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文档简介
新课标数学(文)“小贴土”
第一章集合与简易逻辑
1.常见几种集合的运算
1)元素型:如加={x|0WxW3,xeZ},N={—1,0,1}则McN=
2)不等式型:如4={幻J1>。],求“交、并集”时,应借助“数轴”
3)方程的根:如4={*|%2-2%—3=0}={-1,3}
4)函数型:如—={%及=108(,(%-1)}={%|%>1}是指函数的定义域;
而8={y|y=log"(x-l),x>l}={y|yeR}是指函数的值域;
5)二维型:如4={(九,历|¥+'—1=0},8={(龙,);)[2苫-^+1=0}
x+y—1=0
其Ac5是求《’的解
1x—y+\=0
6)韦恩图:只需观察阴影部分是否有在集合中,有就是取其集合,
没有取其补集最后取它们的交集如
2.集合的子集个数
若集合A中有n个元素,则A有2"个子集,有2"—1个真子集
3.若集合B为已知,当AqB时则别忘了A=0时的情形;
4.ACB=AQAQB,AUB=A^>BeA
5.简易逻辑
1)原命题与其逆否命题同真假,否命题与逆命题同真假;
2)注意否命题是题设与结论都否定,命题的否定(「〃)只否定结论;
3)“量词的否定”定式:把V0)改于V),然后再否定逗号后的语句。
第二章函数与导数
一.函数
1.y是否是x的函数要会从解析式和图象上判断,记住“每一个的x值有且只有一个y的
值与之对应”。
2.函数的性质
1)定义域:别忘了写成集合或区间的形式;记住几个常成类型函数的定义域:
@y=----,{XWR|XH1}:②6=Jx—l,{x|x?l}:
x—1
③y=a'T,{x|xeR};④y=k)g“(x-l),{jc|x〉l};⑤y=(九-1)°,{尤|x/l}
2)值域:几个常见函数求值域的方法
I.二次函数:y=o?+bx+c(awO)求闭区间上的值域。实事上有些“指数
函数,对数函数,三角函数”也常用到此模型求值域。(以a>0为例)
2
2,,,、2,廿,b,b-4ac
y=CDC+〃X+C=a(x-h)+k,其中h=----,k=--------;
2a4。
i.当"<加时,有7mm(〃2)"侬(〃);
ii.当〃€[孙〃]时:源(3=左,&(加)或篇x(〃);
iii.当/?>〃时,fmin(n),fn,ax(m)
如“已知y(x)=x2-2ar+3,xe[-2,3],求当a分别为-4,1,4时的值域;”
II.指数函数y=a*>0和对数函数>=1(峪,工€双。>0且。,1)利用其单调性。
III.三角函数:xeR时:y=sin(a)x+9),y=cos(a)x+8)的值域都为
特别对求〉=sin(3x+9),xw[a,切时的值域,则
由xw[a,£]得0x+9€[,],所以sin(<wx+9)e[,]
IV.三次函数在闭区间[加,〃]上的值域,应先求导后求出极值,再与/(/”),/(〃)进行比较
V.其它如:/(x)=l+L/(x)=e'+x,/(x)=lnx+3x型,求其在闭区间上的值域,也
x
应先求导后利用单调性或先求极值再求最值。
3)单调性
除了三角函数、二次函数、指数函数、对数函数外,其它函数多用求导法求其单调区间,
注意一定要先求函数的定义域。
4)奇偶性
⑴判断一个函数的奇偶性,应先判断其定义域是否关于原点对称;
⑵已知含参数的奇偶性,求参数:如f(x)=a一一二是奇函数,则。=可利用特殊值;
2,+1
当函数为奇函数时,且x=0有意义,则必有/(0)=0;若可利用/(1)+/(-1)=0;
而函数为偶函时,则可由/(1)=/(一1)求得。;
⑶奇函数的单调性在y轴的两侧是相同的,而偶函数的单调性则相反。
5)周期:
若/(x+T)=/(X),则称T为函数/(X)的一个周期;
当/(x+T)=—/(x)或/(x+T)=」一时,函数/(x)的周期为2T;
/(幻
6)对于一些对数、指数、基函数之间比较大小,常与0和1进行比较;
记住:对于log“。以区间(0,1)和(1,+8)划分,当在同一区间有log“8>0,
不同区间有log”。<0;另l=log",0=logal,〃=log""(数化为对数)
*复合函数的单调性与奇偶性都可类比于实数的数的四则运算:如相加时,正(负)数加
正(负)数还是正(负)数;相乘时,同号得正,异与得负。
7)要能大至的画出指数函数和对数函数的图象;
8)函数/(x)在闭区间出,切上是否有零点:
⑴当/(。)口/(与<0时,则函数/(x)在闭区间期,切上存在零点(不唯一),当函数/(x)
在闭区间切上为单调函数时,存在唯一零点;
当/(0口/(切>0时,则函数/(x)在闭区间句上可能有零点;
⑵应关注函数零点、方程的根、两函数的图象交点三者之间的联系:
如方程lgx+x=3的解所在区间为:
A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+<x>)
方法一:等价函数/(x)=lgx+x-3的零点约在()区间;
方法二:等价函数y=lgx与y=3-x的交点约在()
特别是求函数/(尤)=lgx+x—3的零点个数时,常利用画出两函数y=lgx与
y=3-x的图象,观察其交点的个数
9)恒成立问题
①函数/(幻="2-2"+3>(<)0恒成立时:
别忘了i。)a=0时是否成立;
,a>0[a<0
ii.)当4/0时有《(《)
□<o[a<o
②函数/(尤)=/-2以¥+3<0在尤e上恒成立,
由图象知有兴趣的同学可考虑/(x)>0的情形;
[7(1)<0
③函数/(x)=2x3+x2-ax>0(<0)在xe[1,3](正区间)时恒成立:
由上得aW2*2+龙恒成立,此时只需求g(x)=2/+尤的最小值;(a+x恒成
立,此时只需求g(x)=2/+x的最大值)
二、导数
遇到求极值、单调区间(三次函数、含“Inx”、“靖”等)切线的斜率等问题,不管会
不会,先求导。求导前要先求定义域;
(1)导数的几何意义:函数/(X)在x=的的导数就是在点(几,/(凡))处的切线的
斜率即k=切点(儿,/(毛))既在曲线上,又在切线上。
如曲线在点(%,/(毛))处的切线方程为3x—4y+6=0则有:f\xj=k=-
4
和凯+4/(凡)+6=0
(2)函数/(x)在x=a有极值,贝ij必有.尸⑷=0;而/"(。)=0时,a为函数/(x)
的驻点、为导函数f(x)的零点,但不一定是极值点;
(3)若函数/(x)(设xeR)的单调递增区间是(“M,则x=a,九=匕为函数的极值点;
(4)导数的应用题中,若在区间[a,句内只有一个极值点儿,则/(工)就是其最值。
(5)可导函数/(X)在区间(。力)为增函数是f(x)>0的必要而不充分条件;即
f\x)>0则/(x)为增函数,反之不成立;如/(x)=%3
可导函数/(x)在区间(a,加为增函数是f0)20的充分而不必要条件;如/(x)=l
第三章、直线和方程
1、三种角的范围:
(1)倾斜角a:OYa<180°;
(2)异面直线所成的角a:0°<a<90°;
(3)两向量的夹角a:0"<a<180°;
2.斜率k与倾斜角a:k-tana
(1)当ae(0",9(T)时,k>Q;且人随着角。的增大而增大;
当aw(90°,180°)时,k<0;且左随着角a的增大而增大;
(2)由"的范围求人的范围时,应将a分为锐角和钝角两种情况;
由k的范围求a的范围时,应将人分为女>0和攵<0两种情况;
(3)过4七,x),B(x,,%)两点的直线斜率kAB=五』;
(4)入射光线和反射光线:k入+k反=0;
3.直线的方程:
1.设点斜式y-y。=%(工一々)时,一定要考虑我是否存在;
不斜率上不存在时,则过点P(a,。)的直线方程为x=a;
2.设截距式2+2=1时,应注意此直线不过原点;
ab
而当一直线在两坐标轴上的截距相等时,别忘了直线过原点的情形即设^=依;
要求截距,在直线方程中,可分别令尤=0求y,令y=0求x;
3.与已知直线Ar+By+C=0平行的直线方程可设为:Ax+By+%=0;
与已知直线Ar+8y+C=0垂直的直线方程可设为:以一Ay+/l=0:
4.点产(工,为)到直线Ar+3),+C=0的距离公式:dJ与+的。+口;
yjA2+B2
第四章圆的方程
标准方程:(尤—a)2+(y—b)2=/;圆心(氏加,半径「;
一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F^Q(D2+E2-4F>0),
同,、/。4_VD2+£2-4F
圆心(一耳,一耳),r=--------------
1.求圆的方程有代数法和几何法:
代数法:设标准式或一般式,根据已知条件求出字母;
几何法:根据一些条件直接求出。力,「;
2.注:①当圆心在一直线上时,常设圆心坐标;
②弦的中垂线必过圆心;
③当圆(设圆心为(。/))与x轴相切时,有rgb|;当圆与y轴相切时,有r=|a|;
3.直线与圆的位置关系
(1)直线与圆相切时,应考虑用到以下两点:
①圆心到切线的距离等于半径;
②过圆心与切点的直线与切线垂直;
(2)直线与圆相交时,应考虑:r2=J2+(^)2,其中d为弦心距,a为弦长;
(3)弦长的求法:
①几何示,利用/=筋+(号2;
2
②代数法:设直线圆相交于4%,弘),8(&,%)两点,将直线方程与圆的方程联立消y
则AB|=Vl+k~|x,—Xj|,其中k为直线斜率,|超—1=J(X[+%2)——4%々;
⑷两圆的位置关系
①当两圆相切时,应用圆心距与两半径的关系;
②过两圆的交点的圆系方程可设为:
2222
(x+y+Dtx+Ety+FJ+/L(x+y+D2x+E2y+F2)=0(2-1)
③两圆公共弦所在直线方程:令上式彳=-1即可;
⑹最值问题:①圆0上一点与圆外一点P的最小距离为|P01—r,最大距离为|P01+r;
②圆上一点与之相离直线的最小距离为d-r,最大为d+r(d为圆心到直线距离)
③过圆O内一点P的最短弦即为与0P垂直的弦;最长弦为过0P的直径;
第五章圆锥曲线
1.椭圆:(以x型为例)靛十瓦=1(4>方>0)
⑴定义:在平面内动点P满足:\PF.\+\PF2\=2a>\F,F2\=2C;其中耳,鸟为定点;
(2)长轴为2a,短轴为2匕,焦距是2c;别忘了有/=/+。2
(3)范围:x&[-a,a],ye[-b,b];
(4)P为椭圆上一点,当P在短轴端点时,/大尸工最大;
(5)若c已知时;常设椭圆方程为=+二J=1;
a~a~-c~
r2v2
2..双曲线:(以光型为例)=一4=1(。>0,。>0)
a-b~
⑴定义:在平面内动点P满足:—IP"||=2a<|耳用]=2c;
(2)实轴为2a,虚轴为2〃,焦距是2c;别忘了有c2=a2+b\
(3)渐近线方程:尤型:y=±2%;y型:y=±-x-,
ah
xy1
①已知双曲线方程2=i求渐近线方程只需令二-与=o;
a'ab"
②若已知一条渐近线方程为3+孙=0(或y=-x),则可设双曲线方程为
n
(nvc)2-(〃»=4;
③与已知双曲线方程乌-5=1共渐近线的双曲线方程可设为5=4;
a~bab
3.椭圆、双曲线中的共性:
⑴若P为曲线上一点,耳,鸟为其焦点,当尸GJ.P招时,则
222
①椭圆:利用(|PF]\+\PF21)=1PFyI+2\PF]\\PF2\+\PF21和|「耳|+|PF2\=2a
得:4a2=4c2+21^^11^|
2
②双曲线:(\PF,\-\PF21)=|P£6-2\PFi\\PF2\+\PF2『和|尸用一|P瑞||=2a
22
得:4a=4c-2\PFt\\PF2\
③若求得是点P的坐标则可利用而匹=0;
(2)当NFFF?为一特殊角(如60°)时,可想到用余弦定理;
4.抛物线:首先应想到是否是标准式,以=2px(〃>0)为例:
(1)焦点坐标(4,0),准线方程:X=一旦;
22
(2)当P(Xo,y°)为抛物线上一点时,常用至“尸产|=玉,+4:
(3)若AB为过焦点的弦,设A(x,x),8(无2,必),则:
①|A8|=X[+々+P,特别当AB_Lx轴时,有|A8|=2〃;②玉。马=(-,乂,必=~P2
(4)直线与圆锥曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相交于A,B两点时:
①通常设直线方程(注意女的存在性),且设A(%,y),B(X2,%),然后将直线方程与曲
线方程联立,消去y,求出x+尤2,工厂*2等;
②中点弦问题:(求以M(x0,*)为中点的弦所在直线方程)
方法一:利用①中的方法;
方法二:利用点差法:设直线与曲线相交于4(3,)1),3(%,为),分别代入曲线方程
后,再相减;
方法三:设A(%y),因M为AB中点,故8(2%-乂2为一丁)分分别代入曲线方程
22
后,再相减即为所求直线方程。如求以椭圆工+&=1内的点为中点的弦所
164
在直线方程。
第六章空间几何
一.直观图和三视图
1.直观图
原图T直观图
两坐标轴互相垂直45°(或135°)
与x轴平行的长度不变,与y轴平行的长度减半
面积:S原=2>/^S直观图
2.三视图
正视图Q侧视图1。求简单几何体体积时,
俯视图面积即为几何体底
同高面积,正(侧)视图高即为几何体高
,同宽
俯视图
二.线面平行、线面垂直
1.线面平行的证法:
/口〃7
平行四边形
线线平行n线面平行,laab=>/口a
三角形中位线
mua
Ica八
面面平行=>线面平行,c=>/口万
2.线线平行
/□a
线面平行=>线线平行,is,=>/口加
ac\(3=m
3.线面垂直
/±m,/±7?
⑴线线垂直二>线面垂直,m,naa>=>/!«;
mon—A
a1/3
⑵面面垂直n线面垂直,acB=m
/ua,/_L"z
4.面面垂直
Ila)八
线面垂直=面面垂直,\-=>aLp;
/u0
注:1./Da时,/与a内的任一条直线并不都平行;
/_La时,/与a内的任一条直线都垂直;
2.a口用时,a内的任一条直线都与平面£平行;
时,a内的直线不一定会与平面尸垂直;
四浜它
1.长方体的对角线长:l^yja2+b2+c2;特别正方体时,1=瓜;
2.正方体的内切球:2R=a;
正方体的外接球:2R=l;
3.异面直线所面的角,应将两直线平移成相交,得到一个三角形后,常利用余弦定理;
4.求点到面的距离,常利用三棱锥的体积相等求高;
5.当已知中有面面垂直时,常在其中一个面中找出(或作出)与交线垂直的线,进而得
到线面垂直;
6.当某一面是矩形(特别是正方形),出现了一条对角线,此时多把另一条对角线也连
结。
7.应把几何体中某一面上的图形,多在草稿上还原。有助于直观理解。
8.有三条棱互相垂直的锥体,或有三个面两两垂直的锥体,常将它们转化到长方体(或正方
体中研究);如
三棱锥的三条侧棱两两垂直,且侧棱长均为百,则其外接球的表面积是:
第七章一元二次不等式、线性规划
1.一元二次不等式
(1)选择题中判断大小,常用特殊值;
(2)x>0时,xH—22;尤<0时,xH—W—2;
XX
变形:x,a,beR+,则+
x
⑶a,bwR,ab<(----)2,ab<-------;
22
1y
(4)利用“1":如“移>0,%+y=l,则一+』的最小值是;
y%
91
又-+-=1,则x+y的最小值是
y%
2.线性规划:常有以下几种类型
⑴求z=ax+力的最值,可将方程组两两联立求交点,代入求z(验证点是否在区域内);
(2)求z=)的最值,几何意义为区域内的点与原点连线的斜率的范围;
X
(3)求z=/+y2的最值,几何意义为区域内的点与原点的距离的干方;
(4)求区域内整点的个数:先利用的范围,再结合第三个不等式找出整点;(等差数列)
第八章三角函数
1.定义:若点P(x,y)为角a终边上一点,则正=信+/有:
yx,y
sina--,cosa=—,tan(7=—;
rrx
特别P(x,y)为单位圆上一点时,sina-y,cosa=x,tana=—
x
(由此可知三角函数在各象限的符号)
注意:sina>0是角a第一象限或第二象限角的必要而不充分条件;
2.同角公式:
sinoc
sin2a+cos2a=l,sina=cosa-tana(或tana=-----)利用公式有:
cosa
(1)若已知tana的值,求“含sina,cosa的子的值”时,常化为tana求值;
(2)"sina+cosa","sina-cosa","sina-cosa"(或sin2a)三者知一可求二;
方法是利用“(sina+cosa)2,(sina-cosa)2"
(3)诱导公式(三角函数的化简
"第二象限:%-a(正弦不变)
化角为正t化角为0.口360°t化角为锐角・第三象限:%+a(正切不变)
第四象限:2ma(余弦不变)
(余弦不变)都不变
4.和差公式
正弦:同号不同名Sa士.=S°C夕土C.S二
余弦:同名不同号
Q土夕=CQC.+saSp
/,。、tana±tanA
正切:tan(a±^)=------------j;
1+tana•tanp
变式:tan(a+£)=tana+tan/3+tan(a+£)•tana•tan/3
会懂得拆角,常见的有:2a=(a+£)—(a—£),a=(a+/3)-/3;
如tan(a+Z?)———,tan(4—)———,则tan(ad—)——;
5444
5.二倍角公式
12
sin2cr=2sina-cosa,sina-cosa=—sin2a;1±sinla=(sina±cosa);
cosla-cos2a—sin2a=2cos2a-1=l-2sin2a;
cos2a+1.1-cos2a
cos2a-------------,sin*2a=------------
22
6.性质
y=asina+bcosa=y/a2+b2sin(a±(p)其中a>O,b>O,tan9=2,o<9<X;
a2
对求周期、对称性、单调区间等问题一定要化成上式后再研究;
1.周期:正、余弦函数的最小正周期同为2%,正切函数的最小正周期为乃;
2.对称性:
若x=a能使sin(a)x+p)(或cos(a)x+夕))的值为0,则其图象关于点(a,0)中心对称;
若使sin(0x+p)(或cos(<yx+p))的值为1或-1,则其图象关于直线尤=a对称:
3.单调区间
求三角函数y=Asin(5+°)+/2的单调区间,应抓住整体性,把“烟+9”看作
冗jr
一个整体;如要求单调递增区间,则-1+2左〃43:+9<1+2左乃,左€2,从中解
出x;若求的是区间[a,切上的递增区间,则只需令%二••—1,0,1…,从中找出含于
[a,内的区间。
4.最值
(1)二次函数模型:如y=(sinx-2)2+],此时应注意sinx的取值范围。
(2)化为y=Asin(s+0)+Z?型
①若XGR,则sin(wx+8)£:
②若工£[。,/?],则有〃*+夕£[G。+夕,@6+勿
.•.sin(0x+8)e[,],此时应先关注[,]中是否含有猴,若有则最大值为1;同样,
TT37r
再看[,]中是否含有一生(或二),若有则最小值为-1:若没有,则可比较两端点的值,
22
大则大,小则小。
5.图象(五点做图法0
a)x+(p0兀兀3万2%
2T
X
010-10
sin(@r+8)
解三角形
cihc
1.正弦定理:——=——=——=2R,由正弦定理有:一定要指出在DABC中
sinAsinBsinC
①正弦值与边可互化;
⑵要有“一对已知”“对边和对角”才能用正弦定理;
③注意大边对大角;
»2.22
2.余弦定理:a2-b2+c2-2bccosA;cosA=—————;
2bc
已知中若了出现边的平方或边相乘常用余弦定理;
3.面积公式:S=—absinC=—bcsmA=—acsinB
222
平面向量
1.两向量相等:有两层含义:a与B方向相同和
2.向量的运算不满足乘法的结合律:Q而
3.=q.加=0;
向量加在a上的投影:历|•cos<a,B>或上5;
4.
5.①与向量Z共线的单位向量:7=乌;
②与向量々垂直的单位向量7:利用H=o和由=1;
6.向量式坐标式
两向量相乘ab-\a\\b\cos<a,b>ab-xxx2+送》2
两向量平行cos<a,/?>=±l王必=尤2y
两向量垂直cos<a,b>=0%々+必必=°
7.。与B为不共线向量,要知道a+aa-瓦的意义;
第九章数列
1.等差数列伍“}与等比数列{〃,}的类比
等差数列等比数列
b.=b\qi
(1).通项公式:an=aA+(H-1)J
a„=am+(n-m)db“=b,,「q
na[,<7=1
⑵.前〃项和:s“=吆3=叫+的5
d;S“=
22
(3)重要性质:①若m,n,p,qeN*且m+n=p+q则
b“「b”=bpbq
若m+n=2p(或成等差数列,粼,勺,,々)则
aa2a
in+„=P
②S,,S2„-5,“,53,”一52”,仍是等差数列;5,“52,”一5,”,53”「%„仍是等比数列
2.求数列的通项
⑴公式法
已知数列是等差数列(或等比数列)时,则只需利用通项公式求出册与"(或q);
如:已知数列等差数列{%},4=1,%=-5求通项%;
⑵定义法
利用4+「a“=d(d是常数)知数列是等差数列;
利用如=q(q是常数)知数列是等比数列;
如{6,}是正数组成的数列,q=1,且点(瓦,4川)(〃eN*)在函数y=/+l的图象上,
求数列{%}的通项公式;
③含S,,型
利用:〃=1时,4=S];2时,an=Sn-Sn_};
如数列{4},有S,,=—ga“+l,其中S“为其前〃项和,求数列{6,}的通项公式;
变形:已知数列{4},满足G+2%+224+…+2"-%"=8〃,对任意的〃eN*都成立,
求数列{”“}的通项公式;
④含。,用,见等
常通过化简为:i)an+t-an=c〃(用累加法)求出通项;
ii)由an+2-«„+1=cm.-4)得数列{«„+|-a,,}为等比数列;
或由a„+]-c=-c)得数列[4-c}为等比数列:
如:已知数列{〃〃},满足q=1,。2=3,。〃+2=3。〃+]-2%(〃£N*)
⑴证明:数列{4+1一〃〃}为等比数歹!J;
(2)求数列{4}的通项公式;
3.数列的求和
⑴等差数列的求和:①S"="(4;*=”"\+n=p+q;
特别当项数〃为奇数项时,
Sn=n-a/z+1(中间项);
~2~
〃(〃
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