高中数学双曲线经典例题

高中数学双曲线经典例题

一、双曲线定义及标准方程

1.两圆Ci：（x+4）2+y2=2,C2：（x-4）2+y2=2,动圆M与两圆Ci,

C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）

22

A.x=0B.掾-匕（x?收）

2222

CT-f?=1D-黄力1或x=。

2、求适合以下条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上，虚轴长为12,离心率为空；

4

（2）顶点间的距离为6,渐近线方程为尸土1^•

3、与双曲线*2-彳=1有一样的焦点，且过点P（4,6）的双曲线的标

准方程是

4、求焦点在坐标轴上，且经过点A〔M，-2）和B（-2正，行）

两点的双曲线的标准方程.

22

5、P是双曲线正-匚=1上一点，Fi,F2是双曲线的两个焦点，假设

6436

|PFi|=17,则IPF2I的值为.

二、离心率

1、点臼、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，假设

△PFF2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为.

22

2、设Fi,F2是双曲线C：与-4=1（a>0,b>0）的两个焦点.假

a2b2

设在C上存在一点P.使PF1J_PF2,且NPFIF2=30。，则C的离心率为.

22

3、双曲线％b>0)的焦距为2c,直线I过点(a,0)和

ab

(0,b),且点(1,0)到直线I的距离与点(-1,0)到直线I的距

离之和s>|c・则双曲线的离心率e的取值范围是()

A.(1,V5］B.(1,冬C.［泥，+8)D.除巡］

3、焦点三角形

1、设P是双曲线x2-』=l的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，

3

A(3,1),则|PA|+|PF|的最小值为.

2、.F”F2分别是双曲线3x2-5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一

点，且NFFF2=120°,求△FFF2的面积.

3、双曲线焦点在y轴上，F”Fz为其焦点，焦距为10,焦距是实轴

长的2倍.求：

(1)双曲线的渐近线方程；

(2)假设P为双曲线上一点,且满足NFFF2=60°,求△PFF2的面积.

4、直线与双曲线的位置关系

过点P(1,1)的直线L与双曲线*2-吟=1只有一个公共点，则直线

L的斜率k=

5、综合题型

22\12.

如图，椭圆/方=l(a>b>0)的离心率为勺，以该椭圆上的点和椭圆

的左、右焦点Fl、F2为顶点的三角形的周长为4(镜+1),一等轴双

曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，

直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

（1）求椭圆和双曲线的标准方程；

⑵设直线PF1、PF2的斜率分别为kl、k2,证明：kl-k2=l；

⑶是否存在常数入，使得|AB|+|CD|=N|AB|・|CD什亘成立假设存

在，求人的值；假设不存在，请说明理由.

高中数学双曲线经典例题

参考答案与试题解析

一.选择题（共2小题）

1.（2015秋•洛阳校级期末）两圆Cl：（X+4）2+y2=2,C2：（X-4）2+y2=2,动圆

M与两圆Ci，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（）

22

A.x=0B.(x>V2)

2222

U-D.

【解答】解：由题意，①假设两定圆与动圆相外切或都内切，即两圆Ci：（x+4）

22

2+y2=2,c2：（x-4）+y=2,动圆M与两圆Ci，C2都相切，

••/MCI|=|MC2],即M点在线段CI,C2的垂直平分线上

又C1，C2的坐标分别为（-4,0）与（4,0）

...其垂直平分线为y轴，

.•.动圆圆心M的轨迹方程是x=0

②假设一内切一外切，不妨令与圆Ci：（x+4）2+y2=2内切，与圆C2：（x-4）2+y2=2

外切，则有M到14,0）的距离减到（-4,0）的距离的差是2圾，由双曲线

的定义知，点M的轨迹是以（-4,0）与（4,0）为焦点，以加为实半轴长的

22

双曲线，故可得b2=c2-a2=14,故此双曲线的方程为--匚=1

214

22

综①②知，动圆M的轨迹方程为读-方1或x=0

应选D.

22

2.（2014•齐齐哈尔三模）双曲线％-01缶〉1,b>0）的焦距为2c,直线I

a2b2

过点（a,0）和（0,b）,且点（1,0）到直线I的距离与点（-1,0）到直线I

的距离之和s*c-则双曲线的离心率e的取值范围是（）

A.（1.泥］B.（1,孚］C.［泥，+8）D.薛，泥］

【解答】解：直线I的方程为三+工=1,即bx+ay-ab=0.

ab

由点到直线的距离公式，且a>l,得到点（1,0）到直线I的距离d产夕-1）,

1V77P

同理得到点［-1,0）到直线|的距离s=d1+d广/2ab=区.

Va2+b2Va2+b2。

日」SA^c，得5ay/c2-a??？/一

于是得57e2-l^2e2>即4e4~25e2+25<0.

解不等式，得"We2W5.

4

由于e>l>0,

所以e的取值范围是喙《e<^.

应选D.

二.填空题（共5小题）

22

3.（2013秋•城区校级期末）P是双曲线二-上一点，Fi，F2是双曲线的

6436

两个焦点，假设|PFi|=17,则IPF2I的值为33.

22______

【解答】解：由双曲线方程工-匚=1知，a=8,b=6,则c=J/+h2=10.

6436Ya+b

•••P是双曲线上一点，

/.||PFi|-PF2I=2a=16,

又|PFi=17,

IPF21=1或IPF2=33.

又IPF2I2c-a=2,

/.|PF2|=33.

故答案为33

4.(2008秋•海淀区期末)点Fi、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上

一点，假设△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为返旦.

2

【解答】解：由题意，角Fi或角F2为直角，不妨令角F2为直角，双曲线方程!

22

此时P(c,y),代入双曲线方程

2,2

ab

k2

解得y=±—

a

又三角形PF1F2为等腰三角形得PF2=F1F2,

,2

故得也_=2c,即2ac=c2-a2,

a

即e2-2e-1=0,解得e=l±72

故双曲线的离心率是企+1

故答案为A/^+1.

2

5.(2014秋•象山县校级月考)设P是双曲线x2-二=1的右支上的动点，F为

3

双曲线的右焦点，A(3,1),则PA曲|PF|的最小值为技-2.

【解答】解：设双曲线左焦点为F2,

由双曲线的定义可得IPF2I-|PF|=2a,即|PF|=|PF21-2a,

则|PA|+|PF|=|PF2|+PA-2a2|F2AI-2a,

当p、F2、A三点共线时，|PF21+|PA|有最小值,

此时F2(-2,0)、A(3,1),

则|PF21+IPA|=|AF2|=J^,

而对于这个双曲线，2a=2,

所以最小值为亚-2.

故答案为：A/26_2.

2

6.（2011秋•张家港市校级期末）与双曲线*2-看-=1有一样的焦点，且过点

2

P（4,6）的双曲线的标准方程是j-y2

22

【解答】解：设所求双曲线的方程为芸-4=1，

a2bu2

2

•••双曲线x2-彳=1的焦点为（土泥，0）

.•.所求双曲线中的c2=5①

•••双曲线过点P（4,V3）

*耳=1②

ab

且c2=a2+b2③

联立①②③解得a2=4,b2=l,

2.

...双曲线的方程为3--y2

4丫

2-

故答案为：三--y2

4y

22

7.（2013•湖南）设Fi，F2是双曲线C：--2_=1（a>0,b>0）的两个焦点.假

2,2

ab

设在C上存在一点P.使PF1LPF2，且NPFF2=30。，则C的离心率为我+1.

【解答】解:依题意可知NFIPF2=90°|FIF21=2C,

|PFi|=®FiF21=V5c,PF2|=1|F1F2|=C,

22

由双曲线定义可知|PFi|-|PF21=2a=（«-1）c

/.e=—=A/3+1.

a

故答案为：Vs+i.

三.解答题（共4小题）

8.Fi，Fz分别是双曲线3x2-5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且N

FIPF2=120°,求△F1PF2的面积.

22

【解答】解：由题意，双曲线3x2-5y2=75,可化为工-匚=1

2515

O

由余弦定理可得160=PF，+PF22-2PFI«PF2COS120=(PFi-PF2)

2+3PFI・PF2=100+3PFI・PF2,

.•.PFI*PF2=20.

o

SAFiPF2=^-PFi*PF2sinl20=^X20x1=5^.

222

故答案为：A.

9.(2014春•湄潭县校级期中)双曲线焦点在y轴上，Fi，F2为其焦点，焦距为

10,焦距是实轴长的2倍.求：

(1)双曲线的渐近线方程；

(2)假设P为双曲线上一点，且满足NFIPF2=60。，求△PF1F2的面积.

22

【解答】解：(1)设双曲线方程为二-二=i(a>0,b>0),则

2,2

ab

•・•焦距是实轴长的2倍，

:.c=2a,

Ab=7c2-a2=^a,

...双曲线的渐近线方程为y=土区x；

3

222

(2)由余弦定理可得4C=PFI+PF2-2PFI«PF2COS60°=(PFi-PF2)

2+PFi»PF2=4a2+PFi»PF2,

•.•焦距为10,

A2c=10,2a=5

.,.PFI«PF2=75.

•0FIPF2JPFi・PF2sin60°=L75•退

2224

10.(2008秋•岳阳校级期末)求焦点在坐标轴上，且经过点A-2)和B

[-20V?)两点的双曲线的标准方程.

【解答】解：设所求双曲线方程为：mx2-ny2=l,[mn>0),

因为点A(遮，-2)和B(-2^,沂)在双曲线上，

3m~4n=1

所以可得：

12m-7n=1

解得

22

故所求双曲线方程为二-。=1.

39

11.(2009秋•天心区校级期末)求适合以下条件的双曲线的标准方程:

(1