高中数学学案1：高中数学人教A版2019 选择性必修 第一册 空间向量的数量积运算

1.1.2空间向量的数量积运算

【学习目标】

课程标准学科素养

1.了解空间向量夹角的概念及表示方法.1、逻辑推理

2.掌握两个向量的数量积的概念、性质与运算律.(重点)2、数学运算

3.可以用数量积证明垂直，求解角度和长度.(重点、难点)3、数学抽象

【自主学习】

1.空间向量的夹角

⑴已知两个非零向量a,b,在空间任取一点0,作泊=a,OB=b,则/力如叫做

向量a,6的,记作.

(2)a,右为非零向量，〈a,b)={b,a),a与b的夹角的范围是,其中

当〈a,6〉=0时，a与b；当〈a,b)=n时，a与b；当〈a,

JI

b)=5时，a与b.反之，若allb,则〈a,b)=；若a_L6,

则〈a,b)=o

2.空间向量数量积

(1)概念：已知两个非零向量a,b,则叫做a,6的数量积，记作

a•b,即a•b=\a\\b\cos{a,6〉,

(2)投影向量：向量a向向量6投影，得到c=|a||引cos[a,b)=,

向量c称为向量a在向量b上的投影向量。

(3)性质

,a|2=,a\=,cos{a,b)=

(4)运算律

4(a•而=a,b=(交换律).a,(6+c)=

(分配律).

特别提醒：不满足结合律(a•历•c=a•(力•c).

【小试牛刀】

1.判断正错

(1)若非零向量a,力为共线且同向的向量，则a・b=|a||引.()

(2)对于向量a,b,c,有(a•6)•c=a•(力•c).()

1

(3)对任意向量a,b,满足|a•引W|a||引.()

(4)对于非零向量6,由可得a=c.()

2.对于向量a、b、。和实数4,下列命题中的真命题是().

A.若a•b=Q,则a=0或b=0

B.若4a=0,则4=0或a=0

C.若J=则a=力或a=——6

D.若a•b=a,c,则b=c

【经典例题】

题型一数量积的计算

注意:(1)已知a,8的模及a与6的夹角，直接代入数量积公式计算.

⑵如果要求的是关于a与6的多项式形式的数量积，可以先利用数量积的运算

律将多项式展开，再利用a•a=1a「及数量积公式进行计算.

例1如图所示，在棱长为1的正四面体/皿中，E,户分别是N6,4?的中点,

求：

⑴砺•威；⑵砺•诙；⑶砺•市(4)AB•CD.

［跟踪训练］1已知正四面体-N8C的棱长为1.

求：(1)成•龙；(2)(洒+丽•(德+函；

(3)\OA+OB+dc\.

2

题型二用数量积证明垂直问题

注意：（1）证明线线垂直的方法

证明线线垂直的关键是确定直线的方向向量，根据方向向量的数量积是否为0来

判断两直线是否垂直.

⑵证明与空间向量a,b,c有关的向量出A垂直的方法

先用向量a,b,c表示向量力，n,再判断向量出A的数量积是否为0.

例2如图所示，已知应和都是以。为直角顶点的直角三角形，且助=

BD=CD,N用。=60°.求证：物，平面

［跟踪训练］2已知空间四边形/皿中，ABVCD,ACLBD,那么与血的位置

关系

为.（填“平行”或“垂直”）

3

题型三用数量积求角度

注意：求两个空间向量a,6夹角的方法类同平面内两向量夹角的求法，利用公

3,•h

式cos〈a,b>=®I引，在具体的几何体中求两向量的夹角时，可把其中一个

向量的起点平移至与另一个向量的起点重合，转化为求平面中的角度大小问题

例3如图，已知正三棱柱ABC-AM的各条棱长都相等，〃是侧棱绐的中点，

则异面直线45；和阳所成的角的大小是.

［跟踪训练］3已知点。是正△力比'平面外的一点，若OA=OB=OC=AB=1,E、

厂分别是力反%的中点，试求施与防所成角的余弦值.

题型四用数量积求长度

注意:求解长度问题时，先选择以两点为端点的向量，将此向量表示为几个向量

和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式®

=y］a•a求解即可.

例4如图，已知0/皿中，”=4,CD=3,=60°,为，平面/灰〃并且

4

⑸=6,则。。的长为

［跟踪训练］4在平行六面体/比刀一48K〃中，AB=\,AD=2,AA,=3,ZBAD=

90°,N掰4=N%4=60°,求IC的长.

【当堂达标】

1.在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45。的是（）.

A.通与不

B.通与不》

C.通与4ZT

D.通与3'A'

2.已知|a|=2,|引=3,〈a,b）=60°,贝”2a—3引等于（）

A.y［97B.97

C.D.61

3.已知a,6是空间两个向量，若|a|=2,|引=2,|a—引=小，则cos〈a,b）

5

4.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=O,|a|=3,|引=1,|c|=4,则a•力

+b•c+c•a的值为.

5.已知|a|=3^,b\=4,m=a+b,n=a+b,〈a,b)=135°,mln,则

4=.

6.如图，在正方体NM?—44G〃中，M,N分别是棱5，M的中点，求异

面直线4〃与ZW所成的角。

7.在空间四边形如中，连接力C,0B,%=8,AB=Q,47=4,BC=3,AOAC=

45°,/OA8=60°,求向量洒与庆所成角的余弦值.

6

8.如图，正三棱柱45K中，底面边长为镜.

⑴设侧棱长为1，求证：

JI

(2)设力”与阳的夹角为T，求侧棱的长.

O

7

【参考答案】

【自主学习】

1.(1)夹角〈a,b)(2)[0,n]方向相同方向相反互相垂直。或口

JI

'2'

2.(1)\a\\b\cos［a,b)(2)(3)a•b=Qa•a'a,目［।，(4)

|b|7\a\\b\

(a),bb•aa•b+a•c

【小试牛刀】

1.VXVX

2.B【解析】对于A,可举反例：当a_L6时，a•6=0；

对于C,丁=氏只能推得|a|=|6|,而不能推出a=±6；

对于D,a•6=a•c可以移项整理推得a_L(b—c).

【经典例题】

例1解(1)£F«RA=^BD>~BA=^\BD\\~BA\•cos{RD,威〉=；cos60°=；.

(2)砺・BD=^BD-BD=^\BD\2=^.

⑶砺•龙=1■诙•皮=；|质|Telcos(BD,DC)=；cos120°=—；.

乙乙乙d

(4)曲面=称(AD~~AC)=AB•AD-AB•AC=\AB\\AD\COS{AB,Aff)~\AB\\AC

|cos〈AB,AC)

=cos60°—cos60°=0.

［跟踪训练］1⑴游•龙=|洒|0|cosNH如=1X1XCOS60°=；；

(2)(而+施•(/+函=(而+丽•(OA-OC+OB-O(^=(而+应•(0A+0B-

2击

=12+1X1XCOS60°-2X1X1XCOS60°+1X1XCOS60°+12-2XIXIX

cos60O=1；

8

(3)|OA+OB+OC\=^1^+03+O3)=^12+12+12+21X1XCOS60°X3=V6.

例2【证明】不妨设.AD=BD=CD=1,^1]AB=AC=y[2.

BD•AC=(肪一脑•AC=AD•AC-AB•AC,

由于万•元三万・(肪+龙)=肪•劝=1,AB*AC^\AB\•|lC|cos60°

=^/2X^2x|=l.：.BD*AC=Q,即劭，HC,又已知劭，49,ADQAC=A,

...如，平面ADC.

[跟踪训练]2解析'：AD'BC=(AB+~Bb)•(AC-AS)=AB-AC+BD•AC-A&-

AB*RD

=AB*(AC-AB-W)=AB>DC=0,

与a'垂直.

例390°【解析】不妨设棱长为2,则脑=丽一夙，瓦三反丽,

QBB-BA').(反'+；丽)

0—2+2—0

〈篇，酬=

COS2^2X^52小X部~0

［跟踪训练］3

a=I=|c=1,庞=g

设洒=a,而=b,0C=c,贝!Ja,b=b•c=c•a=—)b\

/、-1

(a+Z?),BF=~c—b,

~0E・诙=；(a+6).(|c—6)=|(1a.•c-a•b-\b\'2)(|+1—1-1)=

1

2,

_1

QE*BF_2_2

cos〈OE,BP)~0E\|BF\'x理§

22

2

・・异面直线与阳所成角的余弦值为鼻

•0EO.

9

例47【解析】'：PC=PA+AD+DC,

：.PC2=PC•PC={PA+AD+DCV=\PA\2+|AD|2+|DC|2+2

丽•AD+2PA•DC+2AD•DC=62+42+32+2|Al5\\DC|COS120°=

61-12=49.：.PC=7.

［跟踪训练］4解因为茶=荔+通+就，

所以定;=(9+筋+1X)2=赤+次+11；+2(荔・AD+AB-AA.+AD-M).

因为/掰〃=90°,N掰4=N%4=60°,

所以/；=l+4+9+2X(lX3Xcos60°+2X3Xcos60°)=23.

因为彩=1花广，所以|布『=23,

则|茶|=四，即月G=四.

【当堂达标】

1.A【解析】A,B,C,D四个选项中各对向量的夹角依次是45°,135°,

90°,180°.

2.C解析|2a—36r=4/—12a•6+95=4X2'—12X2X3Xcos60°+9X32=

61,：.\2a-3b\=^61.

3.1【解析】将Ia—引=巾化为(a—6)2=7,求得a功二巳,再由a'b=\a\|d|cos

〈&b)

求得cos〈a,6〉=；

o

4.—13【解析】*.*a+b~\-c=Q,(a+Z?+c)2=0,/.a-\-tf+c-\-2(a•b~\~

b•c+c•a)=0,

….32+l2+42_

:.a•b-\~b•c-vc•a=—------------=-13.

3

5.—］【解析】由勿_L〃，得(a+/?)•(a+几方)=0,，才+(1+X)a•5+X

=0,

3

.*.18+(4+1)X3^/2X4cos135°+164=0,即44+6=0,4=

10

6.解以点。为原点，以DA,DC,D以为x轴、y轴、z轴建立坐标系D-

xyz.设正方体的棱长为2,则羽'=(2,—1,2),方而=(0,2,1),丽-DN

=0,故异面直线4〃与初所成角为9