高三数学理科统计案例总复习教学案

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第十三章统计案例

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L理解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样

本，了解分层抽样和系统抽样方法.

2.了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、茎叶图,

理解它们各自的特点，理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差，

能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并作出合理的解释，

会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数

字特征，理解用样本估计总体的思想，会用随机抽样的基本方法和样本估计总体

的思想解决一些简单的实际问题.

3.会作两个有关联变量的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系，了

解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，

了解回归的基本思想、方法及其简单应用.

4.了解独立性检验（只要求2X2列联表）的基本思想、方法及其简单应用.

本章重点：1.三种抽样方法的区别、联系及操作步骤.2.样本频率分布直方图

和茎叶图.3.用样本估计总体的思想.

本章难点：回归直线方程与独立性检验.

统计多数以选择题和填空题形式考查，大题只在个别省的考题中出现过.难度

属于基础题和中档题.考点往往集中体现在抽样方法、频率分布图表这两个方面.

另外，应注意统计题反映出来的综合性与应用性，如与数列、概率等的综合，用

统计方法提供决策、制定方案等，以此考查学生搜集处理信息及分析解决问题的

能力.

知识网络

13.1抽样方法与用样本估计总体

典例精析

题型一抽样方法

【例1】某校有教师200人，男学生1200人，女学生1000人，用分层抽样

的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本，已知女学生抽取的人数为80人，

则n的值为

【解析】根据分层抽样的意义，

n200+l200+1000=801000,解得n=192.

【点拨】现实中正确的分层抽样一般有三个步喋：首先，辨明突出的统计特征

和分类.其次，确定每个分层在总体上的比例.利用这个比例，可计算出样本中每

组（层）应抽取的人数.最后，必须从每层中抽取独立简单随机样本.

【变式训练1］从某厂生产的802辆轿车中随机抽取80辆测试某项性能.请合

理选择抽样方法进行抽样，并写出抽样过程.

【解析】第一步，将802辆轿车用随机方式编号.

第二步，从总体中剔除2辆（剔除方法可用随机数表法），将剩余的800辆轿车

重新编号（分别为001,002,003,…，800）,并分成80段.

第三步，在第一段001,002,…，010这十个编号中用简单随机抽样抽出一个

（如005）作为起始号码.

第四步，将编号为005,015,025,…，795的个体抽出，组成样本.

题型二频率分布直方图

【例2】(2010湖南)如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单

位：吨)的频率分布直方图.

(1)求直方图中x的值；

(2)若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样)，

求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.

【解析】(1)依题意及频率分布直方图知0.02+0.l+x+0.37+0.39=1,解

得x=0.12.

(2)由题意知X〜B(3,0.1),因此

P(X=0)=C03X0.93=0.729,

P(X=l)=C13X0.1X0.92=0,243,

P(X=2)=C23X0.12X0.9=0.027,

P(X=3)=C33X0.13=0.001,

故随机变量X的分布列为

X01

P0.7290.2430.0270.0

X的数学期望为E(X)=3X0.1=0.3.

(或E(X)=1X0.243+2X0.027+3X0.001=0.3)

【点拨】从频率分布直方图读取数据时，要特别重视组距，纵坐标是频率除以

组距，故长方形的面积之和为1.

【变式训练2】如图是容量为100的样本的频率分布直方图，试根据数据填空:

(1)样本数据落在［10,14)内的频数为；

(2)样本数据落在［6,10)内的频率为；

(3)总体落在［2,6)内的频率为.

【解析】(1)样本落在［10,14)内的频数为0.09X4X100=36.

(2)样本落在［6,10)内的频率为0.08X4=0.32.

(3)样本落在［2,6)内的频率为0.02X4=0.08,所以总体落在［2,6)内的频

率约为0.08.

题型三平均数、方差的计算

【例3】甲、乙两人在相同条件下各射靶10次，每次命中环数如下：

甲4710956868

乙786867875

试问谁10次射靶的情况较稳定？

【解析】本题要计算两样本的方差，当样本平均数不是整数，且样本数据不大

时，可用简化公式计算方差.

=110(4+7+…+8)=7.1,

=110(7+8+…+9)=7.1,

s2甲=110(42+72+…+82-10X7.12)=3.09,

s2乙=110(72+82H---F92-10X7.12)=1.29,

因为s2甲〉s2乙，所以乙10次射靶比甲10次射靶情况稳定.

【点拨】平均数反映了数据取值的平均水平；标准差、方差描述了一组数据围

绕平均数波动的大小，标准差、方差越大，数据的离散程度就越大，越不稳定；

标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定.

【变式训练3】(2010北京市东城区)在一次数学统考后，某班随机抽取10名

同学的成绩进行样本分析，获得成绩数据的茎叶图如右图.

(1)计算此样本的平均成绩及方差；

(2)现从此样本中随机抽出2名学生的成绩，设抽出分数为90分以上的人数为

X,求随机变量X的分布列和均值.

【解析】(1)样本的平均成绩=80；

方差为s2=110【(92—80)2+(98-80)2+(98-80)2+(85-80)2+(85-

80)2+(74-80)2+(74-80)2+(74-80)2+(60—80)2+(60—80)2]=175.

(2)由题意，随机变量X=0,l,2.

P(X=0)=C27C210=715,P(X=1)=C13C17C210=715,P(X=2)=115.

随机变量X的分布列为

X0

P

E(X)=0X715+1X715+2X115=35.

总结提高

1.统计的基本思想是用样本估计总体.这就要求样本具有很好的代表性，而

样本良好客观的代表性，则完全依赖抽样方法.

2.三种抽样方法中简单随机抽样是最基本的抽样方法，是其他两种方法的基

础，它们的共同点都是等概率抽样.适用范围不同，要根据总体的具体情况选用

不同的方法.

3.对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计.

4.用样本估计总体，一般分成以下几个步骤：

先求样本数据中的最大值和最小值(称为极值)，再确定合适的组数和组距，

确定分点(每个分点只属于一组，故一般采用半开半闭区间)，然后列出频率分布

表(准确，查数据容易)，画频率分布直方图.

13.2两变量间的相关性、回归分析和独立性检验

典例精析

题型一求回归直线方程

［例1）下表是关于某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用（万元）的几组

统计数据：

x234

y2.23.85.56.57.

（1）若y对x呈线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程丫=x+；

（2）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？

【解析】（1）因为xiyi=112.3,x2i=4+9+16+25+36=90,且=4,=

5,n=5,

所以=112.3-5X4X590—5X16=12.310=1.23,=5-1.23X4=0.08,

所以回归直线方程为y=1.23x+0.08.

（2）当x=10时，y=l.23X10+0.08=12.38,

所以估计当使用10年时，维修费用约为12.38万元.

【点拨】当x与y呈线性相关关系时，可直接求出回归直线方程，再利用回归

直线方程进行计算和预测.

【变式训练11某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量（吨）与相应的生

产能耗（吨标准煤）有如下几组样本数据.

x34

y2.5344.

据相关性检验，y与x具有线性相关关系，通过线性回归分析，求得回归直线

的斜率为0.7,那么y关于x的回归直线方程是

【解析】先求得=4.5,=3.5,由=0.7x+a过点(，),则a=0.35,所

以回归直线方程是=0.7x+0.35.

题型二独立性检验

【例2】研究小麦种子经灭菌与否跟发生黑穗病的关系，经试验观察，得到数

据如下表所示：

种子灭菌种子未灭菌合计

黑穗病261842

无黑穗病502002

合计763844

试按照原试验目的作统计分析推断.

【解析】由列联表得：

a—26,b=l84,c=50,d=200,a+b=210,c+d=250,a+c=76,b+d

=384,n=460.

所以K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=460X(26X200-184X

50)2210X250X76X384^4.804,

由于K2七4.804>3.841,

所以有95%的把握认为种子灭菌与否与小麦发生黑穗病是有关系的.

【变式训练2】(2010东北三省三校模拟)某研究小组为了研究中学生的身体

发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制