，离家17千米.

(4)11:00至12:00,他骑了13千米.

(5)9:00—10:00的平均速度是10千米/时；

10:00—10:30的平均速度是14千米/时.

(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐.

［B组素养提升练］

11.国内快递1000g以内的包裹的邮资标准如表：

运送距离x（km）0<x^500500<xW10001000<xW1500・・・

邮资y（元）5.006.007.00・・・

如果某人在西安要邮寄800g的包裹到距西安1200km的某地，那么他应付

的邮资是（）

A.5.00元B.6.00元

C.7.00元D.无法确定

C[V800g<l000g,，适用表格给出的邮资标准.

VI000<1200<1500,.•.应付邮资7.00元.]

12.星期天，小明从家出发，出去散步，下图中描述了他散步过程中离家的

距离s（m）与散步所用的时间/（min）之间的函数关系，根据图象，下面的描述符合

小明散步情况的是（）

A.从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报，就回家了

B.从家出发，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了一段,

然后回家了

C.从家出发，散了一会儿步（没有停留），然后回家了

D.从家出发，散了一会儿步，就找同学去了，18min后才回家

B[水平线段表明小明离家的距离始终是300米，然后离家距离达到500

米，说明小明从家出发后，到一个公共阅报栏，看了一会儿报后，继续向前走了

一段，然后回家了.]

13.向高为"的水瓶中注水，注满为止.如果注水量V与水深力的函数关

系的图象如图①所示，那么水瓶的形状是图②中的（）

ABCD

图②

B［通过图象反映的两个变量/?与V的变化情况知，注水量随高度的变化

是先快后慢，再结合选项中四个容器的形状来判断，只有B符合要求.］

14.现有含盐7%的食盐水200克，生产需要含盐在5%以上且6%以下的食

盐水，设需要加入含盐4%的食盐水尤克，则x的范围是.

_0.07X200+0.04%

(100,400)［由L题段得0.05V-------200+1------<0.06,解得100VxV400.］

［C组思维提升练］

15.向平静的湖面投一块石子，便会形成以落水点为圆心的一系列同心圆.

(1)在这个变化过程中，有哪些变量？

(2)若圆的面积用S表示，半径用火表示，则S和R的关系是什么？它们是

常量还是变量？

(3)若圆的周长用C表示，半径用R表示，则。与火的关系式是什么？

［解］(1)形成的一系列同心圆的半径、周长、面积都是变量.

(2)圆的面积S与半径R存在依赖关系，

对于半径R的每一个取值，都有唯一的面积S与之对应，

所以圆的面积S是半径R的函数，其函数关系式是5=兀7?2.圆的面积s、半

径R都是变量.

(3)C=2兀R.

课后反思

1,这节课首先从一个电影片段开始，让学生深刻理解变量的多

样性以及变量之间可以相互依赖，从而与这节课的重点一一变量之间

的依赖关系相呼应，然后通过图片，表格数据，以及图像，让学生不

自觉的走进我所创设的情境之中。这种低起点，小步子会使的后面的

学习内容变的顺理成章，学生学得轻松、愉悦、充满信心，真正成了

“全民数学二

2,这节课通过图像以及实验入手设计现实情境，学生答案众多，

学生发言有欲罢不能之势。极大地开发了学生的思维，培养了学生用

数学