2025届新教材高中数学第3章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.1椭圆及其标准方程课件新人教A届选择性必修第一册

3．1椭圆3．1.1椭圆及其标准方程素养目标•定方向

1．理解椭圆的定义及椭圆的标准方程．(重点)2．掌握用定义法和待定系数法求椭圆的标准方程．(重点)3．理解椭圆标准方程的推导过程，并能运用标准方程解决相关问题．(难点)

1．通过椭圆标准方程及椭圆焦点三角形的有关问题的学习，培养数学运算素养．2．借助轨迹方程的学习，培养逻辑推理及直观想象素养.必备知识•探新知

椭圆的定义知识点11.定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_______(大于|F1F2|)的点的轨迹．2．焦点：两个定点F1，F2.3．焦距：两焦点间的距离|F1F2|.4．几何表示：|MF1|＋|MF2|＝_______(常数)且2a_____|F1F2|.常数2a>做一做：(多选题)下列说法中，不正确的是(

)A．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于4的点的轨迹是椭圆B．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．到点M(－3,0)，N(3,0)的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆D．到点M(0，－3)，N(0,3)的距离相等的点的轨迹是椭圆[解析]

选项A中所求点的轨迹不存在，选项B中所求点的轨迹是线段MN，选项C由椭圆的定义知，C选项说法正确，选项D中所求点的轨迹是线段MN的垂直平分线.ABD求椭圆的标准方程知识点2F1(－c,0)，F2(c,0)F1(0，－c)，F2(0，c)b2＝a2－c2思考：能否根据椭圆的标准方程，判定焦点位置？提示：能．椭圆的焦点在x轴上⇔标准方程中含x2项的分母较大；椭圆的焦点在y轴上⇔标准方程中含y2项的分母较大．[解析]

因为169>25，所以焦点在y轴上，且a2＝169，b2＝25，所以c2＝169－25＝144，c＝12，故焦点坐标为(0，－12)和(0,12)．y(0，－12)和(0,12)2．焦点在x轴上，焦距等于4，且经过点P(6,0)的椭圆的标准方程是______________.关键能力•攻重难1．根据下列条件，求椭圆的标准方程：(1)两个焦点的坐标分别为(－4,0)和(4,0)，且椭圆经过点(5,0)；(2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)；题型探究题型一求椭圆的标准方程[分析]

(1)设出焦点在x轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出a，b的值，即可求得方程；(2)设出焦点在y轴上的椭圆的标准方程，再根据条件求出a，b的值，即可求得方程；(3)焦点位置不确定，可以分两种情况分别求解，也可直接设所求椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)．[规律方法]

1.定义法求椭圆方程利用定义，直接求出a，c，再求出b后根据焦点的位置写出椭圆的方程．2．待定系数法求椭圆标准方程的步骤(1)作判断：依据条件判断椭圆的焦点在x轴上还是在y轴上，还是在两个坐标轴上都有可能．(2)设方程：②在不能确定焦点位置的情况下也可设mx2＋ny2＝1(m>0，n>0且m≠n)．(3)找关系：依据已知条件，建立关于a，b或m，n的方程组．(4)得方程：解方程组，将a，b或m，n代入所设方程即为所求．提醒：求椭圆的标准方程首先要关注焦点位置，焦点位置不同椭圆的方程不同．

求适合下列条件的椭圆的标准方程：对点训练❶题型二椭圆中的焦点三角形问题[分析]

(1)由|PF1|＋|PF2|是定值，求|PF1|·|PF2|的最大值，可考虑用基本不等式；(2)求焦点三角形的面积，可考虑用定义|PF1|＋|PF2|＝2a及余弦定理先求|PF1|·|PF2|，再考虑用三角形面积公式求面积．[规律方法]

焦点三角形的常用公式(1)焦点三角形的周长L＝2a＋2c.(2)在△MF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|MF1|2＋|MF2|2－2|MF1||MF2|cosθ.(1)求椭圆M的标准方程；(2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆M上，且△PF1F2的面积为1，求点P的坐标．对点训练❷题型三定义法求轨迹方程3．一动圆过定点A(2,0)，且与定圆x2＋4x＋y2－32＝0内切，求动圆圆心M的轨迹方程．[解析]

将定圆的方程化为标准形式为(x＋2)2＋y2＝62，这时，已知圆的圆心坐标为B(－2,0)，半径为6，如图所示，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.∴已知圆(大圆)半径与动圆(小圆)半径之差等于两圆心的距离，即|BC|－|MC|＝|BM|，而|BC|＝6，∴|BM|＋|CM|＝6，又|CM|＝|AM|，∴|BM|＋|AM|＝6，根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(－2,0)和点A(2,0)为焦点，线段AB的中点O(0,0)为中心的椭圆．[规律方法]

观察几何图形，根据几何图形的直观性质得到动点轨迹的几何属性，由曲线的定义直接得到动点轨迹的方程．注意要检验是否有要删除的点．对点训练❸课堂检测•固双基1．设F1，F2为定点，|F1F2|＝6，动点M满足|MF1|＋|MF2|＝10，则动点M的轨迹是(

)A．椭圆 B．直线

C．圆 D．线段[解析]

∵|MF1|＋|MF2|＝10>|F1F2|＝6，由椭圆定义，动点M轨迹为椭圆．AA．2 B．4C．6 D．8[解析]

由椭圆定义知|