方程与方程组课件

O

O

O

【解析】其实这就是三组等式，我们可以把大圈里面的小圈当+i,外面的小圈当-1咱

们这次先看横行吧，第一行(+1)+(+1)=+2,第二行(+1)+(-3)=-2,所以最

立足中考，剖析统考，明确方向.

9

A要求B要求C要求

知道方程是刻画数量关系的一个问题中的数量关系,能运用方程笋决有

磔，数学模型关问题y

中考

要求了解方程的解的概念会用观察、画图等手段估计方程的

解；

了解一元一次方程的有关概念会根据具体问题列出一元一次方

程；

理解一元一次方程解法中的各个能熟练掌握一元一次方程的解法；会运用一元一次方

步骤会求含有字母系数（无需讨论）的程解决简单的实际

一元一次方程的解问题

了解二元一次方程（组）的有关概能根据具体问题列出二元一次方程

念（组）

知道代入消元法和加减消元法的掌握代入消元法和加减消元法；能会运用二元一次方

意义选择适当的方法解二元一次方程组程组解决简单的实

际问题

例题

例1例2、例3、例4、例5例6、例7

分配

1.题量和难度达到中考要求；

期末2.理解并能熟练运用一元一次方程、二元一次方程（组）的相关概念,构造一次方程（组）

要求解决相关类型试题，略高于中考要求；

3.能熟练构造一次方程（组）解决实际问题，高于中考要求.

做题之前清点解题方法与技巧，就如同上战场之前清点武器一样重要！b

一、等式'等式性质

等式：表示相等关系的式子.

等式性质：

1.等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），字母表示：若a=b,贝!la土c=土c

结果仍相等；

2.等式两边乘以同一个数（或除以同一个不为0字母表示：若a=b,则=

的数），结果仍相等；若a=b,且cwO,贝［|q=2

cC

3.等式具有对称性；字母表示：若a=b,则〃=a

4.等式具有传递性.字母表示：若a=b,b=c9贝！|a=c

二'方程、方程的解、解方程

方程：含有未知数的等式.

方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值.

解方程：求方程的解的过程.

三、一元一次方程

标准形式：办+〃=0（a,b为常数，且awO）

一元一次方程：只含有一个未知数一般形式：ax=b（a,Z?为常数，且awO）

（元），且含未知数项的次数都是满足条件：

1的方程.［一元一次方程是整式方程；

整理后，最简方程中只含有一个未知数,未知数的次数是」

含未知数的项系数不为0.

解一元一次方程的一般步骤：

（1）去分母；⑵去括号；⑶移项；

（4）合并同类项；⑸系数化为1.

四、二元一次方程（组）

一般形式:ax+by=c(«>b、c为常数，且awO,

6*0)

二元一次方程：含有两个未知数,且含未知数项［方程两边都是整式一是整式方程

的次数是1的方程.满足条件,含有两个未知数一“二元”

含未知数项的次数为1—“一次”

二元一次方程的解:使二元一次方程左右两边相等①每一个解都是一对数值，而不是一个数值；

的两个未知数的值.②任何一个二元一次方程都有无数个解.

[ax+by=q

一般形式:xx

二元一次方程组:把具有相同未知数的两个二元一

[a2x+b2y=c2

次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.［只含有两个不同的未知数

满足条件＜方程的个数可以超过两个

方程可以是一次方程

①解是一组数对；

二元一次方程组的解：方程组中各个方程的公共

②解满足方程组各个方程，反过来不一定正确；

解_.

③一般只讨论唯一解的情形.

冶一注［代入消元法

二（三）元一次方程的基本解法一一消元法.消兀法、止一」

L［加减4消兀法

二元消元一二元一舞一—元

一转化

五、一次方程（组）的应用

列一次方程（组）解决实际问题的一般步骤；

审：分析题意，弄清题目中的相等数量关系:

设：用字母（如X）表示题目中的未知数；

列：根据相等关系列出所需代数式,从而列出方程（组）；

解：解所列出的方程（组），求出未知数的值；

答：检验所求出的解是否符合题意，写出答案.

一次方程（组）的应用中，与生活、经济等相关的创新型问题一般有:

1.图画、图表信息题；

2.经典背景应用题；

3.生活应用问题；

4.优化选择；

5.方案选择.

题目虽小，陷阱重重，易晕易错，深埋其中.

卜挑战陷阱题

4.3

【例1】考点突破——方程、方程组的解

(1)下列说法不正确的是()

A.3x-2x=5.t是方程B.x=0是方程

C.2x-3y=l是方程D.兀=3.14是方程

考点突破——等式、等式性质及应用

(2)下列语句

①含有未知数的代数式叫方程；

②方程中的未知数只有用方程的解去代替它时，该方程所表示的等式才成立；

③等式的两边都除以同一个不为。的数，所得结果仍是等式；

④x=l是方程⑴-l=x+l的解.

2

其中错误的个数为()

A.4B.3C.2D.1

考点突破——一元一次方程的定义

⑶下列方程中，一元一次方程有()

①3x+2y=1；②机-3=6；®—XH—=0.5；0%2+1=2；@—z—6=5z；®-------=4.

2332

A.1个B.2个C.3个D.4个

考点突破——二元一次方程(组)及解法

⑷二元一次方程2x-y=3的解是()

A.任何一个有理数对B.无穷多个数对，但不是任何一个有理数对

C.仅有一个有理数对D.有限个有理数对

⑸下列方程组中，是二元一次方程组的是()

'2,

Six+-=l

\2x=y-\v

AJB.'

15x-4z=81

1—+5y=3

c2y=15口[x-y+xy=3

'12y-x=3(x+2y)'[5x-2y=4

考点突破——同解方程

(6)已知方程-x-2=0，则下列方程和它同解的方程是()

A.x+2=0B.x=2

C.x-2=0D.0-(x+2)=0x0

【解析】⑴C；(2)C；(3)D；(4)B；(5)C；(6)A

【例2】解方程组

2x+3y[

------------1=y

3x+2y=1041995x+1997y=5989

(1)⑵(3)

x+2y=61997x+1995y=5987

—xI—y二4A

[32

9

x=2._.x=一X=1

【解析】⑴⑵]2

y=2.y=2

J=5

教师备选1(2010海淀复习)主土Z_i;工1—

245

Q

【解析】%=--

28

\方法技巧麻f以不变应万变，寻找题目灵魂.1

向讲技巧：利用方程思想构造一次方程(组)解题]

某些问题从形式上看似乎与一次方程(组)无关，但是仔细观察其特点，可利用方程思想

构造一次方程(组)求解，从而打开解题之门.

【例3】(1)当机=时，代数式3机+10的值与2加-5的值互为相反数.

⑵单项式-3y2与0$孙-"是同类项，则m=n=.

(3)当工=时，代数式5x-3与2x+7的差是4.

(4)已知仄b满足|。+3|+(2-6)2=0，则(a+b)*.

14

【解析】(1)-1；(2)m=2,n=-2；(3)—；(4)-1

3

【点评】⑴两数互为相反数，则两数和等于0,据此列出一元一次方程；

⑵据同类项的定义，构造一元一次方程；

(3)据和、差、倍、分关系列出一元一次方程；

(4)据非负数的和为0构造一元一次方程.

【例4】⑴方程2x-3=3与方程1-3U=0有相同的解，贝!k的值等于().

A.-B.2C.1D.0

3

(2)已知方程组["+5>=15(1),由于甲看错了方程⑴中的。，得到解为尸=一3；乙看错

[4x+by=-2(2)[y=-1

了⑵中的6，得到解为卜=5，若按正确的。力计算，则原方程组的解尤与v的差为

[y=4

(3)(2007浙江杭州)三个同学对问题“若方程[乎+外=。的解是，求方程组

[a2x+b2y=c2[y=4

[3alx+2bly=5cl的解

[3a2x+2b2y=5c2

甲说：“这个题好像条件不够，不能解”；乙说：“它的系数有一定的规律，可以试试”；丙说：“能

不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以5,通过换元替代的方法来解决”.参考它们的讨

论，你认为该题目的解应该是.

【解析】⑴B;

fy——3jx=5

(2)由题意，知"是方程⑵的解，~是方程(1)的解，分别代入方程求得a=-l,

=b=4

b=-10,则

原方程组为]’,解得＜29,itx-y=—

[4x-10y=-2y=—5

(3)[无”.提示：把方程组+24y=5j的两个方程的两边都除以5,得

[y=10\3a2x+2b2y=5c2

32]3

-ax+-by=c,m=­x

x,5,则得如

3212[a2m+b2n=c2

-a2x+-b2y=c2n=­y

八-3

m=3一,5jx=5

由已知得，此方程组的解为〃二4,即！24

—y=4[y=i。

15

【点评】⑴主要考查同解方程定义的应用；

(2)看错方程组中哪个方程的系数，所得的解既是方程组中错系数方程的解，也是方程组中没

有看错系数的方程的解，把解代入没有看错系数的方程中，构建新的方程组，然后解方程

组；

(3)主要是观察出系数规律，用换元法解方程组；

【例5】已知关于x的方程巴*=处三的解是x=2,其中awO,Z?wO,求代数式的值.

23ba

.•，日(2—22b—3.ay2b.a2b.「.a4b3

【解析】由题意得：----=-----,—1二----1,即一=一/.3a=4b・・一=--=-

232323b3a4

.aZ?_7

••----=—

ba12

【点评】方程的解的定义与整体代入求代数式的值的综合.

【例6】对于实数x,y，定义一种新运算“*"：x^y=ax+by+c，其中“，6,c为常数，等式右边

是通常的加法与乘法运算，已知3*5=15,4*7=28,那么1*1=.

【解析】由定义，知l*l=a+/?+c.•.•3*5=3a+56+c=15,4*7=4a+76+c=28,

3m+4〃=1<

IYH—3

^a+b+c=m(3a+5Z?+c)+n(4a+7Z?+c),可得〈5机+7〃=1,解得《,

In=-2

m+n=l

故1*1=Q+Z?+C=3(3a+5b+c)—2(4a+7Z?+c)=3xl5—2x28=—11.

【铺垫】形如公=b的方程的解的讨论

【解析】方程ax=b(a,b为常数)中

1.awO时，它为一元一次方程，有唯一解X=—

a

2①.a=0时，它不是一元一次方程，它的解分两种情况：

②a=0fb=0时，0-x=0o有无数个解；

。=0,Z?wO时，O'X=bo方程无解。

【例7】1.求左，6为何值时，方程组卜二乙+）的解满足：

[y=（3左-l）x+2

①有唯一一组解；②无解；③有无穷多组解.

【解析】1.方程组可化为：（2左一l）x=b-2,

①当2左—I/O,即上力工时，方程（2左—1）尤=人一2有唯一解，从而原方程组有唯一解；

2

②当2左一1=0且6-2/0,即左=」且。/2时，方程（2左一l）x=6-2无解，从而原方程

2

组无解；

③当2左一1=0且6-2=0,即％=,且6=2时，方程（2左一1）尤=6-2有无数个解，从而

2

原方程组有无数组解.

【点评】方程组/的解的情况讨论（其实对于方程组的解的存在性问题消元法更具有一般

[a2x+b2y=c2

性）：

法一：可以写成比的形式时，⑴若幺=2*2时，方程组无解.⑵若幺=2=二时，方程

a2b2c2a2b2c2

组有无穷多组解.⑶若幺*4时，方程组有唯一解.

a2b2

法二：用代入消元法消去一个未知数，写成依=〃的形式，再讨论融=人的解的情况.

⑴当!"=°时，依=6有无穷个解，方程组也有无穷个解.⑵当!"=0时，办=6无解，方

[b=Q[Z?w0

程组也无解.⑶当awO时，双=〃有唯一解，方程组也有唯一解.

好题恒久远，一道永流传，精彩不容错过！H

0

【例8】（南通中考题）小刚为书房买灯，现有两种灯可供选购，其中一种是9W（即0.009kW）的

节能灯，售价49元/盏；另一种是40W（即0.04KW）的白炽灯，售价18元/盏，假设两种灯

的照明亮度一样，使用寿命都可以达到2800h，并已知小刚家所在地的电价是每千瓦时0.5元.

⑴设照明时间是xh，请用含x的代数式分别表示用一盏节能灯的费用和用一盏白炽灯的费

用：（注：费用=灯的售价+电费）.

⑵小刚想在这两种灯中选购一盏.

①当照明时间是多少时，使用两种灯的费用一样多？

②试用特殊值判断：照明时间在什么范围内，选用白炽灯费用低？照明时间在什么范围内，

选用节能灯费用低？

0）小刚想在这两种灯中选购两盏，假定照明时间是3000h,使用寿命就是2800h,请你帮他

设计一种费用最低的选灯方案，并说明理由.

【解析】⑴用一盏节能灯的费用是（49+0.0045X）元.用一盏白炽灯的费用是（18+0.02x）元.

（2）①由题意，49+0.0045%=18+0.02%,

解得x=2000.

所以当照明时间是2000h时，两种灯的费用一样多.

②取特殊值x=1500h

则用一盏节能灯的费用是49+0.0045x1500=55.75（元）

用一盏白炽灯的费用是18+0.02x1500=48（元）

所以当照明时间小于2000h时，选用白炽灯费用低；

取特殊值x=2500h.

则用一盏节能灯的费用是49+0.0045x2500=60.25（元）

用一盏白炽灯的费用是18+0.02x2500=68（元）

所以当照明时间超过2000h时，选用节能灯费用低.

⑶分下列三种情况讨论：

①如果选用两盏节能灯，则费用是：

49x2+0.0045x3000=111.5（元）；

②如果选用两盏白炽灯，则费用是：

18x2+0.02x3000=96（元）；

③如果选用一盏节能灯和一盏白炽灯，由⑵可知，当照明时间大于2000h时，用节能灯

比白炽灯费用低，所以节能灯用足2800h时，费用最低.费用是

（49+18）+0.0045x2800+0.02x200=83.6（元）.

综上所述，应各选用一盏灯，且节能灯使用2800h,白炽灯使用200h时，费用最低.

【例9】1.（2007南昌）2008年北京奥运会的比赛门票开始接受公众预订，下列为北京奥运会官方

票务网站公布的几种球类比赛的门票价格.球迷小李用8000元作为预订下列中比赛项目

（1）若全部资金用来预订男篮门票和乒乓球门票共10张，问男篮门票和乒乓球门票各订多少

张？

⑵小李想用全部资金预订男篮、足球和乒乓球三种门票共10张，他的想法能实现吗？请说

明理由.

比赛项目票价（元/场）

男篮1000

足球800

乒乓球500

【解析】1.⑴设订男篮门票X张，乒乓球门票y张，由题意，得

1000%+500y=8000fx=6

解彳于〈

x+y=10[y=4

即小李可以订男篮门票6张，乒乓球门票4张.

（2）能，理由如下：

设小李预订男篮门票x张，足球门票y张，则乒乓球门票为（10-尤-y）张.

由题意，得1000尤+800y+500（10-x-y）=8000

整理得5x+3y=30,y=30~5%

y均为正整数，.•.当x=3时，y=5.

••10-x—y=2.

・・・小李可以预订男篮门票3张，足球门票5张和乒乓球门票2张.

...小李的想法能实现.

【例10】（包头市中考题）某市中学生举行足球联赛，共赛17轮（即每队均需参赛17场），计分

办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分.

（1）在这次足球比赛中，若小强足球队踢平场数与所负场数相同，共积16分.试求该队胜了

几场？

⑵在这次足球赛中，若小强足球队总积分仍为16分，且踢平场数是所负场数的整数倍，试

推算小强足球队所负场数的情况有几种

x+2y=17

【解析】（1）设小强足球队胜了X场，平了V场，则负了y场，有〔3x+y=i6,得[y=7.

%+y+z=17

（2）设小强足球队胜了x场，平了y场，负了z场，由题意得,3x+y=16（左为正整数）,

y=kz

得2=——,VZ,左满足0WzW17,左20且为整数，,2k+3只能为5或7或35,当k=1

2k+3

时，z=7;当上=2时，z=5;当左=16时，z=l;所以小强足球队所负场数有三种情况.

阿基米德娶老婆问题

话说阿基米德人不但聪明，长的也帅，有很多女生仰慕他，一次，两个姑娘，一个叫徒徒,一个

叫美丽，她们因为阿基米德又吵了起来，双方都想嫁给他，阿基米德被吵得没有办法，无奈地说：“这

样吧，你说说看，你们爱慕我到什么程度，谁更爱我就娶谁！”花花嚷嚷道：“当然是我啦，我对你的

爱是她的100倍！！！！”“切，得了吧，我仰慕你是花花的1000倍!!你应该娶我。”说完，含情脉脉地

望着阿基米德。那我们一起算一下，两人到底谁仰慕阿基米德的指数最高？

【解析】设第一个人仰慕指数为x,另一个人的仰慕指数是y,

1,[100x=y22fx=0

列万程组4-解得：\

[1000y=x[y=0

嘿嘿，就因为他们不会数学，不会列方程组，说大话，结果算出来谁都不仰慕阿基米德

0（〃口1）。（学数学太重要了，看看，阿基米德娶老婆都用数学算!）

1.表示相等关系的式子叫做方程.（X）

2.等式两端同时乘以（或除以）同一个数，等式仍然成立.（X）

3.二元一次方程组有无数组解.（X）

4.未知数的值是方程的解.（义）

5.二元一次方程的解有无数个.（J）

学而时习之，不亦乐乎……

同学们最后一个环节啦，流血流汗不流泪，掉皮掉肉不掉队...

5

1.（1）（2008湖北武汉）已知关于x的方程4尤-3m=2的解是％=加，则加的值是（）.

22

A.2B.-2C.-D.-

77

（2）已知方程（2机-6）/+i+（九+2）严w=。是二元一次方程，求相，〃的值.

\n\+l=ln=0

\m\-2=lm=±3fm=-3

【解析】⑴A;⑵由题意得・=V

2m一6w0m丰3[孔=0

几+2w0"w-2

[5x-2y=7

2.解方程组：（2009十一学校期中）

[3x+4y=-1

(x=l

【解析】jy=-l

（海淀复习）已知关于的方程元-，（尤）

3.2010x-6

问当。取何值时，

①方程无解；

②方程有无数多个解.

【解析】方程可变形为：（3|a|-3）x=6（a—l）

①当［3|。|-3=0,即。=_］时，方程无解

\ci—1w0

②当］3必1-3=0,即0=1时，方程有无数多个解.\

67-1=0

4.（1）一艘轮船从A港驶向3港，顺水航行需6小时，从3港到A港逆水航行需8个小时，若在

静水条件下，从A港到3港需小时.

（2）若方程组［"+2,=2%有无穷多解，则关于x的方程以+。=刍的解为________.

［4x-3y=-33

【解析】⑴设轮船在静水中的速度为冗千米/时，水流速度为y千米/时，两地相距为s千米.依题意

得

6(x+y)=s

消y可得，-=6~.

S(x-y)=sx7

（2）由题意得4=2=攻，得。=一§,b=l,故无=一工.

4-3-338

5.某电脑公司最新推出三种电脑，其