小学五年级下期数学思维训练（奥数）《数的整除》教学设计及练习题

数的整除

专题简析：

数的整除是研究自然数之间关系的学问。我们在课本中已经学习了能

被2、3、5整除的数的特征，本讲让我们来探讨能被4或25,8或

125,9,7,11,13整除的数的特征。

例1研究能被4或25整除的数的特征。有四组数如下:

(1)4243169840628880

(2)73541267668949343

(3)92557585010008075

(4)8353553601005495

把第（1）、（2）两组数分别除以4,第（3）、（4）两组数分别除以25,

找出能被4或25整除的数的特征。

分析与解答：通过计算可以知道：第（1）组的数都能被4整除，而

第（2）组的数都不能被4整除；同样，第（3）组的数都能被25整

除，第（,4）组的数都不能被25整除仔细观察这四组数的末两位

数会发现：第（1）组中的每个数的末两位数都能被4整除，而第（2）

组中的每个数的末两位数都不能被4整除；同样，第（3）组中的每

个数的末两位数都能被25整除，而第（4）组中的每个数的末两位数

都不能被25整除。

所以能被4或25整除的数的特征：一个数的末两位数能被4或25

整除，这个数就一定能被4或25整除。

随堂练习：

1、判断312、142、280能否被4整除。

2、判断375、260、165能否被25整除。

例2研究能被8或125整除的数的特征。有四组数如下:

(1)48403160754461122248

(2)55519854488611024540

(3)37503500387526255375

(4)20051050279573501985

把第（1）、（2）两组数分别除以8,第（3）、（4）两组数分别除以125,

找出能被8或125整除的数的特征。

分析与解答：通过计算可以知道：第（1）组的数都能被8整除，而

第（2）组的数都不能被8整除；同样，第（3）组的数都能被125整

除，第（4）组的数都不能被25整除仔细观察这四组数的末三位

数会发现：第（1）组中的每个数的末三位数都能被8整除，而第（2）

组中的每个数的末三位数都不能被8整除；同样，第（3）组中的每

个数的末三位数都能被125整除，而第（4）组中的每个数的末三位

数都不能被125整除。

所以能被8或125整除的数的特征：一个数的末三位数能被8或125整

除，这个数就一定能被8或125整除。

随堂练习:

1、判断2256、2616、1448能否被8整除。

2、判断375、1845、8125能否被25整除。

例3研究能被9整除的数的特征。

分析与解答：我们可以通过对2646这个数的分析，来研究能被9整

除的数的特征。如下：

2646=2X1000+6X100+4X10+6

=2X(999+1)+6X(99+1)+4X(9+1)+6

=2X999+2+6X99+6+4X9+4+6

=2X111X9+6X11X9+4X9+2+6+4+6

=(2X111+6X11+4)X9+(2+6+4+6)

在上式中，(2X111+6X11+4)X9一定能被9整除，如果2+6+4+6

的和也能被9整除，那么2646这个数就能被9整除。而2+6+4+6恰

好是2646各位上的数字之和，因为2+6+4+6=18,18能被9整除，所

以2646这个数能被9整除。

能被9整除的数的特征是：一个数的各位上的数字之和能被9整

除，这个数就一定能被9整除。

随堂练习：

判断5049、449能否被9整除。

例4研究能被7、11、13整除的数的特征。

分析与解答：可以通过对458315的分析，找出能被7、11、13整除

的数的特征。

458315=458X1000+315

=458X1000+458—458+135

=458X1001-(458-315)

因为1001=7X11X13,所以458X1001一定能被7、11、13整

除，如果458—315的差也能被7、11、13整除，那么458315就能被

7、11、13整除。而458—351恰好是这个数的末三位数与末三位前

面的数所组成的数的差，因为485—315=143,143不能被7整除，所

以458315就不能被7整除；143能被11和13整除，所以458315能

被11和13整除。

能被7、11、13整除的数的特征是：如果一个数的末三位数字所表示

的数与末三位前面的数字所组成的数的差(大数减小数)能被7、11、

13整除，那么这个数就能被7、11、13整除。

随堂练习：

1.判断86492、25146能否被7整除。

2.判断59306、626667能否被13整除。

例5有两堆糖果，第一堆有423块，第二堆有344块，哪一堆

平均分给9个小朋友没有剩余？

分析与解答：本题实际就是要判断423和344能否被9整除，二423

各位上数字的和是4+2+3=9,能被9整除，344各位上数字的和是

3+4+4=11,不能被9整除。

所以，第一堆可以平均分给9个小朋友而无剩余，第二堆平均分

给9个小朋友还剩余2块。

随堂练习：

1.五年级同学给地震灾区的9个班共捐了3573本书，能正好平均分

给这9个班吗？

2.五年级有625个同学，六年级有705个同学，参加国庆节演出要求

排成每行25人的方阵，应选哪个年级参加正好没有剩余？

例6如果六位数1384_4能被8整除，里应填什么数字？

分析与解答：根据能被8整除的数的特征是：一个数的末三位数能被

8整除，这个数就一定能被8整除。这个六位数1384_4能被8整除

的关键是看“4_4”能否被8整除，通过尝试可知当里的数字是

2或6时，六位数1384_4能被8整除，所以“，里应填2或6.

随堂练习：

1.如果三位数35_能被9整除，里应填什么数字？

2.如果四位数350_能被11整除，里应填什么数字?

例7四位数5_1_能同时被2、3、5整除，这样的四位数有哪几个？

分析与解答：要使四位数5」_能同时被2、3、5整除，这个四位数

就要具备同时能被2、3、5整除的数的特征。同时被2、5整除的数

的各位上是0,因此可以确定这个四位数个位上的数字是0.还要被3

整除，要符合各位上的数字和能被3整除的特征。题目转化成5+_

+1+0=6+_的和能被3整除，_中应该填几呢？

因为6能被3整除，所以当_中填0、3、6、9时，这个数各位

上数字的和必能被3整除。故所求的四位数为5010、5310、5910o

随堂练习：

L四位数6_2_能同时被2、3、5整除，这样的四位数有哪几个？

2、在—内填上合适的数，使五位数7_36_既能被5整除，也能被

9整除。

例8在568后面补上三个数字组成一个六位数，使它分别能被3、

4、5整除。符合条件的六位数中，最小的数是多少？

分析与解答：要使这个六位数尽可能小。而且能被5整除，百位和各

位上的数字都应选0,5+6+8+0+0=19,要使这个六位数能被3整除，

十位上可填2、5、8；再根据能被4整除的数的特征：一个数的末两

位数能被4整除，那这个数就一定能被4整除，可知十位上可填2或

8,所以符合条件的六位数中，最小的数是568020。

随堂练习：

在358后面补上三个数字组成一个六位数，使它分别能被3、4、

5整除。符合条件的六位数中，最小的数是多少？

拓展应用：

1.(1)判断992、6250、1024能否被4整除。

(2)判断400、145、450能否被25整除。

2.(1)判断3378、1848能否被8整除。

(2)判断5625、2500能否被125整除。

3、判断8628和6219能否被9整除。

4、判断129987和588735能否被13整除。

5、判断18109能否被7或11或13整除。

6、在口填上合适的数，使四位数7口36能被9整除。

7、在口填上合适的数，使五位数2口10口能同时被8和9整除。

8、在232后面补上三个数字组成一个六位数，使它分别能被3、4、

5整除。

数的整除

拓展应用

1、⑴992和1024能被4整除,6250不能被4整除。

(2)400和450能被25整除，145不能被25整除。

2、2)3378不能被8整除,1848能被8整除。

(2)5625能被125整除2500也能被125整除。

3、因为8+6+2+8=24,所以8628不能被9整除;6+2+1+9=18,

4、因为987-129=858,858能被13整除，所以129987能被13整除；735-588=147,147不能被

13整除，所以588735不能被13整除。

5、因数109-