高中数学《直线与方程》训练30题（含解析）

高中数学《直线与方程》专题训练30题（含解析）

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一、解答题

1.设椭圆C:1+y2=i的右焦点为尸，过尸的直线/与C交于AB两点，点”的坐标为（2,0）.

（1）当/与x轴垂直时，求直线AM的方程；

（2）设。为坐标原点，证明：Z.OMA=ZOMB.

【答案】（1）4W的方程为尸-孝x+&或y=（2）证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）首先根据/与x轴垂直，且过点尸（1,0）,求得直线/的方程为x=l,代入椭圆方程求得点A的坐标为11,等

或等），利用两点式求得直线AM的方程；

（2）分直线/与x轴重合、/与x轴垂直、/与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直

观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.

【详解】

（1）由已知得F（LO）,1的方程为x=l.

由己知可得，点A的坐标为或L--相）•

所以AM的方程为y=-^-x+41或y=.

（2）当/与x轴重合时，^OMA=ZOMB=0°.

当/与x轴垂直时，QM为48的垂直平分线，所以=

当/与x轴不重合也不垂直时，设/的方程为y=%（x-1）住40）,A（X"J,B（X2，%），

则石＜血,々＜0,直线也M、MB的斜率之和为=黄3+黄].

2kx.x?-3Mxi+x,）+4攵

由必=g—乂必二履2一2得仁W4+38=---（；._2）红—2）---.

将y=衣卜―1）代入:+丁=1得（2公+l）f—4公x+2公—2=0.

g、i4k22k2-2

所以，X.+x=—；—,xx=-.

10-2k1+\1272公+1

“，/\4〃_4%-12〃+8〃+4%八

贝ij2kx[X]—3A（X[+x?）+4a=-----------------------=0.

从而&MA+&8=。，故M4、例8的倾斜角互补，所以NOM4=NQW8.

综上，NOMA=NOMB.

【点睛】

该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于

角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是

应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联

立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.

2.设抛物线C：V=2x,点A(2,0),8(—2,0),过点A的直线/与C交于M,N两点.

(1)当/与x轴垂直时，求直线BA7的方程；

(2)证明：ZABM=ZABN.

【答案】(1)y=—x+l^y=——x—1i(2)见解析.

【解析】

【分析】

(1)首先根据/与x轴垂直，且过点A(2,0),求得直线/的方程为x=2，代入抛物线方程求得点M的坐标为(2,2)

或(2,-2),利用两点式求得直线8M的方程；

(2)设直线/的方程为x=+2,点N&,y2),将直线/的方程与抛物线的方程联立，列出韦达

定理，由斜率公式并结合韦达定理计算出直线8M、BN的斜率之和为零，从而得出所证结论成立.

【详解】

(1)当/与工轴垂直时，/的方程为x=2,可得M的坐标为(2,2)或(2,-2).

所以直线的方程为、=；》+1或＞=-；X-1；

(2)设/的方程为x=沙+2,用(与,〉|)、N(x2,y2),

[x=ty+2,.

4

由，得y2-2fy-4=。，可知%+力=2乙yty2=~.

=2x

直线BM、BN的斜率之和为

.,=y必=(±+2)»+(占+2)%=(仇+4)一+(再+4)%

BMBL玉+2/―—(%+2)伍+2)一(%+2)(刍+2)

=2。1必+4(y+丫2)=2rx(~4)+4x2f=0

(X1+2)(W+2)a+2)(w+2)'

所以心材+怎.=。，可知BM、8N的倾斜角互补，所以NABM=NABN.

试卷第2页，共29页

综上，ZABM=ZABN.

【点睛】

该题考查的是有关直线与抛物线的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与抛物线相交的综合问题、

关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的

就是应该是两个，关于第二问，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积,

借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.

3.已知直线尔+y-3利-1=0恒过定点A.

(I)若直线/经过点A且与直线2x+y-5=0垂直，求直线/的方程；

(H)若直线/经过点A且坐标原点到直线/的距离等于3,求直线/的方程.

【答案】(I)x-2y-\=0.(II)x=3或4x+3y-15=0.

【解析】

【分析】

(I)求出定点A的坐标，设要求直线的方程为x-2y+〃=0,将点A的坐标代入方程可求得〃的值，即可写出

直线/的方程

(II)分直线/斜率存在和不存在两种情况讨论，根据点到直线的距离公式即可得到答案

【详解】

直线，我+)，-3机-1=0可化为zn(x-3)+y-l=0,

fr—3=0fx=3

由Iy_1=0可得1y=r所以点A的坐标为(3,1).

(I)设直线/的方程为x-2y+〃=0,

将点A(3,l)代入方程可得”=T,所以直线/的方程为x-2y-l=0,

(II)①当直线/斜率不存在时，因为直线过点A,所以直线方程为x=3,

符合原点到直线/的距离等于3.

②当直线/斜率不存在时，设直线/方程为丫=履-3々+1,即丘-k3&+1=0

因为原点到直线的距离为3,所以13,解得人=-；

42+13

所以直线/的方程为4x+3y-15=0

综上所以直线/的方程为x=3或4x+3y-15=0.

【点睛】

本题主要考查了直线的垂直关系的应用及直线方程的求法，点到直线的距离公式，主要分斜率存在和不存在两种

情况讨论，属于基础题.

4.如图，在平面直角坐标系如丫中，点40,3),直线/:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在/上.

(1)若圆心C也在直线y=x-l上，过点A作圆C的切线，求切线方程；

(2)若圆C上存在点M,使=求圆心C的横坐标。的取值范围.

12

【答案】(1)y=3或3x+4y-12=0；(2)[0,二].

【解析】

【分析】

(1)两直线方程联立可解得圆心坐标，又知圆C的半径为1,可得圆的方程，根据点到直线距离公式，列方程可

求得直线斜率，进而得切线方程；(2)根据圆C的圆心在直线/：y=2x-4上可设圆C的方程为

(x—。)2+卜，-(2a-4)『=l,由M4=2MO,可得M的轨迹方程为V+曰+1>=4,若圆C上存在点使

MA=2MO,只需两圆有公共点即可.

【详解】

v=2x-4

(1)由｛，'得圆心C(3,2),

y-x-\,

•..圆C的半径为1,

...圆C的方程为：(x-3>+(y-2)2=l,

显然切线的斜率一定存在，设所求圆C的切线方程为丫=丘+3,即依-y+3=0.

.段-2+3],

3

2k(4k+3)=0,・,•女=0或上=—.

4

・・・所求圆C的切线方程为)=3或3x+4y-12=0.

(2);圆C的圆心在直线/：y=2x-4上，所以，设圆心。为32〃-4),

则圆C的方程为(x-4)2+[y-(2a-4)『=I.

又,：MA=2MO,

.•.设M为(x，y),则，？+(y-3)2=2旧+9，整理得/+日+1)2=4,设为圆£).

试卷第4页，共29页

所以点〃应该既在圆C上又在圆。上，即圆C和圆。有交点，

••|2-1|+[(2a-4)-(-1)]~q2+,

由5/一12。+820,得awR,

12

由5/—12〃<0,WO<«<y.

综上所述，”的取值范围为0,y.

考点：1、圆的标准方程及切线的方程；2、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.

【方法点睛】

本题主要考查圆的标准方程及切线的方程、圆与圆的位置关系及转化与划归思想的应用.属于难题.转化与划归思

想是解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及

知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，

这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握

并应用于解题当中.本题(2)巧妙地将圆C上存在点使M4=2MO问题转化为，两圆有公共点问题是解决问

题的关键所在.

5.已知直线/方程为(〃z+2)x-%y-3ni-8=0,m&R.

(1)求证：直线/恒过定点P,并求出定点P的坐标；

(2)若直线/在x轴，y轴上的截距相等，求直线/的方程.

【答案】(1)尸(4,1)

(2)x+y-5=0或x-4y=0

【解析】

【分析】

(1)将含有机的项提取出来，再令机所乘的式为0,不含机的项也为0,列方程求解即可.

(2)算出直线/在轴上的截距令其相等求解即可.

【详解】

(1)由(〃?+2)x-叼-3加-8=0化筒得加(x-y-3)+2x-8=0,

令|fx2—'y=—30=0fx=4「故直线/恒过定点P.(4』、)

(2)由题得-3m一8=0中加+2工0,加工0.

令x=0有一四一3〃?-8=0=丫=*—3/%，—8,故/在〉轴上的截距—为3/77*—_8^

mm

令尸0有("7+2)%一3帆一8=0=彳=+8.故/在y轴上的截距为当”+8.

''m+2m+2

..-3w83，”+8/_.\八,,_4i8

故------=----n（3，w+8）（2/n+2）=0,故，”=-1或，〃=-3.

当W=-1时，化简得X+y—5=0,当机=_］时,化简得x-4y=0

故直线的方程为中-5=0或x-4y=0

【点睛】

本题主要考查了直线方程的定点问题以及解决的问题等，属于中等题型.

6.在A/WC中，4-1,2）,边AC上的高BE所在的直线方程为7x+4y-46=0,边AB上中线CM所在的直线方程

为2x—lly+54=0.

（1）求点C坐标；

（2）求直线BC的方程.

【答案】（1）C（6,6）（2）x+2y-18=0

【解析】

【分析】

（1）由AC边上的高8E所在的直线方程可得乂C.利用点斜式可得AC方程，与CM方程联立解得C坐标.（2）

设3点坐标，可得中点M坐标代入CM方程，与BE方程联立，可得点B坐标，利用点斜式即可得出所求直线方

程.

【详解】

4

（1）AC边上的高为7x+4y-46=0,故AC的斜率为一，

7

4

所以AC的方程为y-2=；（尤+1）,

即4x-7y+18=0,

因为CM的方程为2x—Uy+54=0

露于‘解得x=6

y=6

所以C（6,6）.

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(2)设5(小,%),A7为48中点，则A7的坐标为—，山；一J,

2血^-11维吆+54=0,伉=2

<22解得=区，

7%+4%-46=01为=*

所以8(2,8),又因为C(6,6),

所以8c的方程为丫-6=衿2—6(》-6)

2—6

即BC的方程为x+2y-18=0.

【点睛】

本题考查两条直线垂直的应用、考查中点坐标公式以及直线方程的求法，考查推理能力与计算能力，属于基础题.

7.已知圆C的圆心在x轴上，且经过点4—1,0),8(1,2).

(I)求线段48的垂直平分线方程；

(II)求圆C的标准方程；

(HI)过点尸(0,2)的直线/与圆C相交于〃、N两点，且|MN|=2G，求直线/的方程.

【答案】(I)y=-x+l；(II)(x-l)2+y2=4；(III)x=0或3x+4y-8=0.

【解析】

【分析】

(I)利用垂直平分关系得到斜率及中点，从而得到结果；

(II)设圆C的标准方程为(X-。)2+产=产，结合第一问可得结果；

(III)由题意可知：圆心C到直线的距离为1,分类讨论可得结果.

【详解】

解：(I)设A3的中点为。，则。(0,1).

由圆的性质，得所以绘Wx&/J=-1,得％=-1.

所以线段AB的垂直平分线的方程是y=-x+L

(II)设圆C的标准方程为(x-a)2+y2=〃，其中C(a,0),半径为，(r>0).

由圆的性质，圆心C(a,0)在直线8上，化简得4=1.

所以圆心C(l,0),

TC4|=2,

所以圆C的标准方程为(x-1>+丁=4.

(III)由⑺设F为仞V中点，则CFJJ,得|FM|=|FN|=6.

圆心C到直线的距离1=|0用=也-(扬2=1.

(1)当/的斜率不存在时，/:x=0,此时|CF|=1,符合题意.

(2)当/的斜率存在时，设/:丫=履+2,即"一y+2=0,

由题意得a」小解得：k=-j

\Jk2+l4

3

故直线/的方程为y=-x+2,即3x+4y-8=0.

综上直线/的方程x=0或3x+4y-8=0.

【点睛】

圆内一点为弦的中点时，则此点与圆心的连线和弦所在的直线垂直；解决圆的弦长有关问题，注意弦长一半、弦

心距、半径构成的直角三角形的三边的勾股数之间的关系.

8.已知直线/：x-y+5=0,圆A：(x-4)2+(y-3)2=4,点8(-2,-3)

(1)求圆上一点到直线的距离的最大值；

(2)从点B发出的一条光线经直线/反射后与圆有交点，求反射光线的斜率的取值范围.

【答案】(1)30+2;⑵

【解析】

【分析】

(1)根据圆心到直线的距离与圆的半径的关系，求得圆心到直线的距离，即可计算最大值；

(2)设点矶-2,-3)关于直线x-y+5=0直的对称点为(孙江列出方程组，求的“，〃的值，得出对称点的坐标，

进而设出直线的方程y-3=A(x+8),利用即可求解.

【详解】

(1)圆心为(4,3),半径/"=2,

由公牛目=30>/

V2

直线与圆的位置关系为相离，

所以圆上一点到直线距离最大值为"+r=3夜+2

(2)设点3(-2,-3)关于直线x-y+5=0直的对称点为(m,n)

m-2n-3「八

------------------5=0-8

由2n+32=：二］即反射线过点(一8,3)

-----—•1=—1I~

m+2

由题意反射线的斜率k必存在，设方程为：y-3=k(x+8),

试卷第8页，共29页

即：kx-y+8k+3=0,由d«r得,J4k-3-r—+8k~+3l<2

Vk2+1

整理得35k2Ml,

解得-亘4k«叵，

3535

所以斜率的取值范围为-甯，噜.

【点睛】

本题主要考查了圆的方程应用，以及直线与圆的位置关系的应用问题，其中解答中根据题意，合理转化，建立不

等式关系式是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用.

9.已知AABC的三个顶点分别为4-4,0),8(0,2),C(2,-2),求：

(1)边上的高所在直线的方程；

(2)A43C的外接圆的方程.

【答案】(1)2x+y-2=0；(2)x2+y2+2x+2y-8=0

【解析】

【分析】

(1)根据高与底边A3所在直线垂直确定斜率，再由其经过点C,从而由点斜式得到高所在直线方程，再写成

一般式.

(2)设出A4BC的外接圆的一般方程，将三个顶点坐标代入得到关于。,民尸的方程组，从而求出外接圆的方程.

【详解】

(1)直线AB的斜率为:，AB边上的高所在直线的斜率为-2,则AB边上的高所在直线的方程为y+2=-2(x-2),

即2x+y-2=0

-4Z)+F+16=0D=2

(2)设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0由｛2E+F+4=0,解之可得｛E=2故△ABC的外

2£>-2E+F+8=0F=-8

接圆的方程为x2+y2+2x+2y-8=0

【点睛】

主要考查了直线方程与圆的方程的求解，属于基础题.

10.己知直线4：x+m)'+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0.

⑴若…,求加的值；

(2)若“4,求”?的值.

【答案】(1)m=-i(2)m=-\

2

【解析】

【分析】

(1)利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得lx(m-2)+mx3=0,由此求得〃?的值.

(2)利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得声学，由此求得得加的值.

【详解】

(1)二•直线x+my+6=0fh：(根-2)x+3y+2m=0,

由，可得1X(%Z-2)+772X3=0,解得加=1.

2

(2)由题意可知m不等于0,

由//〃/2可得上」=上二=，解得加=7.

1m8

【点睛】

本题主要考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题.

11.已知向量方=(3,-4),而=(6,-3),OC=(5-<3).

(1)若点A,B,C三点共线，求x的值；

(2)若AABC为直角三角形，且为直角，求x的值.

【答案】(1)x=-19；(2)x=l.

【解析】

(1)由点A,B,C三点共线可得而和而共线，解关于x的方程可得答案；

(2)由AABC为直角三角形可得通_L团，即福.而=0，解关于*的方程可得答案.

【详解】

(1)OA—(3,—4),OB=(6,-3),OC=(5-x,3),

AS=0^-04=(3,1),BC=OC-OB=(-l-x,6')

•・,点A,B,C三点共线，，通和就共线，

3x6=—1—x,解得x=—19；

(2)•.・△ABC为直角三角形，且D8为直角，

AfiBC=3(-l-x)+6=0,

解得x=l.

【点睛】

方法点睛：利用向量的位置关系求参数是出题的热点，主要命题方式有两个：(1)两向量平行，利用不必-々y=。

试卷第10页，共29页

解答；（2）两向量垂直，利用为七+乂%=。解答.

12.已知直线方程为（2—〃?）x+（2〃?+l）），+3〃?+4=0.

（1）证明：直线恒过定点；

（2），"为何值时，点Q（3,4）到直线的距离最大，最大值为多少？

（3）若直线分别与x轴，y轴的负半轴交于A,8两点，求AAO8面积的最小值及此时直线的方程.

【答案】（1）证明见解析；（2）机=9时，距离最大，最大值为2m；（3）AAOB面积的最小值为4,此时直线

方程为2x+y+4=0.

【解析】

【分析】

（1）整理直线方程可得方程组，解方程组可求得定点坐标；

（2）易知当定点P与。连线垂直时，点。到直线距离最大；求出P。方程后，利用直线垂直关系可构造方程求得

;利用两点间距离公式可求得最大值；

（3）利用直线方程可AB坐标，并确定机的取值范围，利用m表示出醺,神，可得一个分式型的函数，通过换元

019

法可表示出"。3—250工25由二次函数最值的求解方法可求得所求面积最小值，并求得加的值，由此

一产十:一2

可得直线方程.

【详解】

（1）由直线方程整理可得：（―x+2y+3）帆+2x+y+4=0,

由得：｛；二;,•••直线恒过定点咱，一生

（2）由（1）知：直线恒过定点P（—L—2）,

则当PQ与直线垂直时，点。到直线距离最大，

又PQ所在直线方程为：瞿=炉，即3x-2y-l=0,

4+23+1

・•・当PQ与直线垂直时，3（2-机）—2（2%+1）=0,解得：机q；

则最大值|「。|=J-，+（-2-4）2=2JR.

（3）由题意知：直线斜率存在且不为零,

3〃?+4[3〃?+4

令％=0得：即80,一

y=2机+1I2m+1

令y=0得：X=-3^m—+4即A(—

2-mI2-m)

3，%+4八

-----<0

+11c

又A,B位于轴的负半轴，jI，解得:——<m<2•

+4八2

-----<0

2-m

仁13/n+43瓶+41(3机+4)~

S=-x-----x-----=—x—----乙----

△Ar)R22-m2mU2-2/n2+3/n+2

r-4

令3m+4=，，则.1m=---

23

19产9

.-.S=-x----------——x-----------=-x----------

4A(Jn2t-42-2『+25f-5025025

+3xz—+2〉+「2

3f,

210t5

一当”一29

则当即2。时,g，丁・(SAAO8)而n=4,

max

此时直线的方程为：2x+y+4=0.

13.已知直线1：kx-y+l+2k=0(keR)

(1)证明直线1经过定点并求此点的坐标;

(2)若直线1不经过第四象限，求k的取值范围;

(3)若直线1交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,0为坐标原点，设AAOB的面积为S,求S的最小值

及此时直线1的方程.

【答案】(1)定点(-2,1)(2)k>0；(3)见解析

【解析】

【分析】

分析：(1)直线1的方程可化为y=k(x+2)+1,直线1过定点(-2,1)；(2)要使直线1不经过第四象限，则直

线的斜率和直线在y轴上的截距都是非负数，解出k的取值范围;

(3)先求出直线在两个坐标轴上的截距，代入三角形的面积公式，再使用基本不等式可求得面积的最小值.

【详解】

(1)直线1的方程可化为y=k(x+2)+1,

故无论k取何值，直线1总过定点(-2,1).

(2)直线1的方程可化为y=kx+2k+l,则直线1在y轴上的截距为2k+l,

要使直线1不经过第四象限，则

0

解得k的取值范围是kK).

(3)依题意，直线l:y=kx+2k+l,在x轴上的截距为生，在y轴上的截距为l+2k,

k

14.9V

AA(-一^,0),B(0,l+2k),

k

试卷第12页，共29页

1

又-卓且i+2k>0,

.,.k>0,故S=3OA||OB|[x野旦(i+2k)

/ZK

(4k+—+4)J(4+4)=4,

2k2

当且仅当4k[，即k=[•或4时，取等号，当k=4时直线过原点，不存在三角形，故舍掉.

此时直线方程为：y=；x+2

【点睛】

点睛：本题考查直线过定点问题，直线在坐标系中的位置，以及基本不等式的应用(注意检验等号成立的条件).在

利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑''等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为

正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现借误.

14.平面直角坐标系中，已知AAfiC三个顶点的坐标分别为A(-l,2),8(-3,4),C(0,6).

(1)求BC边上的高所在的直线方程；

(2)求AABC的面积.

【答案】(1)3x+2y-l=O；(2)5

【解析】

【分析】

(1)写出BC边所在的直线的斜率，即可求出BC边上高的斜率，根据点斜式写出方程；(2)利用点到直线的

距离求三角形的高，再根据两点间的距离求三角形的底BC,即可得解.

【详解】

6-423

(1)直线的斜率须c=.//=£，则8C边上高所在直线斜率女=-\,

U—1―3)32

3

则8c边上的高所在的直线方程为丁-2=-1。+1),即3x+2y-1=0.

2

(2)8c的方程为y=§x+6,2x-3y+18=0.

上云QI_>r,12x(—1)—3x2+181lojl3

点A到直线BC的距图d=-_八一…——1=，

X/32+2213

|BC|=7(0+3)2+(6-4)2=V13,

则AA8C的面积S=g|BC|d=gx7i5xU^Z=5

【点睛】

本题主要考查了直线方程的点斜式，垂直直线斜率间的关系，点到直线的距离，属于中档题.

15.已知直线4:2x-y+l=0和4:x-y-2=0的交点为P.

(1)若直线/经过点P且与直线，3：4尤-3丫-5=0平行，求直线/的方程；

(2)若直线机经过点尸且与x轴，y轴分别交于A,8两点，P为线段AB的中点，求的面积(其中。为

坐标原点).

【答案】(1)4x-3y-3=0；(2)30

【解析】

【分析】

(1)先求出交点尸的坐标和直线的斜率，再用点斜式求直线的方程；

(2)先求出A、B两点的坐标，再利用三角形的面积公式，求得AOS的面积.

【详解】

2x-y+l=0

解：(1)由

x-y-2=0

x=-3

解得:

y=-5

可得直线4：2x-y+l=。和4：x-y—2=0的交点为P=(-3,-5),

4

由于直线人的斜率为3，

4

故过点尸且与直线/3：4犬-3尸5=0平行的直线/的方程为》+5=薮。+3),

g|J4x-3y-3=0；

(2)由题意知：直线机的斜率存在且不为零，

设直线m的斜率为k,则直线m的方程为y+5=&(x+3),

由于直线，”与x轴，)，轴分别交于A,B两点，

且P=(-3,-5)为线段的中点，

3k-5「

-------=-5

I2

解得A=-g，

故A（-6,0）,8（0,-10）,

故的面积为gx|OAHOB|=gx6xl0=30.

试卷第14页，共29页

16.点在函数y=-2x+8的图像上，当xw［2,5］时，求二的取值范围.

x+l

【答案】-

o3

【解析】

【分析】

由—=匕兴的几何意义是过“(片丹川(-1，-1)两点的直线的斜率且点乂在线段"-21+8/£［2,5］上运动,

可求两端点处斜率，利用数形结合可求最值.

【详解】

”_=匕空的几何意义是过加(尤00,77(-1,-1)两点的直线的斜率，点乂在线段丫=-2犬+8,工€［2,5］上运动，

易知当x=2时，y=4,此时/(2,4)与N(-l,-l)两项连线的斜率最大，为|；

当x=5时，y=-2,此时M(5,-2)与两点连线的斜率最小，为一:领|,即〃尸的取值范围为

」工

.-6,3.

【点睛】

本题主要考查了直线的斜率，直线的倾斜角与斜率的关系，数形结合的思想，属于中档题.

17.求y=J(x+3)2+16+J(x-5y+4的值域

【答案】［10,+oo)

【解析】

利用两点间的距离公式将问题转化为平面内一点P(x,0)到点4(—3,4)和点8(5,2)的距离之和，找出8关于x

轴的对称点夕(5,-2),连接A夕交x轴于一点P,此时距离之和最小.

【详解】

如图，函数y=J(x+3>+16+J(x-5y+4的几何意义为

平面内一点P(x,0)到点A(—3,4)和点B(5,2)的距离之和.

由平面解析几何知识，找出8关于x轴的对称点夕(5,-2),

连接A夕交x轴于一点尸，此时距离之和最小，

/.ymin=\AB'\=7s2+62=10»又y无最大值，

所以y£[10,+00).

【点睛】

本题考查了两点间的距离公式，点对称问题，考查了数形结合以及转化与化归的思想，属于基础题.

18.已知直线1的方程为3x-4y+2=0.

(1)求过点(-2,2)且与直线1垂直的直线方程；

(2)求直线x-y-l=O与2x+y-2=0的交点，且求这个点到直线1的距离.

【答案】(1)4x+3y+2=0(2)1

【解析】

【分析】

(1)与1垂直的直线方程可设为4x+3y+c=0,再将点(-2,2)代入方程可得；(2)先求两直线的交点，再用点到

直线的距离公式可得点到直线1的距离.

【详解】

解：(1)设与直线3%—4丫+2=0垂直的直线方程为4犬+3丫+。=0,把(-2,2)代入，得—8+6+c=0,解得c=2,

.•.所求直线方程为4x+3y+2=0.

⑵解方程组信fx-y一-1==0,。得\］x=\,。「.•直线与3-2=。的交点为a。)，点a。)到直线32+2=。

人一|3xl-4x0+2|

的距离际1

【点睛】

本题考查两直线垂直时方程的求法和点到直线的距离公式.

19.己知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0,c)(c>0)到直线Lx-y—2=0的距离为亭.设P为直线/上的

点，过点尸作抛物线C的两条切线尸4P凡其中4B为切点.

(1)求抛物线C的方程；

(2)当点尸(为,%)为直线/上的定点时，求直线A8的方程；

(3)当点尸在直线/上移动时，求|AF|•忸耳的最小值.

试卷第16页，共29页

2a

【答案】(I)x=4y(II)V-2y-2yo=O(HI)怖

【解析】

【详解】

试题分析：（1）设抛物线C的方程为/=4。，，利用点到直线的距离，求出c=l,得到抛物线方程；（2）对抛物线

方程求导，求出切线P4PB的斜率，用点斜式写出切线方程，化成一般式，找出共同点，得到直线A8的方程；（3）由

抛物线定义可知|M|=M=%+1，联立直线与抛物线方程，消去x，得到一个关于＞＞的一元二次方程,由韦达

定理求得y+%，X%的值，还有%=%+2,将\AF\-\BF\表示成为的二次函数的形式,再求出最值.

试题解析：解：（1）依题意，设抛物线C的方程为尤2=4勺，由匹曰=述结合c＞0,

2

解得c=l,所以抛物线C的方程为f=4y.

（2）抛物线C的方程为/=4y,即求导得＞，=!丫，

设A&,y）,双天,%）（其中y=二，%=三）则切线PA,PB的斜率分别为枭,

4422

所以切线丛的方程为y-%=5（x7j,即＞=色吟+,，即中-2y-2y=0,

同理可得切线尸B的方程为x?x-2y-2y2=0,

因为切线尸APB均过点P5,%）,所以中。一2%-2M=0,x2xo-2yo-2y2=0,

所以（百，%），（孙力）为方程xox-2%-2y=0的两组解，

所以直线AB的方程为x°x-2y-2%=0.

（3）由抛物线定义可知|AE|=x+1,网=%+1，

联立方程-2）'。二°,消去x整理得V+Q%-%）y+B=0.

由一元二次方程根与系数的关系可得X+%=£-2%4跖=y：,

所以|四一|明=yxy2+（x+%）+1=北+片-2%+1

又点P小，%）在直线/上，所以%=为+2,

所以y；+石一2%+l=2y；+2为+5=2（%+g）+?,

所以当为=-；时，同斗忸尸|取得最小值，且取得最小值为‘

考点：1.点到直线距离公式；2.抛物线方程；3.利用导数求抛物线上某点切线的斜率；4.二次函数求最值.

【方法点晴】本题利用抛物线为载体,考查了求抛物线方程，利用导数求抛物线上某点切线的斜率等知识点，属于中

档题.第一问很容易，第二问中，利用导数求抛物线上一点的切线斜率,比用联立方程，判别式等于0的方法要好，步骤

少，花的时间也少.从切线PAP8的方程，得出直线AB的方程;第三问先用抛物线定义把|A尸I，忸目的值表示出来，联

立直线AB与抛物线方程，得到的值，将|加十|防|表示成为的二次函数的形式,再求出最值.

20.己知0为坐标原点，倾斜角为半的直线/与轴的正半轴分别相交于点A,8,的面积为8G.

（I）求直线/的方程；

（H）直线「过点。且与/平行，点尸在「上，求1PAi+|冏的最小值.

【答案】（1）y=-百x+46（2）4百

【解析】

【详解】

试题分析：（1）根据斜截式写出直线方程），=-Gx+b,b>0,求出与坐标轴的截距，列出三角形面积

^OAB=-^—bxb,解方程可得b=46，即得直线方程（2）根据几何意义求对称点化曲为直：即先求出点A关

于直线/'的对称点为4,则1pAi+|依|的最小值为,却

试题解析：解：（I）依题意得，直线/的斜率％=tan曰=-6

设直线/的方程为y=

解得直线/与坐标轴正半轴的交点坐标为白4。与5（0,。），其中6>0

所以先的=gx#"b=86

解得方=46.

所以直线/的方程为y=-后+46

试卷第18页，共29页

由（I）得A（4,0）,B（0,4G）

直线/'的方程为y=-Gx

设点A关于直线「的对称点为,

由对称性可知IM=|PA'|

n—0,^3

则Jm~43

122

解得北二6所以A'卜2,-26）

■.■\P^+\PB\=\PA'\+\PB\

...当4,B,P三点共线时，|网+|「同值最小,

所以（附+|「町向=|4同=4e

21.已知直线6：皿-2（〃2+1力+2=0,/,:x-2y+3=0,%：x-y+l=0是三条不同的直线，其中me/?.

（1）求证：直线4恒过定点，并求出该点的坐标；

（2）若以/?,（,的交点为圆心，2道为半径的圆C与直线4相交于A8两点，求|A网的最小值.

【答案】（1）证明见解析；定点坐标。（2,1）；（2）2M

【解析】

【分析】

（1）将4整理为：机（x-2y）-（2y-2）=0,可得方程组，从而求得定点；（2）直线方程联立求得圆心坐标，将

问题转化为求圆心到直线4距离的最大值的问题，根据圆的性质可知最大值为C。，从而求得|A四最小值.

【详解】

（1）证明：4:mr-2（〃?+l）y+2=0,可化为：，〃（x-2y）-（2y-2）=0

人fx-2y=0R,

令,；,、，解得：x=2,y=l

[2y-2=0

；•直线”亘过定点0（2,1）

（2）将4：x-2y+3=0,/3：x-）'+1=。联立可得交点坐标C（l,2）

设C。,2）到直线/,的距离为d,则\AB\=2ylr-d2=2,12-/

则求|A目的最小值，即求d的最大值

由（1）知，直线《恒过点。（2,1）,则d最大时，CDL,即4侬=CD

\CD\=7（2-1）2+（1-2）2=>/2

=2J12-2=2>/K）

【点睛】

本题考查直线过定点问题的求解、直线被圆截得弦长的最值的求解，关键是能够根据圆的性质确定求解弦长的最

小值即为求解圆心到直线距离的最大值，求得最大值从而代入求得弦长最小值.

22.己知直线4:（，〃+2）x+，〃），-8=0与直线4:mx+y-4=0,meR.

（1）若/他，求机的值；

（2）若点P（l,m）在直线4上，直线/过点P,且在两坐标轴上的截距之和为0,求直线/的方程.

【答案】（1）m=-i,（2）x-y+l=0或y=2x

【解析】

【分析】

（1）由题意可知加*0,所以可得也工=：二二，从而可求出山的值；

m1-4

（2）将点尸（1,加）的坐标代入直线4的方程中，求出机的值，从而可得点尸的坐标，然后设出直线/方程，利用

两坐标轴上的截距之和为0,列方程可求出直线方程

【详解】

解：（1）因为〃//,,所以机/0,且9=生力二，

m1-4

“7+2m

由----=--,得加2—777—2=（）,解得加=-1或m=2（舍去）

m1

试卷第20页，共29页

所以机=一1,

(2)因为点在直线4上，

所以加+加一4=0,得m=2,所以点尸的坐标为(L2),

所以设直线/的方程为y-2=Z(x-l)(ZwO),

2

令x=0,则y=2-k,令y=0,贝||x=l—,

k

因为直线/在两坐标轴上的截距之和为0,

2

所以1-7+2-%=0,解得％=1或&=2,

k

所以直线/的方程为x-y+l=0或y=2x

23.已知直线/经过两条直线4：x+y-4=0和Ax-y+2=O的交点，直线g：2x-y-l=0；

(1)若/〃％,求/的直线方程；

(2)若",求/的直线方程.

【答案】(1)2x—y+l=0；⑵x+2y—7=0

【解析】

【分析】

(1)先求出4与4的交点，再利用两直线平行斜率相等求直线/

(2)利用两直线垂直斜率乘积等于-1求直线/

【详解】

(1)由］八，得a，

"与4的交点为(