高中数学向量专项练习(含答案)

高中数学向量专项练习

一、选择题

1.己知向量。=(1,工)/=(一1/),若(2。一人)_14则,卜()

A.72B.73C.2D.4

2.化简屈+血+前+瓶的结果是()

A.ABB.BAC.AMD.MA

3.已知向量。=(1,2),。=(-4,“)，若2。+。与。垂直，则加二()

A.-3B.3C.-8D.8

4.已知向量。=(一1,1),b=(l,m),若(2。一力)・。=4,则m=()

A.-1B.0C.1D.2

5.设向量。=(―1,2),〃=(帆1),若向量〃与。平行，则。必=

A71「3「5

A.—Bn.—C.-D.一

2222

6.在菱形A8QD中，对角线AC=4,E为CD的中点，则AE-AC=()

A.8B.10C.12D.14

7.在aABC中，若点D满足6O=2OC,则A£)=()

175221-W1一

A.-AC+-ABB.-AB——ACC.-AC——ABD.-AC+-AB

33333333

8.在AA3C中，已知N84c=90,AB=6,若。点在斜边BC上，CD=203,则AB-A£＞的值为

().

A.6B.12C.24D.48

9.已知向量加=(>+1,1),〃=(九+2,2),若(加+〃)_1_(口一〃),则:=()

A.—4B.-3C.—2D.—1

10.己知向量a=(l,2),)=(x,4),若向量a〃8，则实数的x值为

A.2B.-2C.8D.-8

11.已知向量a=(2,l),5=(-3,4),则2«+b=

A.(-1,5)B.(1,5)C.(-1,6)D.(1,6)

12.已知向量a=(2,l),办=(—3,4),则a+Z>=

A.(—1,5)B.(1,5)C.(-1,-3)D.(1,3)

13.△ABC的外接圆圆心为。，半径为2,OA+AB+AC=Q,且|。4卜,耳，则C8在C4方向上的

投影为

A.1B.2C.y/3D.3

14.已知向量a=(l,2),向量b=(x,-2),且则实数x等于（）

A、TB、4C、0D、9

15.已知平面向量a=(1,2)]=(一2,〃?)，且a〃b,则实数加的值为（）

A.1B.4C.-1D.-4

16.AABC是边长为2的等边三角形，已知向量a、b满足AB=2a,AC=2a+b,则下列结论正确

的是（）

A、忖=1B、aLbC、ab=\D、(4a+Z?)±BC

17.已知菱形ABC。的边长为a,,则BO-CO=()

33?3o3o

A、--a2B、--a2C、-a2D、-a2

2442

18.已知向量a,8满足a+b=(5,-10),a-b=(3,6),则a,》夹角的余弦值为()

AV13nV13r2V13n2拒

A.-----B.------C.------D.---------

13131313

19.已知向量。=(1,3),b=(-2,-6),cHVTO,若(a+b)•c=5,则。与c的夹角为()

A.30°B.45°C.60°D.120°

20.已知向量1=(2,1),；=(5,-3),则的值为

A.-1B.7C.13D.11

21.如图，平行四边形ABCD中，血=(2,0),筋=(一3,2),则而•元=()

A.-6B.4C.9D.13

22.若向量AB=(2,4),AC=(1,3),则BC=()

A.(1,1)B.(-1,-1)C.(3,7)D.(-3,-7)

23.在△ABC中，角A为钝角，A8=1,AC=3,A。为3c边上的高，已知AO=xAB+yAC,则x

的取值范围为

39193313

(A)(4'W)⑻3弁©GN(D)(I>4)

24.已知平面向量AB=(1,2),AC=(3,4),则向量CB=()

A(—4,-6)B.(46)c.(-2,一2)D,(2,2)

25.已知向量a=(2,4),2?=(-1,1),则2。一匕=

A.(5,7)B.(5,9)C.(3,7)D.(3,9)

26.已知向量初=(a，-2)，〃=(l」-a),且〃z〃〃，则实数a=()

A.-1B.2或一1C.2D.-2

27.在AABC中，A8=c,AC=b若点。满足8。=2。。，则A。=()

2,152,八21,c2,2

A.—b+—cnB.-c--bC.—c—bD.—b+—c

33333333

28.已知点M(5,-6)和向量a=(l,—2),若MN=-3a,则点N的坐标为()

A.(-3,6)B.(2,0)C.(6,2)D.(-2,0)

29.在矩形ABCD中，,耳=4,卜力|=2,则|BA+5O+BC卜()

A.12B.6C.475D.26

30.已知向量。=(1,2),Z?=(3,1),则b—。=().

A.(2,-1)B.(-2,1)C.(2,0)D.(4,3)

31.若向量a=(〃，1)与b=(4,〃)共线且方向相同，则〃=()

A.-B.1C.2D.±2

2

32.设a,A,c是单位向量，且a,〃=0,则(a-cAS-c)的最小值是()

A.1—B.5/2—1C.1-y/3D.y/3-1

33.如图所示，。是一A5C的边A3上的中点，记8C=a,BA=c,,则向量QC()

A

D

BC

A.-a—cB.-a4—cC.ci—cD.ci—c

2222

34.如图，在A4BC中，AB=BC=4,NABC=30°,A。是边BC上的高，则的值等于()

35.已知平面向量[与3的夹角为(，且忖=1,卜+2。卜26,则忖=()

A.1B.73C.2D.3

36.已知向量。=(3,4),6=(5皿。,以光£),且。与匕共线，贝!]tana=()

44八33

A.-B.--C.-D.--

3344

二、填空题

37.在AABC中，AB=2,AC=1,D为BC的中点，则ADBC=.

38.设。=(1,2),b=Q,k),若(2a+b)_La,则实数上的值为()

A•—2B.-4C.-6D.—8

39.空间四边形Q4BC中，OB=OC,ZAOB=ZAOC=60°,则cos<OA,BC>=()

A.1B.也C._1D.0

222

40.已知向量a,b,c满足同=五,|。|=。m=3,若（c—2a）•（如一3c）=O,则|Z?—c|的最大值

是.

41•化简：（菽-而+瓦）+（而-丽）=------

42.在A48C中，A、B、C的对边分别为a、b、c,且〃cosC=3aco$5-ccos5,BA-BC=2,则

MBC的面积为.

43.已知向量a=（1,2）,a*b=10,Ia+b=5后，则IbU.

44.如图，在uABCD中，E是CD中点，BE=xAB+yAD,则x+y=.

DC

AB

45.若b1=2,c=a+b,且CJ.Q,则Q与匕的夹角为o

也正

46.向量〃？=(,---),n=(sinx,cosx),xe(0,TT),①若加//〃，则tanx=；

22

_TT

②若相与〃.的夹角为一，则/二.

3

47.已知平面向量a=(2,-1),则忖=.

48.已知|a,=2,b|=4,a±(tz+Z?),则a与6夹角的度数为.

49.已知向量a=(l,2),b=(x,2),且，则实数x的值为.

50.已知向量a=(2,-1,1),b=(r,l,-l),reR.若％〃〃，则/=.

51.己知向量a=向量a,c的夹角是?，a-c=2,则|c|等于________.

52.已知忖=1,卜卜3,它们的夹角为120,那么,—4=.

53.已知向量。与b的夹角为45°,且|切=3五；则|2。一切=.

54.已知平面向量a=(2,-1),向量)=(1,1),向量c=(-5,l).若(a+劭)〃c,则实数上的值为一.

55.若等腰梯形ABCD中，AB//CD,AB=3,BC=a,ZABC=45，则的值为

56.已知。=(—1,3),b=(1,Z),若(a—2Z?)_La,则|人|=.

57.已知同=2，例=3,a,〃的夹角为60。，则悔一.=.

58.在4180中，已知网=4,|罔=1,且A4BC的面积S=JL则A8MC的值为.

三、解答题

59.(本小题满分12分)已知向量。=(4,3)正=(-1,2).

(1)求〃与b的夹角的余弦值；

(2)若向量。一/16与平行，求4的值.

60.设向量a=(2,sin。)，心=(l,cos。)，。为锐角.

13

(I)若a力=一,求sinJ+cos。的值；

6

TT

(II)若。/〃，求sin(2，+§)的值.

参考答案

1.c

【解析】

试题分析：由已知2。一b=(3,x),因为(2。一"_L).，所以(2。一㈤2=3x(-l)+f=0,%=±百，

所以卜卜＞/1+%2=J1+3=2.故选C.

考点：向量垂直的坐标运算，向量的模.

2.A

【解析】

试题分析：由于而+希前，M0+OM=0＞即可得出.

解：：而+前=而，M0+OM=0«

AB+MB+BO+OM=AB，

故选：A.

考点：向量的三角形法则.

3.A

【解析】

试题分析：因为2&+。=2(1,2)+(—4,加)=(一2,4+“)，又2方+〃与因垂直,所以(1,2)•(-2,4+〃?)=

-2+2(4+m)=0,解得加=一3,故选A.

考点：1、平面向量的坐标运算；2、向量垂直的充要条件.

4.C.

【解析】

试题分析：由已知得2。一b=(-2,2)=(—3,2-w)，

又；a=(—1,1),(2a—b)-a=3+2—m=4,m=1,故选C.

考点：平面向量数量积.

5.D

【解析】

试题分析：a+2b=(—l,2)+(2m,2)=(2m—1,4),2«—Z?=(-2,4)—=2—m,3)

由两向量平行得(2m—l)x3=4x(—2-ni)：.ab--m+2=-|

考点：向量平行的判定及向量的坐标运算

6.C

【解析】

试题分析：特殊化处理，用正方形代替菱形，边长为2及，以A为原点，建立如图所示坐标系，则A(0,

0),C(272,272),E(V2,2V2),所以AC=(272,272),AE=(72,272),所以

AC-=272x72+272x272=12,故选C.

考点：平面向量的数量积运算.

7.A

【解析】

22/--\21

试题分析：由于8C=AC-AB=8-c,因此A£>=A8+8D=c+=8C=c+*仿一c)=*b+2c.

33、,33

考点：向量的加法法则.

8.C

【解析】

试题分析：因为，CD=2DB,ABAC=90,所以AZ)=A8(AB+B£))=AB(AB+g8C)=

1221222K.

AB[AB+-(AC-AB)]=-AB+-ABAC=-AB=-x62=24,故选C.

33333

考点：1、平面向量的加减运算；2、平面向量的数量积运算.

9.B

【解析】

试题分析：由题2+:=(22+3,3),/1—1=(—1,—1),

(m+n)_L(m-n)：.(m+〃)•(〃?一〃)=0=(22+3,3)•(-1,-1)=0/.A--3

考点：向量的运算，向量垂直的充要条件

10.A

【解析】

试题分析：因为两向量平行，所以可得lx4=2xx=%=2,故选择A

考点：向量共线的坐标表示

11.D

【解析】

试题分析：由向量的坐标运算可得：2“+人=(1,6)，故选择D

考点：向量的坐标运算

12.A

【解析】

试题分析：根据向量的加法运算法则，可知。+人=(2—3,1+4)=(-1,5),故选A.

考点：向量的加法运算.

13.D

【解析】

试题分析：由砺+元+荏=诟+反=。，并且邻边相等，所以四边形。43C是菱形，那么C8在C4

方向上.的投影是8Ccos30°=2gX—=3.

2

考点：向量与平面几何的关系

14.D

【解析】

试题分析：由已知得，a-(a—b)=0,所以(1,2)•(1-x,4)=0,即l-x+8=0,所以x=9.故选D.

考点：向量垂直及数量积的坐标运算.

15.D

【解析】

试题分析：因为a〃8，所以1•根—2x(—2)=0.•.机=一4.故选D.

考点：向量平行的充要条件.

16.D

【解析】

试题分析：AB=2a,AC=2a+b,：.AC=AB+b,：.b=AC-AB=BC.

由题意知|/?|-2,a-b=卜上忖cos120=1x2x]-=

(4a+6)♦BC=(2AB+BC)-BC=2AB-BC+BC

=2|/lB|-|BC|cosl20+22=2x2x2x^-l^j+4=0..•.(4a+@LBC.故D正确.

考点：1向量的加减法；2向量的数量积；3向量垂直.

17.D

【解析】

试题分析：BDCD=(BC+CD)CD=BCCD+CD2^BC\\CD\cos60+42=(。2+。2=_|。2故

D正确.

考点：1向量的加减法；2向量的数量积.

18.D

【解析】

(a+b)-(a-b)

试题分析：a=-----------------=(4,-2)=(1,-8),则。功的夹角余弦值为

2

c°s”q=「0刎亘故选D

\a\­\b\V20x5/6513

考点：向量的基本运算.

19.D

【解析】

ll…a・c-51-

试题分析：根据题意得力=一2”,从而有a-c=-5所以COS<Q,C>=|-[-J-T=-/=----/==所以。

-cV10-V102

与万的夹角为12°,故选D.

考点：向量的数量积，向量夹角余弦公式.

20.B

【解析】

试题分析：因为77=(2,1>(5,-3)=10-3=7,所以应选8.

考点：1、平面向量的数量积；

21.C

【解析】

试题分析：由图可知：~BD=AD-AB=(-3,2)-(2,0)=(-5,2)

AC=AD+AB=(-3,2)+(2,0)=(-1,2).则BD-AC=(-5,2)-(-1,2)=(-5)x(-1)+2x2=9.

考点：向量的运算.

22.B

【解析】

试题分析：因为向量A6=(2,4),AC=(1,3),所以的=亚一砺=(1,3)—(2,4)=(—1,一1).故选B.

考点：向量减法的坐标的运算.

23.A

【解析】

试题分析：当角A趋近于直角时，按照平面向量基本定理则此时，向量AD在向量AB上的分量趋近于最大

93

值，，又相似比求得此时x=—,排除C,D,同理，若角A趋近于平角，则此时x=结合选项得A是

104

正确的.

考点：平面向量基本定理，极限的思想.

24.C

【解析】

试题分析：由向量的减法法则C3=AB~AC=(r2-2)，所以选c；

考点：1.向量的减法；

25.A

【解析】

试题分析：根据向量的坐标运算可得：2a-匕=(4,8)—(-1,1)=(5,7),故选择A

考点：向量的坐标运算

26.B

【解析】

试题分析：因为机〃〃，所以。(1一幻=_2,解得/_〃_2=0,故a=-1或a=2,故选民

考点：向量的坐标运算与向量平行的条件.

27.A

【解析】

2

BD=—BC

试题分析：由8。=2DC，可得3,

22/­\1212

AD=AB+BD=AB+-BC=AB+-(AC-AB]=-AB+-AC=-c+-b

33',3333,故选择A

考点：平面向量基本定理

28.B

【解析】

x=2

试题分析：设点N的坐标为(乐)')，由MN=-3。可得：(*-5,>+6)=(-3,6),解得[y=0,故选择

B

考点：平面向量的坐标表示

29.C

【解析】

试题分析：由平行四边形法则可知BA+BC=6。，原式即为2忸4，而BD为矩形对角线，所以

|B£>|=A/42+22=245,从而答案为46

考点：向量的加法

30.A

【解析】

试题分析：向量减法的定义，对应坐标分别相减，即8-。=(3-1,1-2)=(2,-1)

考点：向量的减法

31.C

【解析】

试题分析：两向量共线，坐标满足〃2=lx4=4;.〃=±2,〃=2时，两向量共线，所以〃=—2

考点：向量共线的判定

32.A

【解析】

试题分析：设c与a+b的夹角为8,

(a-c)-(b-c)=a-b-c^a+b^+c2=0-|c||<2+Z?|cos^+l>0-|a+/?|+l=-^a+Z?j+1

=—yla~+h~+1=1—V2

考点：(1)平面向量数量积的运算(2)平面向量数量积的性质及其运算律

33.C

【解析】

试题分析：因为。是一ABC的边上的中点，所以。3=—上区4=一上。，在中，由向量的三角

22

形法则可得£>C=38+6C=a—故选C.

2

考点：向量加减混合运算及其几何意义

34.B

【解析】

试题分析：A£)AC=AZr(AO+DC)==!|AB『=4,选B.

4

考点：向量数量积

35.C

【解析】

试题分析：,+2目=26(«+2力丫=12+2何+4=12.•/4=2

考点：向量的数量积与向量的模

36.C

【解析】

3

试题分析：a,〃共线可知.,.4sina=3cosatana=—

4

考点：向量共线

3

37.2

【解析】

1].2.23

ADBC=-(AB+AC}(AC-AB)=-{AC'-AB~)=--

试题分析：222

考点：向量数量积

38.C

【解析】

试题分析：因为2a+至=(4,4+左)，；(2a+3)_La=4xl+2(4+£)=12+2Z=0=左=-6

考点：1.平面向量的坐标运算；2.非零向量々，=3.数量积公式的坐标形式；

39.D

【解析】

试题分析：法一：如图，取8C的中点。，由03=0。，可知0D_LBC,另一方面由

OB=OC

ZA0B=ZAOC=60°I=>\OAC\0AB^AC^AB,而。是3C的中点，所以AO_LBC,进而

0A=0A

可得8C_L面。4。，所以。4L3C,所以cos<OA,BC>=0,故选D.

法二：因为045。=04(0。-03)=040。—。403=|04||0。|8560°-|04||0例8560。，

因为OA=OA,OB=OC,所以OABC^O,所以<O4,8C>=90。,所以

cos<OA,BC>=cos90°=0,故选D.

考点：1.空间中的垂直关系；2.空间向量的基本运算.

40.1+.

【解析】

试题分析：分析题意可知，设A(1,I),5(3,0),则。=Q4,b=OB,设C(x,y),

:.c=OC=(x,y),又,/(c-2ci)-(2b-3c)=0,：.(x-2)(6-3x)+(y-2)(0-3y)=0,

而0-2)2+()，-1)2=1,即点c在以(2,1)为圆心，1为半径的圆上，

.,.|/?-C|<7(3-2)2+(0-1)2+L=1+V2,故填：1+丘.

考点：平面向量数量积及其运用.

41.0.

【解析】

试题分析：利用向量加法的三角形法则即可求得答案.

解：(AC-DP+BA)+(CP-BD)=(BA+AC+CP)-<BD+DP)=BP-BP=0.

故答案为：0.

考点：向量加减混合运算及其几何意义.

42.272

【解析】

试题分析：由bcosC=3acosB-ccosB得sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB

sin+C)=3sinAcosBcos，由BA・BC=2,得accos3=2「.ac=6

.c1•n1A2&行

..S=一Qcsin8=—x6x---=272

223

考点：1.正弦定理；2.向量数量积运算

43.5

【解析】

试题分析：先求出1,再求出1+Er,问题得以解决.

解：向量ar(1，2),

•*-I=V5»

,f0，

•,•Ia+bl-Ial2+lb2+2a-b=(5&)2,

/.Ibl-25,

/.Ibl=5

故答案为：5.

考点：平面向量数量积的运算.

44.—

2

【解析】

试题分析：连接BO,又E为CO的中点

11

所以8石=-8。+—BC

22

又BD=AD-AB,BC=AD

所以8E=L(AO-AB)+LAZ)=AD—LAB

222

又BE=xAB+yAD

所以x=l,y=——

2

所以x+y='

2

考点：向量的线性运算.

45.120

【解析】

八ebb

试题分析：Cla,所以c.a=o；.(a+b)•a=()a・b--1/.cost)-....=—..6=120

丽2

考点：向量夹角

【解析】

试题分析：①：•.•〃?//〃，，---cosx------(-sinx)=O=>tanx=-l；②:显然|加|=|〃|=1,

22

m-H=llcos—=—，即——sinx------cosx=—，sin(x-----)=一,又丁xe(0,TT),

3222242

717157

••x----=—=>X=—.

4612

考点：1.平面向量共线的坐标表示；2.平面向量数量积：3.三角恒等变形.

47.加

【解析】

|«|=百+(-1)-=非

试题分析:由向量的模的公式可得:

考点：求向量的模

48.120°

【解析】

-2一一j

试题分析：设a与。夹角为。.由a_L（a+b）得，a+a-b=（）,；.4+2x4cos6=（）,解得，cos^=

所以8=120°.

考点：向量的数量积及其运算律并求向量的夹角.

49.-4

【解析】

试题分析：因为向量a=(1,2),)=(x,2),且。_16,所以lxx+2x2=0nx=T

考点：平面向量数量积证明垂直

50.-2

【解析】

t]-1

试题分析：—=—=.

2-11

考点：向量共线.

51.2

【解析】

试题分析：因为忖=2,根据向量的数量积可知：卜卜巴"%=昌=2.

pcos—2x—

II32

考点：1.向量的数量积；

52.V13

【解析】

试题分析：（卜_匕1=,]一2“人+恸2=忖2—2忖,卜0$夕+|『W=l，W=3,e=120°,所以

考点：向量的模

53.Vio

【解析】

试题分析：|2a—=4J+//-4a/=4+18—4xlx30cos45=10,所以^^一0=加.

考点：1向量的数量积;2向量的模.

54.2

【解析】

,…、〃(2+左，-1+左)//(—5,1)=>2+4=5—54=>左=’.

试题分析：("+如%=2

考点：向量平行的坐标表示

55.-3

【解析】

试题分析：由题意可知，「4=1,ZBC£>=135°,所以

ACBD=(AB+BCy(BC+CD}=ABBC+ABCD+Bc'+BCCD

=3x0cos1350-3xl+2+V2xlxcos45°=-3.

考点：平面向量数量积的运算.

56.>/5

【解析】

试题分析：Va=(-1,3)»b=(1,t),/.a-2b=(-3,3-2r),V(a-2b)±a,

・・・(q—2/7)・Q=0,即(一1)x(-3)+3(3-2。=0,即1=2,A/?=(!,2),

：.\b\=y/f+¥=y/5.

考点：向量的坐标、向量的垂直的充要条件、向量的模.

57.V13

【解析】

试题分析：因为同=2,忸=3,4,。的夹角为60。，所以悔-02=4,1一4。山+，=13.所以

|2«-Z?|=V13.

考点：1.向量的数量积.2.向量的模.

58.±2

【解析】由三角形的面积公式，得;网jAqsinAKxdxlsinAuG即sinA=等，cosA=±；;

C=|AB|-|AC|cosA=4xlx(±|)=±2.

则AB-AC

考点：三角形的面积公式、平面向量的数量积.

59.(1)----(2)A--

252

【解析】

试题分析：（1）本题考察的是两向量的夹角的余弦值，一般我们采用向量的数量积公式进行求解.根据题

目中所给条件可以求出a与万的数量积，然后通过模长公式分别求出a与力的模长，最后把求出的量代入

数量积公式即可求得Q与b的夹角的余弦值.

（2）本题考察的是两向