2025届高三一轮复习数学试题(人教版新高考新教材)考点规范练20　三角函数的图象与性质

考点规范练20三角函数的图象与性质一、基础巩固1.下列函数是周期为π的奇函数的是()A.y=sinxcosx B.y=sin2xC.y=tan2x D.y=sin2x+cos2x答案:A解析:y=sinxcosx=12sin2x是周期为π的奇函数;y=sin2x为偶函数;y=tan2x的周期为π2;y=sin2x+cos2x为非奇非偶函数,故选2.已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)对任意x都有fπ6+x=fπ6-xA.2或0 B.-2或2 C.0 D.-2或0答案:B解析:由fπ6+x=fπ6-x知,函数图象关于直线x=π6对称,fπ6是函数f3.(2022新高考Ⅰ,6)记函数f(x)=sin(ωx+π4)+b(ω>0)的最小正周期为T.若2π3<T<π,且y=f(x)的图象关于点(3π2,2)中心对称,则f(π2A.1 B.3C.52 D.答案:A解析:∵y=f(x)的图象关于点3π2∴b=2,且sin3π2∴3π2ω+π4=kπ,k∈Z,解得ω=2k3∵T=2π|ω|,ω>0,∴2π3<2πω<π,∴∴当k=4时,ω=52符合题意故f(x)=sin52x+∴fπ2=sin5π4+π4+24.已知直线y=m(0<m<2)与函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)图象的相邻的三个交点依次为点A(1,m),B(5,m),C(7,m),则ω等于()A.π3 B.π4 C.π2 答案:A解析:由题意,得函数f(x)图象的相邻的两条对称轴方程分别为x1=1+52=3,x2=5+72=6,故函数的周期为2×(6-3)=2πω,得ω=π5.函数y=cos(x+1)的图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是()A.π2+4 B.C.2 D.π答案:A解析:因为y=cos(x+1)的周期是2π,最大值为1,最小值为-1,所以y=cos(x+1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是π2+4,故选6.(多选)若函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ∈R)图象的一条对称轴的方程为x=π6,则φ可能的取值为()A.-π3 B.-5π6 C.2π答案:BD解析:因为函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ∈R)图象的一条对称轴方程为x=π6,所以2×π6+φ=π2+kπ(k∈Z),解得φ=π6+kπ(k∈Z),所以当k=0时,φ=π6;当k=1时,φ=7π6;当k=-7.已知曲线f(x)=sin2x+3cos2x关于点(x0,0)成中心对称,若x0∈0,π2,则x0A.π12 B.π6 C.π3 答案:C解析:由题意可知f(x)=2sin2x+π3,其图象的对称中心为点(x0,0),故2x0+π3=kπ(k∈Z),即x0=-π6又x0∈0,π2,故k=1,x0=π38.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数),相邻两个零点的差为-π2,且对任意x,f(x)≥f2π3A.f(2)<f(-2)<f(0) B.f(0)<f(2)<f(-2)C.f(-2)<f(0)<f(2) D.f(2)<f(0)<f(-2)答案:A解析:因为函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ均为正的常数),相邻两个零点的差为-π2,所以函数f(x)的最小正周期T=π,所以ω=2因为对任意x,f(x)≥f2π3恒成立,所以Asin2×2π3+φ=-A,即φ=2k所以f(x)=Asin2x+2kπ+π6=A故f(-2)=Asin-4+π6=Asin(π6-4+2f(2)=Asin4+π6<0,f(0)=Asinπ6=Asin由于3π2>π6-4+2π>5π6>π2,而正弦函数在区间π2,9.已知f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数,则fπ6=.答案:1解析:因为f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)是偶函数,所以φ=π2+kπ,k∈Z,而0<φ<π,故取k=0,得φ=π2,则f(x)=sin2x+π2=cos2x,所以10.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的最小正周期为4π,且fπ3=1,则f(x)图象的对称中心是答案:2kπ-2π解析:由题意得2πω=4π,解得ω=12,故f(x)=由fπ3=1,可得12×π3+φ=2kπ+π2(k∈Z),由|φ|<π故f(x)=sin12由12x+π3=kπ(k∈Z),可得x=2kπ-2π3(k故f(x)图象的对称中心为点(2kπ-2π3,0)(k∈Z11.(2023新高考Ⅰ,15)已知函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,则ω的取值范围是.

答案:[2,3)解析:由题意可知,要使函数f(x)=cosωx-1(ω>0)在区间[0,2π]上有且仅有3个零点,即函数y=cosωx(ω>0)的图象在区间[0,2π]上有且仅有3个最高点,设y=cosωx(ω>0)的最小正周期为T,画出函数y=cosωx(ω>0)的大致图象,如图.要满足题意,需要2T≤2π<3T,即2π3<T=解得2≤ω<3.二、综合应用12.若函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=13π12,且-π2<φ<π2,则函数y=f(x+A.奇函数,且在区间0,B.偶函数,且在区间0,C.偶函数,且在区间0,D.奇函数,且在区间0,答案:D解析:因为函数f(x)=cos(2x+φ)的图象的一条对称轴方程为x=13π12,所以13π6+φ=kπ(k∈Z),即φ=kπ-13π6又-π2<φ<π2,则φ=-π6,于是y=fx+π3=cos[2(x+π3)-π6]=cos2x+π2=-sin13.(多选)定义在R上的函数f(x)=sin(2x+φ)-π2<φ<π2,则fA.φ=πB.f(x)的图象关于直线x=π12C.f(x)的图象关于点π3D.f(x)的图象关于直线x=5π答案:ABC解析:对于A,当φ=π6时,f(x)=sin2由-π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ,k∈Z,得-π3+kπ≤x≤π6所以f(x)的单调递增区间为[-π3+kπ,π6+kπ],k∈因为-π6,0⫋-π3+kπ,π6+kπ,对于B,由f(x)的图象关于直线x=π12对称,得2×π12+φ=π2+kπ,k所以φ=π3+kπ,k∈Z,又-π2<φ<π2,所以φ=π3,得f(x)由-π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-5π12+kπ≤x≤π所以f(x)的单调递增区间为[-5π12+kπ,π12+kπ],k因为-π6,0⫋-5π12+kπ,π12+kπ对于C,由f(x)的图象关于点π3,0对称,得2×π3+φ=kπ,所以φ=-2π3+kπ,k∈Z,又-π2<φ<π2,所以φ=π3,得f(x由B知f(x)在区间-π6,0内单调递增,对于D,由f(x)的图象关于直线x=5π12对称,得2×5π12+φ=π2+kπ所以φ=-π3+kπ,k∈Z,又-π2<φ<π2,所以φ=-π3,得f(x)由-π2+2kπ≤2x-π3≤π2+2kπ,k∈Z,得-π12+kπ≤x≤5π所以f(x)的单调递增区间为-π12+kπ因为-π6,0不是-π12+所以f(x)在区间-π6,0内不单调递增,14.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|≤π2,x=-π4为f(x)的零点,直线x=π4为y=f(x)图象的对称轴,且fA.11 B.9 C.7 D.5答案:B解析:由题意得-解得φ=k1+k22π+π4,ω=2(k2-k1)+1,k1∵|φ|≤π2,∴φ=π4或φ=-∵f(x)在区间π18,∴5π36−π18≤T2(T为周期),T≥π∵ω>0,∴0<ω≤12.若φ=π4,则k1+k2=0,ω=4k2+1,ω=1,5,9,若ω=9,则f(x)=sin9x+π4在区间若φ=-π4,则k1+k2=-1,ω=4k2+3,ω=若ω=11,则f(x)=sin11x-π4在区间π18,3π综上,ω的最大值为9.15.已知函数f(x)=3sinωx-π6(ω>0)和g(x)=3cos(2x+φ)的图象的对称中心完全相同,若x∈0,π2,则f答案:-解析:由两个三角函数的图象的对称中心完全相同,可知它们的周期相同,则ω=2,即f(x)=3sin2x当x∈0,π2时,-π6≤2x-π6≤5π6,解得-12≤sin(2x-π6三、探究创新16.已知函数f(x)=sin2x+π6,其中x∈[-π6,a].当a=π3时,f(x)的值域是;若f(x)的值域是-答案:-解析:若-π6≤x≤π3,则-π6≤2x+π6≤5π6,此时-12≤sin2x+π6≤1,即f(x)的值域是[-12,1].若-π6≤x因为当2x+π6=-π6或2x+π6=7π6时,sin2x+π6=-12,所以要使f(x)的值域是-12,1,则π2≤2a+π6≤7π17.设定义在R上的函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-π12<φ<π①f(x)的最小正周期为π;②f(x)在区间(-π6③f(x)的图象关于点(π3④f(x)的图象关于直线x=π12对称以其中两个论断作为条件,另两个论断作为结论,写出一个真命题(写成“p⇒q”的形式).(用到的论断都用序号表示)

答案:①④⇒②③或①③⇒②④解析:若f(x)的最小正周期为π,则ω=2,函数f(x)=sin(2