新教材高中数学必修第一册4. 3 对 数

4.3对数

4.3.1对数的概念

【学习目标11.了解对数的概念2会进行对数式与指数式的互化.3.会求简单的对数值.

知识梳理梳理教材夯实基础

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知识点一对数的有关概念

对数的概念：

一般地，如果〃=N3>0,且。,1),那么数X叫做以。为底N的对数,记作x=log“N,其中

a叫做对数的底数,N叫做真数.

常用对数与自然对数：

通常将以10为底的对数叫做常用对数,以e(e=2.71828…)为底的对数称为自然对数,logioN

可简记为1&N,logeN简记为InN.

知识点二对数与指数的关系

一般地，有对数与指数的关系：

若a>0,且aWl,则炉=M=>log“N=工.

对数恒等式：=乂；logaa'=x(a>0,且aWl).

知识点三对数的性质

1.1的对数为零.

2.底的对数为1.

3.零和负数没有对数.

-思考辨析判断正误

1.若3*=2,则x=log32.(V)

2.因为qi=a(a>0且aWl),所以logaa=l.(V)

3.logoN>0(a>0且°力1,N>0).(X)

4.若lnN=；,则N=Q).(X)

题型探究探究重点素养提升

!--------------------------------------N-------

一、指数式与对数式的互化

例1将下列指数式与对数式互化：

⑴2-2=±(2)102=100；

1

--

(3)efl=16；(4)644

(5)log39=2；(6)10gxy=z(x>0且尤Wl,y>0).

解(l)log2、=_2.

(2)logw100=2,即1g100=2.

(3)logel6=a,即In16=a.

(4)log64(=-1.

(5)32=9.

(6)X=y.

反思感悟指数式与对数式互化的思路

(1)指数式化为对数式：将指数式的森作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.

(2)对数式化为指数式：将对数式的真数作为尿，对数作为指数，底数不变，写出指数式.

跟踪训练1将下列指数式与对数式互化：

(l)log216=4；⑵log〕27=—3；

3

(3)43=64；(4)(J|-2=16.

解(1)由log216=4,可得24=16.

(2)由log[27=—3,可得。r=27.

3

(3)由43=64,可得log464=3.

(4)由g)-2=i6,可得log116=—2.

4

二、利用对数式与指数式的关系求值

例2求下列各式中x的值：

(l)log64X=—(2)logx8=6；(3)lg100=尤.

考点对数式与指数式的互化

题点对数式化为指数式

解⑴x=643=(43)3=r2==

⑵因为f=8,所以％==85=(23旭=2^=

(3)10*=100=102,于是尤=2.

反思感悟要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为指数式，再利用指数赛的运

算性质求解.

跟踪训练2⑴计算log927；log必81的值；

(2)求下列各式中x的值：

2

①log27X=-1；②log.J6=-4.

解(1)设尤=log927,则夕=27,3级=33,

.3

••~~39x=].

X

设x=log%81,贝“君)=81,34=3、；[=4,尤=16.

(2)①：10g27X=一|,

_2_21

:.X=T13=0)3=3-2=1.

②：1唱16=—4,

4=16,即X'=^=⑤4,

•»x-2,

三、利用对数性质及对数恒等式求值

例3求下列各式中x的值：

(l)log2(log5X)=0;(2)log3(lg无)=1；⑶尸71fg

考点对数式与指数式的互化

题点对数式化为指数式

解(1)*.*log2(log5X)=0,/.log5X=2°=l,.*.x=51=5.

(2)Vlog3(lgx)=l,lgx=31=3,/.x=103=l000.

7

(3)^=71-log75=7+710g75=7*5==.

反思感悟(1)此类题型应利用对数的基本性质从整体入手，由外到内逐层深入来解决问

题,logaN=0=N=l;logQN=l=N=〃使用频繁，应在理解的基础上牢记.

(2)符合对数恒等式的，可以直接应用对数恒等式：/log/N=N.

跟踪训练3⑴设310g3(2-1)=27,贝鼠=.

答案13

⑵若log2(log3X)=log3(log4y)=log4(log2z)=0,则x+y+z的值为()

A.9B.8C.7D.6

考点对数式与指数式的互化

题点对数式化为指数式

答案A

解析10g2（10g3X）=0,/.10g3X=1.

.,.尤=3.同理y=4,z=2.；.x+y+z=9.

随堂演练基础巩固学以致用

--------------------------N--------

1.将自-2=9写成对数式，正确的是（）

A.log9g=—2B.log]9=12

3

c.log1（-2）=9D.Iog9（-2）=|

3

答案B

解析根据对数的定义，得log]9=—2,故选B.

3

2.若10gaX=l,则（）

A.x—1B.a—1C.x—aD.x—10

考点对数式与指数式的互化

题点对数式化为指数式

答案C

3.方程2"绮="的解是（）

]

A.x=gB.x=jC.x=^3D.x=9

考点对数式与指数式的互化

题点对数式与指数式的互化

答案A

log2

解析V2^=2"A.,.log3x=-2,：,X=3=1.

4.下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）

A.e0=l与In1=0

B.8§=3与log8]二—1

2_

C.Iog39=2与9^=3

D.Iog77=l与71=7

考点对数式与指数式的互化

题点对数式与指数式的互化

答案C

5.已知log*16=2,则x=.

答案4

解析log.J6=2化成指数式为/=16,所以x=±4,

又因为尤＞0且xWl,所以x=4.

■课堂小结

1.知识清单：

(1)对数的概念.

(2)自然对数、常用对数.

(3)指数式与对数式的互化.

(4)对数的性质.

2.方法归纳：

(1)根据对数的概念进行指数式与对数式的互化.

(2)利用对数的性质及对数恒等式进行对数的化简与求值.

3.常见误区：易忽视对数式中底数与真数的范围.

课时对点练注重双基强化落实

'--------------------------------------3-----------------------------------------------------------N--------------------

营基础巩固

1.有下列说法：

①零和负数没有对数；

②任何一个指数式都可以化成对数式；

③以10为底的对数叫做常用对数；

④以e为底的对数叫做自然对数.

其中正确说法的个数为()

A.1B.2C.3D.4

考点对数的概念

题点对数的概念

答案C

解析①③④正确，②不正确，只有。＞0,且“W1时，〃=N才能化为对数式.

2.已知一Ine2=x,则尤等于()

A.-1B.-2C.1D.2

答案B

解析因为一lne2=x,

所以ln9=一九，e2=e-x,x=~2.

3.若log〃M=c,则下列等式正确的是()

A.b5—acB.b—a5cC.b—5acD.b=d。

答案B

55

解析由logaM^=c,得也，

所以b—a'c.

4.下列四个等式：

①lg(lg10)=0；②lg(lne)=0；③若lgx=10,则x=10；④若lnx=e,贝!Ix=e2.

其中正确的是()

A.①③B.②④C.①②D.③④

考点对数式与指数式的互化

题点对数式化为指数式

答案C

解析@lg(lg10)=lg1=0;②lg(lne)=lg1=0；

③若lgx=10,则x=10i°；④若lnx=e,则无=e，.

故只有①②正确.

5.若loga3=fft,loga5=",则。2加+”的值是()

A.15B.75C.45D.225

考点对数式与指数式的互化

题点对数式化为指数式

答案C

解析由loga3=ffi,得。"=3,由loga5=〃，得。"=5,

。2"，+"=(a，")2.a"=32X5=45.

6.log有81=.

考点对数式与指数式的互化

题点对数式化为指数式

答案8

解析设log有81=%,则(小)，=81,3万=3、＞4,£=8.

1

7.已知log7[log3(log2X)]=0,那么％'=.

考点对数式与指数式的互化

题点对数式化为指数式

口木4

解析10g7[10g3(10g2X)]=0,10g3(10g2X)=1,

=

・・log加=3,••2^x9

__1____1__也

=表』=4-

8.若对数log『i)(2x—3)有意义，则x的取值范围是

答案(|,2)U(2,+8)

X>1,

x—1>0,

解析由卜一1W1,xW2,

3

2x—3>0,x>2,

3

得且xW2.

9.将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.

(1)53=125；

1

(2)42=访；

(3)10gl8=-3；

2

(4)log3*=-3.

解(1)V53=125,；.log5125=3.

(2)：4-2=七.,.log4-^=-2.

(3)：log|8=-3,.•.(§-3=8.

2

(4);log3^=—3,A3-3=*.

10.(1)先将下列式子改写成指数式，再求各式中工的值.

21

①log2X=—苧②10gx3=-].

(2)已知6。=8,试用a表示下列各式.

①log68；②log62;③log26.

考点对数式与指数式的互化

题点对数式化为指数式

-2:反

解(1)①因为Iog2%=-亍?所以尤=25=与.

1--1

②因为log%3=-所以%3=3,所以％=3-3=力.

⑵①log68=a

a

②由6。=8得6a=23,即65=2,所以log62=1.

a

——34

③由63=2得2"=6,所以log26=7

X综合运用

11.方程lg(f—l)=lg(2x+2)的根为()

A.-3B.3

C.-1或3D.1或一3

答案B

解析由lg(/—l)=lg(2x+2),

得x2—l=2x+2,即x2—2x—3=0,

解得x=—l或x=3.

经检验x=—1是增根，所以原方程的根为x=3.

/[\-l+log0.54

12.1的值为()

73

A.6B，2C.8D.y

答案C

13.若10g(i—%)(l+x)2=l,贝!