2023-2024学年湖南省永州一中高二（下）第一次月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年湖南省永州一中高二（下）第一次月考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.3个班分别从4个景点中选择一处游览，不同选法的种数为(

)A.A43 B.C43 C.2.(1−2x2)(1+x)4的展开式中A.12 B.4 C.−4 D.−83.曲线y=x3+1在点(−1,a)处的切线方程为A.y=3x+3 B.y=3x+1 C.y=−3x−1 D.y=−3x−34.函数f(x)=2e2x−eA. B.

C. D.5.用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字且大于201345的六位数的个数为(

)A.478 B.479 C.480 D.4816.某学校派出五名教师去三所乡村学校支教，其中有一对教师夫妇参与支教活动.根据相关要求，每位教师只能去一所学校参与支教，并且每所学校至少有一名教师参与支教，同时要求教师夫妇必须去同一所学校支教，则不同的安排方案有(

)A.18种 B.24种 C.36种 D.48种7.将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学，每名同学至少分得1本，A表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；B表示事件：“《西游记》分给同学甲”；C表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是(

)A.事件A与B相互独立 B.事件A与C相互独立

C.P(C|A)=512 8.已知定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x)若x1<x2A.ex1f(x2)>ex2f(x1二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.在(x−2x)5A.不存在常数项 B.所有二项式系数的和为32

C.第3项和第4项二项式系数最大 D.所有项的系数和为110.为了贯彻常态化疫情防控工作，动员广大医护人员抓细抓实各项防疫工作，人民医院组织护理、感染、儿科、疾控、药剂、呼吸六位专家进行“防疫有我，健康同行”知识讲座，每天一人，连续6天.则下列结论正确的是(

)A.从六位专家中选两位的不同选法共有20种

B.“呼吸类专家”不排在最后一天的不同排法共有600种

C.“护理、感染类专家”排在相邻两天的不同排法共有240种

D.“护理、感染、儿科类专家”排在都不相邻的三天的不同排法共有72种11.已知f(x)=x2lnx，g(x)=f′(x)x2，f′(x)A.f(x)在(e−12,+∞)上单调递增

B.g(x)在(0,+∞)上两个零点

C.当0<x1<x2<e三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知盒中有3个红球，2个蓝球，若无放回地从盒中随机抽取两次球，每次抽取一个，则第二次抽到蓝球的概率为______．13.设0≤n≤5，n∈Z，且192022+n能被6整除，则n=______．14.已知当x≥e时，不等式xa+1x−四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn+1=2an．

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式；

(Ⅱ)16.(本小题15分)

(1)若(2x+3)4=a0+a1x+a2x217.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PC⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=12PB，AD⊥PB于点D，点E在侧棱PC上，且CE=λCP(0<λ<1)．

(1)证明：PB⊥平面ACD；

(2)是否存在λ，使二面角C−AD−E的余弦值为418.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32，右焦点到直线y=x的距离为3．

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)已知点M(2,1)，斜率为12的直线l交椭圆E于两个不同点A，B，设直线MA与MB的斜率分别为k1，k2；

①若直线19.(本小题17分)

已知函数f(x)=alnx+x2−4x(a∈R)．

(1)讨论函数f(x)的单调区间；

(2)若A(x1,y1)，B(x2,y2)(参考答案1.C

2.C

3.A

4.A

5.B

6.C

7.C

8.A

9.ABC

10.BC

11.ACD

12.2513.5

14.[115.解：(Ⅰ)已知数列{an}的前n项和为Sn，Sn+1=2an，

则当n≥2时，an=Sn−Sn−1=2an−1−(2an−1−1)，

则an=2an−1，

又a1+1=2a1，

即a1=1，16.解：(1)∵(2x+3)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，

令x=1，可得(2+3)4=a0+a1+a2+a3+a4，令x=0，可得17.(1)证明：∵PC⊥平面ABC，∴PC⊥AC，又∵AC⊥BC，PC∩BC=C，

∴AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB，又∵AD⊥PB，AC∩AD=A，∴PB⊥平面ACD；

(2)解：存在．

理由：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设AC=BC=2，∴PB=4，PC=23，BD=1，

则D(0,32,32)，A(2,0,0)，C(0,0,0)，E(0,0,23λ)

CA=(2,0,0)，AD=(−2,32,32)，AE=(−2,0,23λ)，

设平面CAD和平面ADE的一个法向量分别为n=(x,y,z)，m=(a,b,c)，

n⋅CA=0n⋅AD=0，即2x=0−2x+32y+32z=0，令y=1，则x=0，z=−3，

所以平面CAD的一个法向量分别为n=(0,1,−3)，

设平面ADE的一个法向量分别为m=(a,b,c)，18.解：(Ⅰ)设椭圆的右焦点(c,0)，

由右焦点到直线y=x的距离为3，∴c2=3，解得c=6

又由椭圆的离心率为32，

∴ca=32，解得a2=8，b2=2，

∴椭圆E的方程为x28+y22=1．

(Ⅱ)①若直线l过椭圆的左顶点，则直线的方程是l：y=12x+2，

联立方程组y=12x+2x28+y22=1，解得x1=0y1=2或x2=−22y2=0，

故k19.解：(1)函数f(x)=x2−4x+alnx的导数为f′(x)=2x−4+ax=2x2−4x+ax(x>0)，

令g(x)=2x2−4x+a．

①当△=16−8a≤0，即a≥2时，2x2−4x+a≥0恒成立，可得f′(x)≥0恒成立，

即有f(x)的增区间为(0,+∞)，无减区间；

当△=16−8a>0，即a<2，可得2x2−4x+a=0的两根为x=1±1−a2，

②当0<a<2时，1+1−a2>1−1−a2>0，

由f′(x)>0，可得x>1+1−a2，或0<x<1−1−a2．

由f′(x)<0，可得1−1−a2<x<1+1