河南省许昌市2023-2024学年高二下学期7月期末教学质量检测数学试题

XCS2023—2024学年第二学期期末教学质量检测高二数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将答题卡交回。一、单项选择题：本题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1．已知为等差数列，为其前n项和．若，公差，，则m的值为（）A．4 B．5 C．6 D．72．已知圆与抛物线的准线相切，则（）A．1 B．2 C．4 D．83．在一次闯关游戏中，小明闯过第一关的概率为，连续闯过前两关的概率为．事件A表示小明第一关闯关成功，事件B表示小明第二关闯关成功，则（）A． B． C． D．4．已知三个正态密度函数（，，2，3）的图像如图所示，则（）A．， B．，C．， D．，5．已知平面上两点和，若直线上存在点P使，则称该直线为“单曲型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是（）①；②；③；④．A．①③ B．①② C．②③ D．③④6．一圆形餐桌依次有A、B、C、D、E、F共有6个座位．现让3个大人和3个小孩入座进餐，要求任何两个小孩都不能坐在一起，则不同的入座方法总数为（）A．6 B．12 C．72 D．1447．几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点M，N是锐角的一边上的两点，试着在边上找一点P，使得最大”．如图，其结论是：点P为过M，N两点且和射线相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系中，给定两点，，点P在x轴上移动，当取得最大值时，该圆的方程是（）A． B．C． D．8．已知函数有三个零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．二．多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的四个选项中，有多个符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分．9．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的关系，正确的有（）A． B． C． D．10．下列命题中，正确的命题的序号为（）A．已知随机变量X服从二项分布，若，，则B．将一组数据中的每个数据都加上同一个常数后，方差恒不变C．设随机变量服从正态分布，若，则D．某人在10次射击中，击中目标的次数为X，，则当时概率最大11．若正方体的棱长为1，且，其中，，则下列结论正确的是（）A．当时，三棱锥的体积为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，的最小值为D．若，点P的轨迹为一段圆弧三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知，且，则Y的方差为____________．13．已知，则____________．14．现有n（，）个相同的袋子，里面均装有n个除颜色外其他无区别的小球，第k（，2，3，…，n）个袋中有k个红球，个白球．现将这些袋子混合后，任选其中一个袋子，并且从中连续取出四个球（每个取后不放回），若第四次取出的球为白球的概率是，则____________．四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）已知数列的前n项和满足，数列是公差为的等差数列，．（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．16．（15分）将氢储存在甲基环乙烷和甲苯等有机液体中是储氢和运输氢的重要方向．2023年12月俄罗斯科学院西伯利亚分院科研人员用镍和锡取代铂，研发出一种新型高效的脱氢催化剂，脱氢效率达，且对储氢载体没有破坏作用，可重复使用．近年来，我国氢能源汽车产业迅速发展，下表是某市氢能源乘用车的年销售量与年份的统计表（年份代码分别对应的年份是（）：年份代码x12345销量y（万台）23.52.589（1）求氢能源乘用车的销量y关于年份代码x的线性回归方程，并预测2024年氢能源乘用车的销量；（2）为了研究不同性别的学生对氢能源的了解情况，某校组织了一次有关氢能源的知识竞赛活动，随机抽取了男生和女生各60名，得到如表所示的数据：了解不了解合计男生25女生20合计（ⅰ）根据已知条件，填写上述列联表；（ⅱ）依据的独立性检验，能否认为该校学生对氢能源的了解情况与性别有关？参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，；，．0.0500.0100.0013.8416.63510.82817．（15分）如图，斜三棱柱的底面是直角三角形，，点在底面内的射影恰好是的中点，且．（1）求证：平面平面；（2）若斜棱柱的高为，求平面与平面夹角的余弦值．18．（17分）函数．（1）讨论的单调性；（2）若函数有两个极值点，，曲线上两点，连线斜率记为k，求证：；19．（17分）已知P是抛物线上任意一点，且p到的焦点F的最短距离为．直线l与交于，两点，与抛物线交于，两点，其中点A，C在第一象限，点B，D在第四象限．（1）求抛物线的方程．（2）证明：．（3）设，的面积分别为，，其中O为坐标原点，若，求．高二数学（答案与解析）一．单选：1-4：BCCC 5-8：BCCD二．多选：9．AC 10．BCD 11．AC三．填空题：12．18； 13．2024； 14．9四．解答题15．（13分）解：（1）因为，所以，当时，， （2分）由于满足，所以的通项公式为， （4分）因为数列是公差为的等差数列，，所以，所以； （6分）（2）因为， （9分）所以． （13分）16．（15分）解：（1）年份x的平均数，销量y的平均数，所以，（3分）所以， （5分）所以， （6分）所以氢能源乘用车的销量y关于年份x的线性回归方程为， （7分）令，得，所以预测2024年氢能源乘用车的销量约为12.4万台． （8分）（2）（ⅰ）根据男生和女生各60名，补全列联表为：了解不了解合计男生352560女生204060合计5565120（11分）（ⅱ）零假设：该校学生对氢能源的了解情况与性别无关，根据列联表中的数据可得，， （13分）依据的独立性检验，可以推断不成立，即该校学生对氢能源的了解情况与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.01． （15分）17．（15分）证明：（1）取中点为M，连接，∵在底面内的射影恰好是中点，∴平面， （2分）又∵平面，∴， （3分）又∵，∴，∵，平面，，∴平面， （6分）又∵平面，∴平面平面． （7分）解：（2）取中点N，因为四边形是平行四边形，∴，∴面，以C为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系，∵，斜棱柱的高为，∴，，，，，，，， （10分）设平面的一个法向量为，则有，令，则，∴， （12分）设平面的一个法向量为，则有∴，令，则，，∴， （13分）∴，所以平面与平面夹角的余弦值为． （15分）18．（17分）解：（1）定义域为，， （2分）对于方程，，当，即时，，，在上单增， （4分）当，即或时，方程有两不等根，，，而，，所以当时，，在上恒成立，在上单增；当时，，或时，，时，，所以在和上单增，在上单减， （7分）综上，当时，在上单增；当时，在和上单增，在上单减； （8分）（2）， （11分）所以要证，即证，即证，也即证（*）成立． （14分）设，函数，由（1）知在上单增，且，所以时，，所以（*）成立，原不等式得证； （17分）19．（17分）解：（1）设，易知，准线方程为，所以． （2分）当时，取得最小值，由，解得．所以抛物线的方程为． （5分）（2）设直