高中数学：抽象函数问题

高中数学：抽象函数问题

在函数部分的综合题中我们常常遇见一类抽象函数问

题。这类问题由于条件中没有给出具体的函数解析式，

而只给出该函数所具备的某些性质，所以大家求解此类

问题时往往感到很棘手。事实上，这类问题一般都是以

基本初等函数作为模型，只要我们认真分析，善于联

想，挖掘出作为模型的函数，变抽象为具体，变陌生为

熟知，必能为我们的解题提供思路和方法。

一、以正比例函数为模型

例1.已知/⑶是定义在R上的函数，对任意的小VCR都

有/。+川=〃冷+/0),且当时，/(x)<o,/0)=-2o问当

-34x43时，函数/⑶是否存在最大值？若存在，请求出

最大值；若不存在，请说明理由。

分析：我们知道，正比例函数"x)=H(%。)满足

〃让y)=〃x)±/8。根据题设，我们可推知本题是以函数

〃x)=-2x作为模型设计的问题。于是，我们可以判定函

数，⑶的奇偶性、单调性入手来求解。

解：令x=y=o,贝!J/(0+0)=〃0)+〃0),解得〃0)=0

又因为/(“)+/(-X)=-X)=/(°)=0

所以

即函数为奇函数。

^1、Xj€R,X]<X?,贝|J町一刀1>0

依题意,有八巧一々)<0

〃盯)一丁⑺=〃叼)+J(f)=/(X2-Xl)<0

所以，“即</@)

即函数/⑶在R上是减函数。

因此，函数，⑶当_3。43时有最大值八T),且

/(-3)=-/(3)=-[/(1)+/(2)]=-3/(1)=(-3)•(-2)=6

二.以一次函数为模型

例2.定义在R上的函数“X)满足

小+y)+l=〃x)+/O)"g)=0,且时，〃*)<0。

(1)设%=/(〃)3e犷),求数列的前n项和号；

(2)判断了⑶的单调性，并证明。

分析：对于一次函数/⑶=依+6/。0)有

〃x)+/3)=/(x+Iy)+合成立。分析本题条件可知该题是以函

数八x)=-2x+l为模型命制的。

右刀/1\/(1)=•/(；)+/(；)T=T

解：(1)⑦9

令i,7=1,则/5+1)=/⑷+/(1)_1=〃用一2

所以，的=-1，劭+1-即=-2

故数列&｝是首项为7,公差为-2的等差数列。

2

e=«•(-l)+fcllx(-2)=-«

因此，*217

(2)设和为€及，且占<*2,贝|］与一々>。

11

所以町f+5>2

于是」(弓+》<°

又〃町)-1(々)=/。2-勺)-1

=/(x2-Xj)+/(1)-l=/(x2-Xj+1)<0

所以“与)</(再)，而函数/⑶在R上是减函数。

三.以指数函数为模型

例3.设函数/⑶定义在R上，对于任意实数m、n,恒

有了(加+〃)=/(•)♦/(明且当x>0时,0<〃力<1。

(1)求证：40)=1,且当x<0时，"外>1;

(2)求证：/⑶在R上单调递减；

(3)设集合"=((""(")力J)>/(可，

8={(")|/("—+2)=1,a网，若金门8=0,求a的取值范

围。

分析：我们知道，指数函数筋)=，3>0,且"D满足:

①1Z(x+y)=/(x)•/(»;

②/O)O

分析本题条件和结论，可推知本题是以函数

力>)=/(0“<1)为模型命制的。

解：(1)令冽=1，«=0,得〃1)=10)力0)

又当x>0时,0</(%)<!,所以"0)=1

设则-x>0

令m=x,n=-x,则”0)=/(x).J1(—x)

所以〃X)V(-x)=l

又0</(-x)<l,所以人力=不下>1

(2)设和心€又，且公<"则町-勺>0

所以。</氏-血)<1

从而〃修)-Xi+心)=〃马一X。

又由已知条件及(1)的结论知〃x)>。恒成立

上加=y(x-勺)

所以/⑺2

0</^<1

所以,⑺

所以"崂</g),故/⑶在R上是单调递减的。

(3)由〃力"夕)>〃1)得：/(x2+/)>/d)

因为〃©在R上单调递减

所以即A表示圆/+/=1的内部

由〃以-y+2)=1=/(0)得：ax-y+2=0

所以B表示直线数7+2=0

2

所以X^=0,所以直线与圆相切或相离，即布下

解得：-/ga=力

四.以对数函数为模型

设函数y=〃x)定义域为(o,+8),且对任意的实数X、y,

有〃砌="x)+/3),已知"2)=1,且当X>1时/⑶>0。

岸)=T

(1)求证：⑸；

(2)试判断在(0,+8)上的单调性，并证明。

分析：我们知道，对数函数/&)=1叫初>0，且"1)满足：

①/(x・y)="x)+/3).

②vo

分析本题条件，可判定该题是以函数“力=1。心、为模型命

题的。

证明：(1)令x=y=i,贝=

解得："1)=0

令"2-Q则〃】)=%)+吗

解得：《一⑵一

豆>1/㈤>0

(2)设。<与,则不,于是

「J®)=/⑺+/闰

因为卬

x-x

cr/(2)/(l)=/f—>0

所以W

所以/%)>/g),即函数/⑶在(0,+8)上是增函数。

五.以三角函数为模型

例5.定义在R上的函数/⑶对任意实数a、b都有

f(a+b)+f(a-b)=2/(a)・/(B)成立,且/(。)。0。

(1)求〃0)的值；

(2)试判断"X)的奇偶性；

(3)若存在常数使/9=°,试问了③是否为周期函

数？若是，指出它的一个周期；若不是，请说明理由。

分析：由三角函数的和差公式可知

cos(a+⑼+cos(a-⑼=2cosacos£,观察题设条件，我们可判断

本题是以余弦函数〃x)=c0sx为模型设计的问题。

解：(1)令a=b=0

则〃0)+〃0)=2〃0)・/(0)

所以八0)”〃0)-1]=0

又因为〃0)。0,所以"0)=1

(2)令a=0,b=x,则/(x)+〃-x)=2/(0)♦J(x)

由"0)=1可得〃f)=/(x)

所以〃x)是R上的偶函数。

cc

/c、人以=x+-,b=—>

(3)令22,则

小+昌+月+小+小月切词啕

因为

所以〃x+c)+〃x)=0

所以〃x+c)=-〃x)

所以/(x+2c)=-〃x+c)=-[-/(x)]=/(x)

所以了⑶是以2c为周期的周期函数。

例6.已知函数“X)的定义域关于原点对称，且满足:

(1)/(X2)-/(Xl)

(2)存在正常数a,使/⑷=1

求证：(1)“X)是奇函数；

(2)了⑶是周期函数，并且有一个周期为4*

分析：根据三角函数公式可判断本题应是以余弦函数

〃x)=cotx为模型命制的。

证明：(1)设£=入1-,贝|J

/(T)=/(町-Xi)

_/(叼)•/⑺+1

/⑺-/(盯)

/(^)VU2)+1

=_/(々一叼)

所以函数/⑶是奇函数。

/⑷=八2幻"⑷+1

(2)令々=2口，用=a,贝|J