2023-2024学年湖北省武汉市常青联合体高一下学期期末考试数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖北省武汉市常青联合体高一下学期期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i是虚数单位，i⋅z=2+i，则复数z的模为(

)A.5 B.3 C.5 2.已知平面向量a，b的夹角为60∘，a=(3,1)，|A.2 B.7 C.233.在一次数学测试中，高一某班40名学生成绩的平均分为82，方差为10.2，则下列四个数中不可能是该班数学成绩的是(

)A.100 B.85 C.65 D.554.α，β为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列说法中正确的个数是(

) ①若α/​/β，m⊂α，则m/​/β

 ②若m/​/α，n⊂α，则m/​/n

 ③若m⊥α，m/​/n，则n⊥α

 ④若α⊥β，α∩β=n，m⊥n，则m⊥βA.1 B.2 C.3 D.45.已知棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，P、Q分别为CD和ADA.33 B.63 C.6.已知在△ABC中，满足ctanB=(2a−c)tanC，点D在AC边上，且BD平分∠ABC，b=23A.3 B.1 C.3 D.7.已知O为三角形ABC内一点，且满足OA⋅OB=OB⋅OC=OCA.π6 B.π4 C.π38.在正三棱锥A−BCD中，M、N分别为AC、BC的中点，P为棱CD上的一点，且PC=2PD，MN⊥MP，若BD=6，则此正三棱锥A−BCD的外接球的表面积为(

)A.3π B.6π C.8π D.9π二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知i为虚数单位，以下说法正确的是(

)A.复数z=(1+i)2在复平面对应的点在第一象限

B.若复数z1，z2满足|z1|=|z2|，则z1=z210.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，下列说法正确的是(

)A.若acosB=bcosA，则△ABC是等腰三角形

B.若△ABC为锐角三角形，则sinA>cosB

C.若AB=22，∠B=11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别为AB，CC1的中点，且MN与正方体的内切球O(OA.线段EF的长为2

B.三棱锥O−DEF的体积为36

C.过O，M，N三点的平面截正方体AC1所得的截面面积为23

D.设三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.某歌手在一次比赛中评委给分为6、6、5、7、7、8、9、10(十分制)则该歌手得分的第七十五百分位数是

．13.如图所示，B是AC的中点，BE=2OB，P是平行四边形BCDE内(含边界)的一点，且OP=xOA+yOB(x、y∈R)，则当y=2时，x14.已知在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，角A为锐角，向量p=(2sinA,−3)与q=(cos2A,四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知向量a=(3,2)，(1)若ka−b与a+3(2)若ka−b与a+316.(本小题12分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB/​/DC，AD=DC=AP=2，AB=1，点E为棱PC的中点．

(1)证明：BE/​/平面PAD;(2)求直线AP与平面ABE所成角的大小．17.(本小题12分)已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(1)求A;(2)若△ABC为锐角三角形，且c=2，求△ABC面积的取值范围．18.(本小题12分)随着社会的进步、科技的发展，人民对自己生活的环境要求越来越高，尤其是居住环境的环保和绿化受到每一位市民的关注，因此，2019年6月25日，生活垃圾分类制度入法，提倡每位居民做好垃圾分类储存、分类投放，方便工作人员依分类搬运，提高垃圾的资源价值和经济价值，力争物尽其用.某市环卫局在A、B两个小区分别随机抽取6户，进行生活垃圾分类调研工作，依据住户情况对近期一周(7天)进行生活垃圾分类占用时间统计如下表：住户编号123456A小区(分钟)220185220225205235B小区(分钟)205195245235225215(1)分别计算A、B小区每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差;以及A、B两个小区抽取的一共12户每周进行生活垃圾分类所用时间的平均值和方差;(2)如果两个小区住户均按照1000户计算，小区的垃圾也要按照垃圾分类搬运，市环卫局与两个小区物业及住户协商，初步实施下列方案： ①A小区方案：号召住户生活垃圾分类“从我做起”，为了利国利民，每200位住户至少需要一名工作人员进行检查和纠错生活垃圾分类，每位工作人员月工资按照3000元(按照28天计算标准)计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少? ②B小区方案：为了方便住户，住户只需要将垃圾堆放在垃圾点，物业让专职人员进行生活垃圾分类，一位专职工作人员对生活垃圾分类的效果相当于5位普通居民对生活垃圾分类效果，每位专职工作人员(每天工作8小时)月工资按照4000元(按照28天计算标准)计算，则每位住户每月至少需要承担的生活垃圾分类费是多少? ③市环卫局与两个小区物业及住户协商分别试行一个月，根据实施情况，试分析哪个方案惠民力度大，值得进行推广?19.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面是边长为2的等边三角形，CC1=2，D，E分别是线段AC、CC(1)求证：A1C⊥(2)若点F为棱B1C1的中点，求三棱锥(3)在线段B1C1上是否存在点G，使二面角G−BD−E的大小为π4，若存在，请求出答案解析1.【答案】A

【解析】解：由i⋅z=2+i，得z=2+ii=2+iii·i=1−2i，2.【答案】C

【解析】解：∵a与b的夹角θ=60°，a=(3,1)，

∴|a|=(3.【答案】D

【解析】解：因为方差s2=i=140xi−x240=10.2，

所以i=140xi−4.【答案】B

【解析】解：①若α//β,m⊂α

，则m//β

，①正确．②若m//α,n⊂α

，则m，n有可能平行或异面，②不正确．③若m⊥α,m//n

，由线面垂直的判定定理可得n⊥α

，③正确．④若α⊥β,α∩β=n,m⊥n，因为m不一定在平面α内，所以m不一定垂直

β

，④不正确．

故选B．5.【答案】C

【解析】解：延长QP交BC延长线于点M，连接A1M，C1M，

易知PQ/​/平面A1C1B，

所以PQ到平面A1C1B的距离即点M到平面A1C1B的距离，

设点M到平面A1C1B的距离为ℎ，

则VM−A1BC1=VA1−C1BM，

因为正方体ABCD−6.【答案】A

【解析】解：∵ctanB=(2a−c)tanC，

由正弦定理得sinCsinBcosB=(2sinA−sinC)sinCcosC，

由sinC>0得sinBcosC=2sinAcosB−sinCcosB，

∴sinBcosC+cosBsinC=2sinAcosB，

∴sin(B+C)=2sinAcosB，

又B+C+A=π，

∴sinA=2sinAcosB，7.【答案】B

【解析】解：如图：

因为OA⋅OB=OB⋅OC，所以OB·OA−OC=OB·CA=0，因此OB⊥AC．

同理可得OC⊥AB，OA⊥BC，因此O是△ABC的垂心．

因为O是△ABC内一点，所以△ABC是锐角三角形，因此∠ABC为锐角．

因为BO=2OA+3OC，所以−OB+OC=2OA+OC，

因此取线段BC、线段AC的中点分别为E、D，则−2OE=4OD，

所以点O在线段ED上，且EOOD=2，∠ABC=∠DEC．

连接AO延长交BC于G，过D作DM//AG，交BC于M，连接CO，

则OG⊥EC，OC⊥DE．

设EG=2y．

因为DM//AG，EOOD=2，所以GM=y，而D是线段AC的中点，因此8.【答案】D

【解析】解：因为M，N分别是棱AC，BC的中点，

所以MN//AB，

因为MN⊥MP，

所以AB⊥MP，

因为三棱锥A−BCD为正三棱锥，

所以AB⊥CD(对棱垂直)，

又因为MP，CD⊂面ACD，MP∩CD=P，

所以AB⊥面ACD，

因为AC，AD⊂面ACD，

所以AB⊥AC，AB⊥AD，

因为三棱锥A−BCD为正三棱锥，

所以△ABD是等腰三角形，

△BCD是等边三角形，

因为BD=6，

所以AB=AD=6×cos45°=3，DC=BD=6，

所以AC2+AD2=DC2，即AC⊥AD，

所以AB，AC，AD两两垂直，9.【答案】CD

【解析】解：对于A、z=(1+i)2=2i，对应点(0,2)，不在复平面对应的点在第一象限，故A错误；

对于B、取z1=1，z2=i，满足|z1|=|z2|,但不满足z1=z2，故B错误；

对于C、z=10.【答案】BD

【解析】解：对于A:在△ABC中，acosB=bcosA，即acosA=bcosB，

由正弦定理得sinAcosA=sinBcosB，

即sin2A=sin2B，得A=B或A+B=π2，

则△ABC是等腰三角形或直角三角形，故A错误;

对于B：因为△ABC为锐角三角形，

则A+B>π2，即A>π2−B，

所以sin⁡A>sin⁡(π2−B)=cos⁡B，故B正确；

对于C:在△ABC中，AB=22，∠B=45∘，AC=3，

由余弦定理得cos11.【答案】ABD

【解析】解：过

O

，

M

，

N

三点的截面为正六边形

MGNHIJ

，球心

O

为其中心，

在正六边形

MGNHIJ

中，

OM=ON=2

，点

O

到

MN

的距离为

22

，

OE=OF=1

，所以

EF=21−12=2

，故A正确；

VO−DEF=VD−OEF=13S△OEF⋅DO=13×12×3=36

，故B正确；

正六边形

MGNHIJ

的面积

S=6×12×(2)2sin π3=312.【答案】8.5

【解析】解：将数据由小到大排列为：

5，6，6，7，7，8，9，10，

因为8×75％=6，

所以该歌手得分的第七十五百分位数是8+92=8.5．

故答案为13.【答案】[−1,0]

【解析】解：如图，

过P作PM//AO，交OE于M，作PN//OE，交AO的延长线于N，则：

OP=ON+OM；

又OP=xOA+yOB；

∴x≤0，y≥1；

由图形看出，当y=2时，M为BE中点，

则点P在线段CM上运动，

当点P与M重合时，x=0，OP=2OB，

当点P与点C重合时，x=−1，OP=−OA14.【答案】6【解析】解：因为p→=(2sinA,−3)与q→=(cos2A,cosA)共线，

所以2sinAcosA=−3cos2A，即sin2A=−3cos2A，

所以tan2A=−3，

因为A∈(0,π2)，

所以2A∈(0,π)，

则2A=2π3，解得A=π3，

因为a=3，

由正弦定理得2R=asinA=332=2，

又因为sinB+sinC=215.【答案】解：(1)∵a=(3,2)，b=(2,−1)，

∴ka−b=k(3,2)−(2,−1)=(3k−2,2k+1)，

a+3b=(3,2)+3(2,−1)=(9,−1)，

∵ka−b与a+3b垂直，

∴9(3k−2)+(−1)(2k+1)=0，

∴k=1925【解析】(1)由已知计算ka−b，a+3b的坐标，由(ka−b)·(a16.【答案】解：(1)如图，取PD中点M，连接EM，AM，

由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM/​/DC，且EM=12DC，

又AB//DC，AB=12DC，可得EM/​/AB，且EM=AB，故四边形ABEM为平行四边形，

所以BE/​/AM，又因为AM⊂平面PAD，BE⊄平面PAD，所以BE//平面PAD．

(2)因为PA⊥底面ABCD，AB⊂底面ABCD，∴PA⊥AB，

又AB⊥AD，PA∩DA=A，PA、DA⊂平面PAD，∴AB⊥平面PAD，

又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD，∵AD=AP，M为PD的中点，

∴PD⊥AM，又AB∩AM=A，AB、AM⊂平面ABE，∴PD⊥平面ABE，

∴直线AP在平面ABE内的射影为直线AM，故∠PAM为直线AP与平面ABE所成的角，

由PA⊥底面ABCD，AD⊂底面ABCD可得，PA⊥AD，∠PAD=90∘，

∴△PAD为等腰直角三角形，且AM平分∠PAD，∴∠PAM=45∘，【解析】(1)取PD中点M，连接EM，AM，证明四边形ABEM为平行四边形，即可得证；

(2)因为∠PAM为直线AP与平面ABE所成的角，又△PAD为等腰直角三角形，AM平分∠PAD，即可得解．17.【答案】解：(1)故得acos(B−C)−acos(B+C)=23csinBcosA

所以acosBcosC+asinBsinC−a(cosBcosC−sinBsinC)=23csinBcosA，

即asinBsinC=3csinBcosA.

由正弦定理，得sinAsinBsinC=3sinCsinB【解析】(1)根据两角和与差的余弦公式结合正弦定理求出sinA=3cosA，所以18.【答案】解：(1)xA=16(220+185+220+225+205+235)=215(分钟)，

xB=16(205+195+245+235+225+215)=220(分钟)，

sA2=16[(220−215)2+(185−215)2+(220−215)2+(225−215)2+(205−215)2+(235−215)2]=7753，

sB2=16[(205−220)2+(195−220)2+(245−220)2+(235−220)2+(225−220)2+(215−220)2]=8753，

总体的平均数x=6×215+6×22012=217.5，

总体的方差s2=612[sA2+(xA−x)2]+6【解析】(1)利用表格中数值，代入平均值和方差计算即可；

(2)①计算

A

小区一月至少需要

5

名工作人员的费用和每位住户每月需要承担的费用即可；

②由一位专职工人一天的工作时间按照

8

小时作为计算标准，每月按照

28

天作为计算标准，一位专职工作人员对生活垃圾分类效果相当于

4

名普通居民对生活垃圾分类的效果，计算出

B

小区一月需要专职工作人员数量即可；

③根据以上的运算，分析