高中数学小贴士(文)

新课标数学（文）“小贴土”

第一章集合与简易逻辑

1.常见几种集合的运算

1）元素型：如加={x|0WxW3,xeZ},N={—1,0,1}则McN=

2）不等式型：如4={幻J1>。］，求“交、并集”时，应借助“数轴”

3）方程的根：如4={*|%2-2%—3=0}={-1,3}

4）函数型：如—={%及=108（,（%-1）}={%|%>1}是指函数的定义域;

而8={y|y=log"（x-l）,x>l}={y|yeR}是指函数的值域;

5）二维型：如4={（九,历|¥+'—1=0},8={（龙,）；）［2苫-^+1=0}

x+y—1=0

其Ac5是求《’的解

1x—y+\=0

6）韦恩图：只需观察阴影部分是否有在集合中，有就是取其集合，

没有取其补集最后取它们的交集如

2.集合的子集个数

若集合A中有n个元素，则A有2"个子集，有2"—1个真子集

3.若集合B为已知，当AqB时则别忘了A=0时的情形；

4.ACB=AQAQB,AUB=A^>BeA

5.简易逻辑

1）原命题与其逆否命题同真假，否命题与逆命题同真假；

2）注意否命题是题设与结论都否定，命题的否定（「〃）只否定结论；

3）“量词的否定”定式：把V0）改于V）,然后再否定逗号后的语句。

第二章函数与导数

一.函数

1.y是否是x的函数要会从解析式和图象上判断，记住“每一个的x值有且只有一个y的

值与之对应”。

2.函数的性质

1)定义域：别忘了写成集合或区间的形式；记住几个常成类型函数的定义域：

@y=----，{XWR|XH1}：②6=Jx—l,{x|x?l}：

x—1

③y=a'T,{x|xeR}；④y=k)g“(x-l),{jc|x〉l}；⑤y=(九-1)°,{尤|x/l}

2)值域：几个常见函数求值域的方法

I.二次函数：y=o?+bx+c(awO)求闭区间上的值域。实事上有些“指数

函数，对数函数，三角函数”也常用到此模型求值域。(以a>0为例)

2

2,,,、2,廿,b,b-4ac

y=CDC+〃X+C=a(x-h)+k，其中h=----,k=--------；

2a4。

i.当"<加时，有7mm(〃2)"侬(〃)；

ii.当〃€[孙〃]时：源(3=左，&(加)或篇x(〃)；

iii.当/?>〃时，fmin(n),fn,ax(m)

如“已知y(x)=x2-2ar+3,xe[-2,3],求当a分别为-4,1,4时的值域；”

II.指数函数y=a*>0和对数函数>=1(峪,工€双。>0且。，1)利用其单调性。

III.三角函数:xeR时:y=sin(a)x+9),y=cos(a)x+8)的值域都为

特别对求〉=sin(3x+9),xw[a,切时的值域，则

由xw[a,£]得0x+9€[,],所以sin(<wx+9)e[,]

IV.三次函数在闭区间[加,〃]上的值域，应先求导后求出极值，再与/(/”),/(〃)进行比较

V.其它如：/(x)=l+L/(x)=e'+x,/(x)=lnx+3x型，求其在闭区间上的值域，也

x

应先求导后利用单调性或先求极值再求最值。

3)单调性

除了三角函数、二次函数、指数函数、对数函数外，其它函数多用求导法求其单调区间,

注意一定要先求函数的定义域。

4)奇偶性

⑴判断一个函数的奇偶性，应先判断其定义域是否关于原点对称；

⑵已知含参数的奇偶性，求参数：如f(x)=a一一二是奇函数，则。=可利用特殊值;

2，+1

当函数为奇函数时，且x=0有意义，则必有/(0)=0；若可利用/(1)+/(-1)=0；

而函数为偶函时，则可由/(1)=/(一1)求得。；

⑶奇函数的单调性在y轴的两侧是相同的，而偶函数的单调性则相反。

5)周期：

若/(x+T)=/(X),则称T为函数/(X)的一个周期；

当/(x+T)=—/(x)或/(x+T)=」一时，函数/(x)的周期为2T；

/(幻

6)对于一些对数、指数、基函数之间比较大小，常与0和1进行比较；

记住：对于log“。以区间(0,1)和(1,+8)划分，当在同一区间有log“8>0,

不同区间有log”。<0；另l=log",0=logal,〃=log""(数化为对数)

*复合函数的单调性与奇偶性都可类比于实数的数的四则运算：如相加时，正(负)数加

正(负)数还是正(负)数；相乘时，同号得正，异与得负。

7)要能大至的画出指数函数和对数函数的图象；

8)函数/(x)在闭区间出,切上是否有零点：

⑴当/(。)口/(与<0时，则函数/(x)在闭区间期,切上存在零点(不唯一)，当函数/(x)

在闭区间切上为单调函数时，存在唯一零点；

当/(0口/(切>0时，则函数/(x)在闭区间句上可能有零点；

⑵应关注函数零点、方程的根、两函数的图象交点三者之间的联系：

如方程lgx+x=3的解所在区间为：

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,+<x>)

方法一：等价函数/(x)=lgx+x-3的零点约在()区间;

方法二：等价函数y=lgx与y=3-x的交点约在（）

特别是求函数/（尤）=lgx+x—3的零点个数时，常利用画出两函数y=lgx与

y=3-x的图象，观察其交点的个数

9）恒成立问题

①函数/（幻="2-2"+3>（<）0恒成立时：

别忘了i。）a=0时是否成立；

,a>0[a<0

ii.）当4/0时有《（《）

□<o[a<o

②函数/（尤）=/-2以¥+3<0在尤e上恒成立，

由图象知有兴趣的同学可考虑/（x）>0的情形；

[7（1）<0

③函数/（x）=2x3+x2-ax>0（<0）在xe[1,3]（正区间）时恒成立：

由上得aW2*2+龙恒成立，此时只需求g（x）=2/+尤的最小值；（a+x恒成

立，此时只需求g（x）=2/+x的最大值）

二、导数

遇到求极值、单调区间(三次函数、含“Inx”、“靖”等)切线的斜率等问题，不管会

不会，先求导。求导前要先求定义域；

(1)导数的几何意义：函数/(X)在x=的的导数就是在点(几,/(凡))处的切线的

斜率即k=切点(儿,/(毛))既在曲线上，又在切线上。

如曲线在点(%,/(毛))处的切线方程为3x—4y+6=0则有：f\xj=k=-

4

和凯+4/(凡)+6=0

(2)函数/(x)在x=a有极值，贝ij必有.尸⑷=0；而/"(。)=0时，a为函数/(x)

的驻点、为导函数f(x)的零点，但不一定是极值点；

(3)若函数/(x)(设xeR)的单调递增区间是(“M，则x=a,九=匕为函数的极值点；

(4)导数的应用题中，若在区间［a,句内只有一个极值点儿，则/(工)就是其最值。

(5)可导函数/(X)在区间(。力)为增函数是f(x)>0的必要而不充分条件；即

f\x)>0则/(x)为增函数，反之不成立；如/(x)=%3

可导函数/(x)在区间(a,加为增函数是f0)20的充分而不必要条件；如/(x)=l

第三章、直线和方程

1、三种角的范围：

(1)倾斜角a：OYa<180°；

(2)异面直线所成的角a：0°<a<90°；

(3)两向量的夹角a：0"<a<180°；

2.斜率k与倾斜角a：k-tana

(1)当ae(0",9(T)时，k>Q；且人随着角。的增大而增大；

当aw(90°,180°)时，k<0；且左随着角a的增大而增大;

(2)由"的范围求人的范围时，应将a分为锐角和钝角两种情况；

由k的范围求a的范围时，应将人分为女>0和攵<0两种情况；

(3)过4七，x),B(x,,%)两点的直线斜率kAB=五』；

(4)入射光线和反射光线：k入+k反=0；

3.直线的方程：

1.设点斜式y-y。=%(工一々)时，一定要考虑我是否存在；

不斜率上不存在时，则过点P(a,。)的直线方程为x=a；

2.设截距式2+2=1时，应注意此直线不过原点；

ab

而当一直线在两坐标轴上的截距相等时，别忘了直线过原点的情形即设^=依;

要求截距，在直线方程中，可分别令尤=0求y,令y=0求x；

3.与已知直线Ar+By+C=0平行的直线方程可设为：Ax+By+%=0；

与已知直线Ar+8y+C=0垂直的直线方程可设为：以一Ay+/l=0：

4.点产(工,为)到直线Ar+3)，+C=0的距离公式：dJ与+的。+口；

yjA2+B2

第四章圆的方程

标准方程：(尤—a)2+(y—b)2=/；圆心(氏加，半径「；

一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F^Q(D2+E2-4F>0),

同，、/。4_VD2+£2-4F

圆心(一耳,一耳)，r=--------------

1.求圆的方程有代数法和几何法：

代数法：设标准式或一般式，根据已知条件求出字母;

几何法：根据一些条件直接求出。力,「；

2.注：①当圆心在一直线上时，常设圆心坐标；

②弦的中垂线必过圆心；

③当圆(设圆心为(。/))与x轴相切时，有rgb|；当圆与y轴相切时，有r=|a|；

3.直线与圆的位置关系

(1)直线与圆相切时，应考虑用到以下两点：

①圆心到切线的距离等于半径；

②过圆心与切点的直线与切线垂直；

(2)直线与圆相交时，应考虑：r2=J2+(^)2,其中d为弦心距，a为弦长；

(3)弦长的求法：

①几何示，利用/=筋+(号2；

2

②代数法：设直线圆相交于4%,弘),8(&,%)两点，将直线方程与圆的方程联立消y

则AB|=Vl+k~|x,—Xj|,其中k为直线斜率，|超—1=J(X[+%2)——4%々；

⑷两圆的位置关系

①当两圆相切时，应用圆心距与两半径的关系；

②过两圆的交点的圆系方程可设为：

2222

(x+y+Dtx+Ety+FJ+/L(x+y+D2x+E2y+F2)=0(2-1)

③两圆公共弦所在直线方程：令上式彳=-1即可；

⑹最值问题：①圆0上一点与圆外一点P的最小距离为|P01—r，最大距离为|P01+r；

②圆上一点与之相离直线的最小距离为d-r,最大为d+r(d为圆心到直线距离)

③过圆O内一点P的最短弦即为与0P垂直的弦；最长弦为过0P的直径；

第五章圆锥曲线

1.椭圆：(以x型为例)靛十瓦=1(4>方>0)

⑴定义：在平面内动点P满足：\PF.\+\PF2\=2a>\F,F2\=2C；其中耳，鸟为定点;

(2)长轴为2a,短轴为2匕，焦距是2c；别忘了有/=/+。2

(3)范围：x&[-a,a],ye[-b,b]；

(4)P为椭圆上一点，当P在短轴端点时，/大尸工最大;

(5)若c已知时;常设椭圆方程为=+二J=1；

a~a~-c~

r2v2

2..双曲线：(以光型为例)=一4=1(。＞0,。＞0)

a-b~

⑴定义：在平面内动点P满足：—IP"||=2a＜|耳用]=2c；

(2)实轴为2a,虚轴为2〃，焦距是2c；别忘了有c2=a2+b\

(3)渐近线方程：尤型：y=±2%；y型：y=±-x-,

ah

xy1

①已知双曲线方程2=i求渐近线方程只需令二-与=o；

a'ab"

②若已知一条渐近线方程为3+孙=0(或y=-x),则可设双曲线方程为

n

(nvc)2-(〃»=4；

③与已知双曲线方程乌-5=1共渐近线的双曲线方程可设为5=4;

a~bab

3.椭圆、双曲线中的共性：

⑴若P为曲线上一点，耳，鸟为其焦点，当尸GJ.P招时，则

222

①椭圆:利用(|PF]\+\PF21)=1PFyI+2\PF]\\PF2\+\PF21和|「耳|+|PF2\=2a

得：4a2=4c2+21^^11^|

2

②双曲线：(\PF,\-\PF21)=|P£6-2\PFi\\PF2\+\PF2『和|尸用一|P瑞||=2a

22

得：4a=4c-2\PFt\\PF2\

③若求得是点P的坐标则可利用而匹=0；

(2)当NFFF?为一特殊角(如60°)时，可想到用余弦定理；

4.抛物线：首先应想到是否是标准式，以=2px(〃>0)为例：

(1)焦点坐标(4,0),准线方程：X=一旦；

22

(2)当P(Xo，y°)为抛物线上一点时，常用至“尸产|=玉,+4：

(3)若AB为过焦点的弦，设A(x，x),8(无2，必)，则：

①|A8|=X[+々+P，特别当AB_Lx轴时，有|A8|=2〃；②玉。马=(-，乂,必=~P2

(4)直线与圆锥曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)相交于A,B两点时：

①通常设直线方程(注意女的存在性)，且设A(%,y),B(X2，%)，然后将直线方程与曲

线方程联立，消去y,求出x+尤2，工厂*2等；

②中点弦问题：(求以M(x0,*)为中点的弦所在直线方程)

方法一：利用①中的方法；

方法二：利用点差法：设直线与曲线相交于4(3,)1),3(%,为)，分别代入曲线方程

后，再相减；

方法三：设A(%y),因M为AB中点，故8(2%-乂2为一丁)分分别代入曲线方程

22

后，再相减即为所求直线方程。如求以椭圆工+&=1内的点为中点的弦所

164

在直线方程。

第六章空间几何

一.直观图和三视图

1.直观图

原图T直观图

两坐标轴互相垂直45°(或135°)

与x轴平行的长度不变，与y轴平行的长度减半

面积：S原=2>/^S直观图

2.三视图

正视图Q侧视图1。求简单几何体体积时，

俯视图面积即为几何体底

同高面积，正（侧）视图高即为几何体高

，同宽

俯视图

二.线面平行、线面垂直

1.线面平行的证法：

/口〃7

平行四边形

线线平行n线面平行,laab=>/口a

三角形中位线

mua

Ica八

面面平行=>线面平行，c=>/口万

2.线线平行

/□a

线面平行=>线线平行，is，=>/口加

ac\（3=m

3.线面垂直

/±m,/±7?

⑴线线垂直二>线面垂直，m,naa>=>/!«；

mon—A

a1/3

⑵面面垂直n线面垂直，acB=m

/ua,/_L"z

4.面面垂直

Ila）八

线面垂直=面面垂直，\-=>aLp；

/u0

注：1./Da时，/与a内的任一条直线并不都平行;

/_La时，/与a内的任一条直线都垂直;

2.a口用时，a内的任一条直线都与平面£平行；

时，a内的直线不一定会与平面尸垂直；

四浜它

1.长方体的对角线长：l^yja2+b2+c2；特别正方体时，1=瓜；

2.正方体的内切球：2R=a；

正方体的外接球：2R=l；

3.异面直线所面的角，应将两直线平移成相交，得到一个三角形后，常利用余弦定理;

4.求点到面的距离，常利用三棱锥的体积相等求高；

5.当已知中有面面垂直时，常在其中一个面中找出(或作出)与交线垂直的线，进而得

到线面垂直；

6.当某一面是矩形(特别是正方形)，出现了一条对角线，此时多把另一条对角线也连

结。

7.应把几何体中某一面上的图形，多在草稿上还原。有助于直观理解。

8.有三条棱互相垂直的锥体，或有三个面两两垂直的锥体，常将它们转化到长方体(或正方

体中研究)；如

三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为百，则其外接球的表面积是:

第七章一元二次不等式、线性规划

1.一元二次不等式

(1)选择题中判断大小，常用特殊值；

(2)x>0时，xH—22；尤<0时，xH—W—2；

XX

变形：x,a,beR+,则+

x

⑶a,bwR,ab<(----)2,ab<-------；

22

1y

(4)利用“1"：如“移>0,%+y=l,则一+』的最小值是；

y%

91

又-+-=1,则x+y的最小值是

y%

2.线性规划：常有以下几种类型

⑴求z=ax+力的最值，可将方程组两两联立求交点，代入求z(验证点是否在区域内)；

(2)求z=)的最值，几何意义为区域内的点与原点连线的斜率的范围；

X

(3)求z=/+y2的最值，几何意义为区域内的点与原点的距离的干方；

(4)求区域内整点的个数：先利用的范围，再结合第三个不等式找出整点；(等差数列)

第八章三角函数

1.定义：若点P(x,y)为角a终边上一点，则正=信+/有:

yx,y

sina--,cosa=—,tan(7=—；

rrx

特别P(x,y)为单位圆上一点时，sina-y,cosa=x,tana=—

x

(由此可知三角函数在各象限的符号)

注意：sina>0是角a第一象限或第二象限角的必要而不充分条件；

2.同角公式：

sinoc

sin2a+cos2a=l,sina=cosa-tana(或tana=-----)利用公式有:

cosa

(1)若已知tana的值，求“含sina,cosa的子的值”时，常化为tana求值；

(2)"sina+cosa","sina-cosa","sina-cosa"(或sin2a)三者知一可求二；

方法是利用“(sina+cosa)2,(sina-cosa)2"

(3)诱导公式(三角函数的化简

"第二象限：%-a(正弦不变)

化角为正t化角为0.口360°t化角为锐角・第三象限：%+a(正切不变)

第四象限：2ma(余弦不变)

(余弦不变)都不变

4.和差公式

正弦：同号不同名Sa士.=S°C夕土C.S二

余弦：同名不同号

Q土夕=CQC.+saSp

/,。、tana±tanA

正切：tan(a±^)=------------j；

1+tana•tanp

变式：tan(a+£)=tana+tan/3+tan(a+£)•tana•tan/3

会懂得拆角，常见的有：2a=(a+£)—(a—£),a=(a+/3)-/3；

如tan(a+Z?)———,tan(4—)———,则tan(ad—)——；

5444

5.二倍角公式

12

sin2cr=2sina-cosa,sina-cosa=—sin2a；1±sinla=(sina±cosa)；

cosla-cos2a—sin2a=2cos2a-1=l-2sin2a；

cos2a+1.1-cos2a

cos2a-------------,sin*2a=------------

22

6.性质

y=asina+bcosa=y/a2+b2sin(a±(p)其中a>O,b>O,tan9=2,o<9<X；

a2

对求周期、对称性、单调区间等问题一定要化成上式后再研究；

1.周期：正、余弦函数的最小正周期同为2%，正切函数的最小正周期为乃；

2.对称性：

若x=a能使sin(a)x+p)(或cos(a)x+夕))的值为0,则其图象关于点(a,0)中心对称；

若使sin(0x+p)(或cos(<yx+p))的值为1或-1,则其图象关于直线尤=a对称：

3.单调区间

求三角函数y=Asin(5+°)+/2的单调区间，应抓住整体性，把“烟+9”看作

冗jr

一个整体；如要求单调递增区间，则-1+2左〃43:+9<1+2左乃,左€2,从中解

出x；若求的是区间[a,切上的递增区间，则只需令％二••—1,0,1…，从中找出含于

[a,内的区间。

4.最值

(1)二次函数模型：如y=(sinx-2)2+],此时应注意sinx的取值范围。

(2)化为y=Asin(s+0)+Z?型

①若XGR,则sin(wx+8)£：

②若工£［。,/?］,则有〃*+夕£［G。+夕,@6+勿

.•.sin（0x+8）e［,］,此时应先关注［,］中是否含有猴，若有则最大值为1；同样,

TT37r

再看［,］中是否含有一生（或二），若有则最小值为-1:若没有，则可比较两端点的值,

22

大则大，小则小。

5.图象（五点做图法0

a）x+（p0兀兀3万2%

2T

X

010-10

sin(@r+8)

解三角形

cihc

1.正弦定理：——=——=——=2R,由正弦定理有：一定要指出在DABC中

sinAsinBsinC

①正弦值与边可互化；

⑵要有“一对已知”“对边和对角”才能用正弦定理；

③注意大边对大角；

»2.22

2.余弦定理：a2-b2+c2-2bccosA；cosA=—————；

2bc

已知中若了出现边的平方或边相乘常用余弦定理；

3.面积公式：S=—absinC=—bcsmA=—acsinB

222

平面向量

1.两向量相等：有两层含义：a与B方向相同和

2.向量的运算不满足乘法的结合律：Q而

3.=q.加=0；

向量加在a上的投影：历|•cos<a,B>或上5；

4.

5.①与向量Z共线的单位向量：7=乌；

②与向量々垂直的单位向量7：利用H=o和由=1；

6.向量式坐标式

两向量相乘ab-\a\\b\cos<a,b>ab-xxx2+送》2

两向量平行cos<a,/?>=±l王必=尤2y

两向量垂直cos<a,b>=0%々+必必=°

7.。与B为不共线向量，要知道a+aa-瓦的意义;

第九章数列

1.等差数列伍“｝与等比数列｛〃,｝的类比

等差数列等比数列

b.=b\qi

(1).通项公式：an=aA+(H-1)J

a„=am+(n-m)db“=b,,「q

na[,<7=1

⑵.前〃项和：s“=吆3=叫+的5

d；S“=

22

(3)重要性质：①若m,n,p,qeN*且m+n=p+q则

b“「b”=bpbq

若m+n=2p（或成等差数列，粼,勺,,々）则

aa2a

in+„=P

②S,,S2„-5,“,53,”一52”,仍是等差数列；5,“52,”一5,”,53”「％„仍是等比数列

2.求数列的通项

⑴公式法

已知数列是等差数列（或等比数列）时，则只需利用通项公式求出册与"（或q）；

如：已知数列等差数列｛%｝,4=1，%=-5求通项％；

⑵定义法

利用4+「a“=d（d是常数）知数列是等差数列；

利用如=q（q是常数）知数列是等比数列；

如｛6,｝是正数组成的数列，q=1,且点（瓦，4川）（〃eN*）在函数y=/+l的图象上,

求数列｛%｝的通项公式；

③含S,,型

利用：〃=1时，4=S]；2时，an=Sn-Sn_｝；

如数列｛4｝,有S,,=—ga“+l,其中S“为其前〃项和，求数列｛6,｝的通项公式；

变形：已知数列｛4｝,满足G+2%+224+…+2"-%"=8〃，对任意的〃eN*都成立,

求数列｛”“｝的通项公式；

④含。,用，见等

常通过化简为：i）an+t-an=c〃（用累加法）求出通项；

ii）由an+2-«„+1=cm.-4）得数列｛«„+|-a,,｝为等比数列；

或由a„+]-c=-c）得数列[4-c｝为等比数列：

如：已知数列｛〃〃｝,满足q=1,。2=3,。〃+2=3。〃+]-2%（〃£N*）

⑴证明:数列｛4+1一〃〃｝为等比数歹!J;

（2）求数列｛4｝的通项公式;

3.数列的求和

⑴等差数列的求和：①S"="（4；*=”"\+n=p+q；

特别当项数〃为奇数项时,

Sn=n-a/z+1（中间项）；

~2~

〃（〃