【岩土结构基础结构力学】第4讲静定结构位移计算2

2019年张工培训注册勘察

设计岩土结构基础班第4讲：静定结构位移计算主讲：黄老师网络授课

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及时答疑专有题库十四、结构力学与结构设计（12题）14.1.3

静定结构位移广义力与广义位移；虚功原理；单位荷载法；荷载下静定

结构的位移计算

图乘法；支座位移和温度变化引起的位移；互等定理及其应用注册土木工程师（岩土）基础考试大纲2十五、结构力学（15题）15.3

静定结构的位移广义力与广义位移

虚功原理

单位荷载法

荷载下静定结构

的位移计算

图乘法

支座位移和温度变化引起的位移

互等定理及其应用一级注册结构工程师基础考试大纲3八、静定结构在荷载作用下的位移计算位移计算一般公式

没有支座位移的影响时（c=0）

微段的变形dq、dh、du均由实际状态中的荷载引起。4ds

FQP(a)实际状态

(b)

虚拟状态MP

MP

FNPFN

FNdsdsduA

ds

CFNP

M

d

A

dsFQPFQFQ5FPd

MCBB1

3.

组合结构正负号规定：MP与M1同侧受拉相乘为正，否则为负。D的方向确定：当D的计算结果为正时，其方向与单位力指向相同；D为负

时，其方向与单位力指向相反。

1.

梁和刚架2.

桁架梁和刚架的位移计算6度)ΔCV

，已知抗弯刚度EI为常数。【解】

(1)建立x坐标，求荷载作用下的MP当0≤x≤

l

/

2M

C

MM2

P

dxCV

A

EI

(2)加相应单位力，求

【例】求简支梁在均布荷载q作用下跨中截面C的竖向位移(即挠(3)计算ᇞCVΔ

=

∫xl/2

l/2CACx(b)7(a)ABBq1FNFN

及EA沿杆长l均为常数：

FNP：荷载引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。：单位力引起的桁架轴力。受拉为正，受压为负。桁架的位移计算

在结点荷载作用下，桁架中各杆只有轴力，且同一杆件的FNP、8

9注意：当要求桁架中某杆的角位移时，不能直接在杆上施加单

位力偶，而应将其转换为等效的结点集中荷载。如求BC杆的角位移时的单位力偶设置方法。求桁杆转角时的虚拟状态

1

d1ddACB

10组合结构的位移计算

拱结构的位移计算一般拱的位移计算只要考虑弯曲变形的影响已足够精确，

扁平拱﹙f＜l/5﹚需

同时考虑弯曲变形和轴向变形的影响，即

11该公式在一定条件下可用图乘

法简化计算。计算梁和刚架在荷载作用下的位移时，常需利用公式

适用条件①杆段的轴线为直线；②杆段的EI为常数；③杆段的M

图和MP

图中至少有一个为直线图形。九、图乘法12

式中，A

为一个弯矩图的面积；yC为另一个直线弯矩图中与A图的形心对应的纵标。dAMP形心C

MP

图A

BdxMyC

x

xCA

B

x13M

图Oy①必须符合图乘法的适用条件。②

A与yC应取自不同的图形。它们位于杆件的同侧时相乘为正，

否则为负。③取yC的图形必须是直线图，不能是折线图或曲线图。④若两者均为直线图，则从任一图中取yC（另一图则取A）均可。⑤对于EI为分段常数的杆，应当分别对EI等于常数的各段图乘，

然后叠加起来。⑥当一个是曲线图形,而另一个是折线图时,应当分段图乘。几点说明14

yC1yC2(b)分段图乘o

A1O

A2o

A1yC1yC2MP

图M

图MP

图M

图15(a)EI2EI1A22⑦记住以下常见图形的面积及其形心位置。常见弯矩图形的面积及其形心位置(l+a)

/3

(l+b)

/3l顶点l(a)(b)(c)ll/32l/3a

bl/2l/2二次抛物线A

=

lhA

=

lhA

=

1

lh

h

h

h

16常见弯矩图形的面积及其形心位置(d)

(e)

(f)llll/5

4l/53l/85l/8l/43l/4二次抛物线A

=

lh二次抛物线A

=

lh三次抛物线A

=

lh

h

顶点顶点顶点17hhΔΔa

18⑧当取A的图形较复杂时，应将其分解为简单图形，再分别图乘AyC=A1yC1＋A2yC2

AyC=A1yC1－A2yC2yC1yC3yC2yC1yC2AyC

＝A1yC1+A2yC2-A3yC3后叠加起来。abAA1

0

-一一一

一

一

O

A2A2

byCaA1yC1

yC2

yCbA1aA

ql

2

ql

2bA2MP

图M

图A3

o(d)(b)(c)(a)bbaa

(1)

若弯矩图为梯形

，可以把它分解为二个三角形，则有

复杂图形分解为简单图形19A2A1C2C1

A2A1

C120C2

21l示，可将其中一个图形分解为ABD和ABC两个三角形，分别与另

一个图形图乘并求和，即

(2)若两个图形都是直线，但都含有不同符号的两部分，如图所A1C1A2

A(3)若M图是由竖向均布荷载和杆端弯矩所引起的，可分解为一个梯形和一个抛物线形两部分，再将上述两图形分别乘求和。q↓A

a

BdxqMA

↓

↓

i

MB

a

ql

2

------"

D

8

-

-

-

A

Bql

28A

//dx22CBB图示M图是由竖向均布荷载和杆端弯矩所引起的另外两种情况,

可分别分解为三角形(或梯形)和抛物线形。23计算步骤①作实际荷载弯矩图

MP图；②建立相应虚设状态,作单位弯矩图

图；M③用图乘法公式求位移。24【例】求图示简支梁A端的转角及跨中截面C的挠度Δ

CV。EI为常数。q(a)l/2

l/2

A

C

25B1(2)

求ΔCV(1)

求φA

(b)

MP

图

（。）11ΔCV

=2

×

1

(

2

×

1

ql2

×

l

)

×

(

5

×

l

)

=

5ql

EI

3

8

2

8

4384EI41

ql

28【解】先作MP

图，如图(b)所示。l/4(d)M

图(c)

M

图(↓)26(b)

278(a)【例】求图示刚架中A、B两点间的相对线位移Δ

AB。各杆EI为

常数。

A1

ql

2qll/2

l/211BDCl/2l/2

28静定结构在发生支座位移时不引起内力，杆件只有刚体位移而不产生微段变形，即dθ

=dη=du

=0

，代入一般公式得：

十、静定结构在支座移动时的位移计算

式中，c

——支座位移。FR——虚拟状态中与c对应的支反力。乘积的正负号规定为：当虚拟状态的支座反力与实际支座位移C

的方向一致时取正号，相反时取负号。注意：式中负号不可漏掉！29(

)【解】在杆端A处加一单位力偶，求得B支杆的支反力，如图b

所示，则

【例】图示简支梁支座B产生竖向位移Δ

B=0.03m，试求杆端A

处的转角。1

A

B

A

B6mFR

=

1/630(b)(a)△AB(a)【解】在C点加一单位力,求出支座位移处的支反力,如图(b)所示。

(b)(↓)【例】结构的支座位移如图所示，求铰C

的竖向位移ΔCV。CA6m

6m

0.06mC1B0

04m

8m

1

231

8B1CV31温度变化时位移计算的一般公式为

如图示结构截面K的竖向位移△。

32t2十一、静定结构在温度变化时的位移计算FP

=1

ds(b)虚拟状态(a)

实际状态Δ

dsK/Kt

1t

1

（1）

dη=0（2）

du=

α

tds

若杆件截面对称于形心轴,

即tt2实际状态中任一微段ds上的变形：温度改变时结构不产生剪切变形ds

t2

dst1

dsh

2h

133dut1hd

tt2Δt

=

t1

-

t2ds

t2

dst1

ds（3）h

2h

134dut1hd

35正负号规定:温差Δt采用绝对值，若弯矩图中杆件的弯曲温，

一致，则乘积

对于桁架，在温度变化时，其位移计算公式为

反之取负号度变化引起取正号变形与设桁架各杆长度的制造误差为Δl(伸长为正，缩短为

负)

，则位移计算公式为

:

3630℃,内侧温度为20℃时A点的水平位移ΔAH和转角φA。已知

l=4m，a

=10-5，各杆均为矩形截面，高度h

=0.4m。t1

=10℃

A【例】图示刚架施工时温度为20℃,试求夏季当外侧温度为lt1

=

10

℃t2

=0℃37l温变引起杆件的弯曲方向为虚线。

=

3

.6

×

1

0

一

3

m

=3.6

mm

(←)【解】外侧温度变化为t1=30-20=10℃,内侧温度变化为t2=20-

20=0℃,故有Δt=t1-t2=10℃

1A1FN38M1l

=

一

5

.5

×1

0

一

4

rad（。）l1Mt1

=10℃

At1=10

℃t2

=0℃39

1

l(a)(c)FNA1l设第一状态为平衡力系状态，第二状态为位移状态，按照

虚功原理得：FP1Δ12

=

Σ

∫

M1dθ2

+

Σ

∫

FQ1dη2

+

Σ

∫

FN1du2

十二、线性弹性结构的互等定理40反过来，设第二状态为平衡力系状态，第一状态为位移状态，按照虚功原理得：

故有：

FP1Δ

12

=

FP

2Δ

21功的互等定理在