预备知识02 集合间的基本关系（原卷版）-2024-2025初升高衔接资料（新高一暑假学习提升）

专题02预备知识二：集合间的基本关系1、理解集合之间的包含与相等的含义；2、能识别给定集合的子集，了解空集含义3、能进行自然语言、图形语言(Venn图)、符号语言间的转换1、子集、空集与Venn图1.1子集的定义：一般地，对于两个集合、，如果集合中任意一个元素都是集合中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合为集合的子集，记作（或），读作“包含于”（或“包含”）。1.2Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为图。则上述集合和集合的包含关系，可以用如下图表示：要点说明：①子集的定义可以理解为：若任意的，都有，则.这可以作为证明的方法；②规定：空集是任何集合的子集；③任何一个集合是它本身的子集，记作AA；④包含关系具有传递性，即若AB，且BC，则AC；⑤集合是集合的子集不能理解为集合是由集合中的“部分元素”组成的，因为集合可能是空集，也可能是集合．⑥注意符号“”与“”的区别：“”只用于集合与集合之间，如{0}N，而不能写成{0}N；“”只能用于元素与集合之间，如0N，而不能写成0N．2、集合的相等如果集合是集合的子集（），且集合是集合的子集（），此时，集合与集合中的元素是一样的，因此，集合与集合相等，记作。要点说明：①若且，则；反之，如果，则且。这就给出了我们证明两个集合全等的方法，即预证，只需证且都成立即可；②两集合相等，则所含元素完全相同，与元素顺序无关；③要判断两个集合是否相等，对于元素比较少的有限集，可用列举法将元素列举出来，看两个集合的元素是否完全相同；若是无限集，应依据“互为子集”从两个方向入手进行判断。④同一个集合，可以有不同的表示方法，这也是定义两个集合相等的意义所在；⑤集合中的关系与实数中的结论类比实数集合包含两层含义：，或AB包含两层含义：，或若，且，则若AB，且AB，则A＝B若，，则若AB，BC，则AC3、真子集真子集（propersubset）：如果集合，但存在元素，且，我们称集合是集合的真子集，记作（或）.读作“真包含于”或“真包含”.要点说明：理解真子集的定义要注意一下几点：①空集是任何非空集合的真子集；②对于集合A，B，C，如果，，那么；③若，则与有两种可能的关系：即或；4、空集我们把不含任何元素的集合叫做空集，记作；要点说明：空集的性质：①空集只有一个子集，即它本身；②空集是任何集合的子集，即；③空集是任何非空集合的真子集，即若，则，反之也成立。④空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集，也不是无限集；对点特训一：判断集合子集（真子集）个数典型例题例题1．（23-24高一下·广东梅州·阶段练习）集合的子集的个数是（

）A．16 B．8 C．7 D．4例题2．（23-24高一上·山东·阶段练习）满足的集合M的个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．6精练1．（2020·广东梅州·模拟预测）已知集合，，则的子集个数为（

）A．8 B．6 C．4 D．22．（23-24高一上·广东中山·阶段练习）集合的子集个数为．对点特训二：求集合子集（真子集） 典型例题例题1．（23-24高一上·四川成都·期中）集合的一个子集是（

）A． B． C． D．例题2．（多选）（23-24高一上·江苏南京·期中）下列各个选项中，满足的集合有（

）A． B． C． D．精练1．（23-24高三上·四川·期末）集合的一个真子集可以为（

）A． B． C． D．2．（多选）（23-24高一上·山西太原·阶段练习）已知集合M满足⫋，则这样的集合M可能为（

）A． B． C． D． 对点特训三：判断集合的包含关系典型例题例题1．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，，则（

）A． B．⫋C．⫋ D．例题2．（23-24高一上·宁夏吴忠·阶段练习）已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（

）A． B．C． D．精练1．（2024·广东·一模）已知集合，则（

）A． B． C． D．2．（22-23高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知集合，则有（

）A． B． C． D．对点特训四：根据集合的包含关系求参数典型例题例题1．（2024·青海西宁·二模）设集合,若,则（

）A． B． C．1 D．3例题2．（23-24高一下·贵州遵义·阶段练习）已知集合，，若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．精练1．（23-24高三下·重庆·阶段练习）集合，，若，则实数（

）A． B．0 C． D．12．（2024·辽宁葫芦岛·一模）已知集合，．若，则实数的取值集合为．对点特训五：判断两个集合是否相等典型例题例题1．（23-24高一上·河北·期中）下列集合中表示同一集合的是（

）A．，B．，C．，D．，例题2．（23-24高一上·上海·期中）是有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④．与集合相等的集合序号是.精练1．（23-24高一上·宁夏石嘴山·阶段练习）下列集合中表示同一集合的是（

）A．整数，整数集B．，C．，D．，2．（多选）（23-24高一上·新疆伊犁·阶段练习）给出以下几组集合，其中相等的集合有（

）A．B．C．D．对点特训六：根据两个集合相等求参数典型例题例题1．（2024·云南大理·模拟预测）已知，其中，则（

）A．0 B．或 C． D．例题2．（23-24高一上·山东临沂·期末）集合，，且，则实数．精练1．（23-24高一上·湖北孝感·期中）已知集合，其中，则实数（

）A． B． C． D．2【答案】C2．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，若，则c的值为.对点特训七：空集典型例题例题1．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）有下列关系式：①；②；③；④；⑤；⑥其中不正确的是（

）A．①③ B．③④⑤ C．①②⑤⑥ D．③④例题2．（23-24高一上·新疆喀什·期中）已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是.精练1．（23-24高一上·新疆·期中）下列四个关系式中正确的个数是（

）（1）；（2）；（3）；（4）．A．1 B．2 C．3 D．42．（23-24高一上·四川广安·期中）若集合，则实数a的值的集合为．一、单选题1．（23-24高一下·贵州贵阳·阶段练习）设集合，则下列表述正确的是（）A． B．C． D．2．（2024·云南贵州·二模）已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．（2024·广东广州·一模）设集合，，若，则（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）下列能正确表示集合和关系的是（

）A． B．C． D．5．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）设集合，则下列选项中正确的是（

）A．⫋ B．⫌ C． D．6．（23-24高三上·浙江宁波·期末）设全集，集合，，则（

）A． B． C． D．7．（2024·浙江·二模）已知集合，，若，则满足集合的个数为（

）A．4 B．6 C．7 D．88．（23-24高三上·云南昆明·阶段练习）若集合有15个真子集，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题9．（23-24高一上·重庆云阳·阶段练习）下列集合中，与集合相等的是（

）A． B． C． D．10．（23-24高一上·河北保定·阶段练习）若集合恰有两个子集，则的值可能是（

）A．0 B． C．1 D．0或1三、填空题11．（23-24高一下·上海·期中）已知集合，，且．则实数的取值范围为．12．（2024高一上·全国·专题练习）已知集合，，