苏教版八年级数学下册重难点专题提优训练专题04解题技巧专题：特殊平行四边形中折叠、旋转问题(原卷版+解析)

专题04解题技巧专题：特殊平行四边形中折叠、旋转问题【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一矩形中的折叠问题】 1【考点二菱形中的折叠问题】 8【考点三正方形中的折叠问题】 14【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】 21【考点五特殊平行四边形中旋转问题】 26【典型例题】【考点一矩形中的折叠问题】例题：（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）将矩形纸片沿折叠得到，与交于点E，若，则的度数为（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【变式训练】1．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（）A． B． C． D．2．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，若，则的度数为（

）．A． B． C． D．3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处．若∠DBC＝22°，则∠A'EB的大小为（）A．68° B．34° C．56° D．46°4．（2021春·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）将长方形沿折叠，得到如图所示的图形．已知，则________．5．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，C，D两点分别落在，两点处，若，则______度．6．（2023秋·广东·八年级校联考期末）在长方形中，，，点E是边上的一个动点，把沿BE折叠，点A落在处，当是直角三角形时，的长为______．7．（2023春·八年级单元测试）如图，已知矩形，点E为的中点，将沿直线折叠，点B落在点处，连接．(1)求证：．(2)若，，求线段的长．8．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形中，点E在边上，折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，过点A作交于点G，连接．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求四边形的面积．【考点二菱形中的折叠问题】例题：（2021春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC′的大小为（

）A．20° B．25° C．30° D．35°【变式训练】1．（2022秋·九年级课时练习）如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（

）．A． B． C． D．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，菱形纸片，，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点M、N．则的长为_______．3．（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形中，是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，连接，若，则__________．4．（2021·云南红河·统考一模）如图，菱形的周长为8厘米，，点M为的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当_________厘米时，是直角三角形．5．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点的对应点为点，折痕为且交于点．（1）______；（2）若点是的中点，则的长为______．【考点三正方形中的折叠问题】例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠，为折痕，点落在对角线上的点处，则的度数为（

）A． B． C． D．【变式训练】1．（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么(

)A． B． C． D．2．（2023·全国·八年级专题练习）如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则_________．3．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E在边上，将沿对折至，延长交于点G，G恰好是边的中点，则的长是________．4．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为，若，求的大小．5．（2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中）已知：如图，在边长为的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接(1)求的度数：(2)求的长度6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．(1)求证：．(2)如图2，E为的中点，连接．①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】例题：（2022秋·江苏·八年级统考期中）把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若cm，cm．则重叠部分的面积为_____．【变式训练】1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（

）A． B． C． D．2．（2022春·江苏徐州·八年级邳州市新城中学校考阶段练习）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（）A．1 B．2 C．2 D．43．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______．5．（2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________．6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色．(1)求的长；(2)求图中阴影部分的面积．【考点五特殊平行四边形中旋转问题】例题：（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，四边形是矩形，以点B为旋转中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，点恰好在的延长线上．(1)求证：：(2)若，求的长．【变式训练】1．（2021秋·浙江绍兴·九年级绍兴市元培中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，则为（

）A． B． C． D．2．（2022秋·广东广州·九年级广州市第一一三中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_______．3．（2022秋·江西宜春·九年级校考期中）如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________．4．（2022秋·安徽铜陵·九年级铜陵市第十五中学校考期中）如图，在菱形中，，把菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，则图中阴影部分的面积为_________．5．（2022秋·天津河北·九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．(1)如图1，当时，求点D的坐标；(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．6．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．(1)连接、．①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．7．（2022秋·山西吕梁·九年级统考期中）综合与实践【情境呈现】如图1，将两个正方形纸片和放置在一起.若固定正方形，将正方形绕着点A旋转．(1)【数学思考】如图1，当点E在边上，点G在边上时，线段与的数量关系是，位置关系是．(2)如图2，是将正方形绕着点A逆时针旋转度得到的，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．(3)【拓展探究】如图3，若点D，E，G在同一条直线上，且，求线段的长度（直接写出答案）．8．（2021秋·陕西汉中·九年级统考阶段练习）【问题情境】已知正方形中，点O是线段的中点，将正方形绕点O顺时针旋转得到正方形（点、、、分别是点A、B、C、D的对应点）．【问题提出】(1)如图1，在正方形绕点O旋转过程中，顺次连接点B、、C、得到四边形，求证；四边形是矩形；(2)如图2，在旋转过程中，当点落在对角线BD上时，与交于点M，求证；四边形是正方形；【问题探究】(3)如图3，若点O是线段的三等分点且，在正方形绕点O旋转的过程中当线段经过点D时，请求出的值．专题04解题技巧专题：特殊平行四边形中折叠、旋转问题【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一矩形中的折叠问题】 1【考点二菱形中的折叠问题】 8【考点三正方形中的折叠问题】 14【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】 21【考点五特殊平行四边形中旋转问题】 26【典型例题】【考点一矩形中的折叠问题】例题：（2022秋·甘肃兰州·九年级统考期中）将矩形纸片沿折叠得到，与交于点E，若，则的度数为（

）A．15° B．20° C．25° D．30°【答案】B【分析】根据矩形的性质，可得，，进而求得，根据折叠可得，最后根据进行计算即可．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，由折叠可得，∴，故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算等知识，解题的关键是求出和的度数．【变式训练】1．（2022春·江苏苏州·八年级校考阶段练习）如图，矩形纸片中，，现将其沿对折，使得点落在边上的点处，折痕与边交于点，则的长为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据翻折的性质可得，，然后求出四边形是正方形，再根据正方形的性质可得，然后根据，代入数据进行计算即可得解．【详解】解：沿对折点B落在边上的点处，，，又，四边形是正方形，，．故选：B．【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的判定与性质，翻折变换的性质，判断出四边形是正方形是解题的关键．2．（2022秋·湖北武汉·八年级统考期末）如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，、为折痕，若，则的度数为（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据折叠得到，推出，即可求出答案．【详解】解：∵一张长方形纸片沿、折叠，∴，且，∴，∵，∴．故选B．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应相等相等．也考查了平角的定义．3．（2022秋·全国·八年级专题练习）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的点A'处．若∠DBC＝22°，则∠A'EB的大小为（）A．68° B．34° C．56° D．46°【答案】C【分析】利用折叠的性质和矩形的性质先求出，再求出，即可求解．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，由折叠的性质得：，，∵，∴，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查了折叠的性质和矩形的性质，解题关键是掌握折叠前后重合的角相等．4．（2021春·山东济宁·七年级济宁学院附属中学校考期中）将长方形沿折叠，得到如图所示的图形．已知，则________．【答案】##65度【分析】根据折叠的性质可知，再根据，由此即可求解．【详解】解：长方形沿折叠，∴，又∵，，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查折叠的性质，平角的性质，掌握折叠中角的关系，平角指的是的角是解题的关键．5．（2023秋·河南南阳·七年级校考期末）如图，把一个长方形纸片沿折叠后，C，D两点分别落在，两点处，若，则______度．【答案】【分析】设，则,由翻折可知，根据平角的定义解出x，由矩形的性质进而可以得出的度数．【详解】设，则,由翻折可知即解得故答案为：【点睛】本题考查了折叠的性质和平角的等于，解题关键是发现图中折叠前后重合的角相等．6．（2023秋·广东·八年级校联考期末）在长方形中，，，点E是边上的一个动点，把沿BE折叠，点A落在处，当是直角三角形时，的长为______．【答案】【分析】由勾股定理求得，当在上时，是直角三角形，设，由翻折的性质和勾股定理求得．【详解】解：∵四边形是矩形，，，，当在上时，是直角三角形，如图1所示：设，由翻折的性质得：，，，在中，，解得：，即【点睛】本题考查了翻折变换，解决本题的关键是综合运用矩形的性质、勾股定理等知识．7．（2023春·八年级单元测试）如图，已知矩形，点E为的中点，将沿直线折叠，点B落在点处，连接．(1)求证：．(2)若，，求线段的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由点E为的中点和折叠的性质可得，则，再根据外角的性质可得，即可证得平行；（2）由勾股定理求得，再用等面积法求得，再根据三角形的内角和以及角平分线的定义可推导，最后用勾股定理求得．【详解】（1）证明：点E为的中点，，，，，由题意得，，∵，，，；（2）解：如图，连接交于H，，，，点E为的中点，，将沿直线折叠，点B落在点处，，即是的高，，，由（2）知，，，而，，，即，．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的内角和定义和外角性质，等面积求线段长度，等腰三角形的性质，解决本题的关键是熟练掌握相关的几何知识．8．（2021春·江苏南京·八年级校考期中）如图，在矩形中，点E在边上，折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，过点A作交于点G，连接．(1)求证：四边形是菱形．(2)若，，求四边形的面积．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接，交于点，根据折叠得到是的垂直平分线，进而得到，，根据平行线的性质，推出，进而得到，即可得证．（2）根据矩形和折叠的性质，利用勾股定理，求出长，进而求出的长，再利用菱形的性质和勾股定理，求出的长，利用菱形的面积公式进行求解即可．【详解】（1）证明：连接，交于点，∵折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，∴是的垂直平分线，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴四边形是菱形．（2）解：∵在矩形中，，，∴，∵折叠使点A落在边上的点F处，折痕为，∴，在中，，∴，设，则：，在中，，即：，解得：，∴，∴四边形的面积．【点睛】本题考查矩形与折叠，菱形的判定和性质以及勾股定理．熟练掌握矩形和折叠的性质，是解题的关键．【考点二菱形中的折叠问题】例题：（2021春·浙江台州·八年级统考期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC′的大小为（

）A．20° B．25° C．30° D．35°【答案】C【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数．【详解】解：连接BD，∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，∵P为AB的中点，∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°，∴∠PDC=90°，∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，∠DEC=∠DEC′，在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°．∴∠BEC′=180°-（∠DEC+∠DEC′）=30°．故选：C．【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的判定和性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．【变式训练】1．（2022秋·九年级课时练习）如图，把菱形沿折叠，使点落在上的点处，若，则的大小为（

）．A． B． C． D．【答案】A【分析】根据菱形的性质，已知菱形的对角相等，故推出，从而得出．又因为，故，，易得解．【详解】解：根据菱形的对角相等得．，．根据折叠得．，，．．故选：A．【点睛】此题要熟练运用菱形的性质得到有关角和边之间的关系．在计算的过程中，综合运用了等边对等角、三角形的内角和定理以及平行线的性质．注意：折叠的过程中，重合的边和重合的角相等．2．（2022·全国·八年级专题练习）如图，菱形纸片，，，将该菱形纸片折叠，使点B恰好落在边的中点处，折痕与边、分别交于点M、N．则的长为_______．【答案】7【分析】过点作与的延长线交于点E，根据含角的直角三角形的性质和勾股定理求出和，设，则，用x表示出，然后在中，利用勾股定理得出方程进行解答．【详解】解：过点作与的延长线交于点E，∵四边形是菱形，∴，，∵是的中点，∴，∵，∴，∴，∴，设，则，由折叠的性质知：，在中，，∴，解得：，即的长为7，故答案为：7．【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，二次根式的运算等知识，关键是作辅助线构造直角三角形．3．（2022秋·九年级课时练习）如图，在菱形中，是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，连接，若，则__________．【答案】【分析】根据菱形的性质得到AB=BC=CD=DA，AD//BC，∠ADB=∠CBF=∠ABD，再根据折叠的性质得到∠BFC=∠BCF，由三角形内角和与外角的性质得到结果．【详解】解：∵四边形是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AD//BC，∴∠ADB=∠CBF=∠ABD，∵是上一点，沿折叠，点恰好落在上的点处，∴BA=BF，∠A=∠BFE，∴BF=BC，∴∠BFC=∠BCF，∵，∴∠BFC=∠BCF=70°，∴∠ADB=∠CBF=40°，∵∠A=180°-2∠ADB=180°-80°=100°，故答案为：．【点睛】本题主要考查了菱形的基本性质与折叠的基本性质，根据菱形的基本性质与折叠的基本性质得到边相等是解题的关键．4．（2021·云南红河·统考一模）如图，菱形的周长为8厘米，，点M为的中点，点N是边上任一点，把沿直线折叠，点A落在图中的点E处，当_________厘米时，是直角三角形．【答案】或1【分析】根据菱形的周长为8厘米可得菱形的边长为2厘米，根据翻折的性质可得，根据题意分两种情况进行讨论：①当时，根据菱形的性质可得，，从而得到，，根据直角三角形的性质求得AN的值；②当时，点E落在菱形对角线上，根据点M为的中点，为折痕，此时于点E，可得点N为的中点，从而得到AN的值．【详解】解：∵菱形的周长为8厘米，∴AB=BC=CD=AD=2厘米，∵点M为的中点，∴厘米．由翻折可知，∴．①当时，，∴，，∴，∴，∴，∴，厘米；②当时，点E在以M为圆心，AM为半径的圆上，也在以BC为直径的圆上，根据菱形ABCD的特点，可知点E落在菱形对角线上，∵点M为的中点，为折痕，此时于点E，∴点N为的中点，厘米．当或1厘米时，是直角三角形．【点睛】本题考查了菱形的性质，翻折变换，直角三角形的性质．解题关键是熟练掌握各个知识点．5．（2022·安徽合肥·校考二模）如图，在菱形中，，，点是边上一点，以为对称轴将折叠得到，再折叠使落在直线上，点的对应点为点，折痕为且交于点．（1）______；（2）若点是的中点，则的长为______．【答案】

##90度

【分析】（1）由翻折可得，则，根据，可得，即．（2）根据题意可得点G与点H重合，且点三点在同一条直线上．过点D作，交的延长线于点M．由，可得，则，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理可得，解得，进而可得出答案．【详解】解：（1）由翻折可得，，，，，即．故答案为：．（2）四边形为菱形，，，由翻折可得，，，，点是的中点，，，即点与点重合．，点，，三点在同一条直线上．过点作，交的延长线于点．，，，，，，由翻折可得，，设，则，，由勾股定理可得，解得，．故答案为：．【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题）、菱形的性质、勾股定理，熟练掌握翻折的性质是解答本题的关键．【考点三正方形中的折叠问题】例题：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠，为折痕，点落在对角线上的点处，则的度数为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正方形的性质可得，，再由折叠可得，然后利用三角形的外角进行计算即可解答．【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴，，由折叠得：，∴，故选：C．【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．【变式训练】1．（2022春·河南郑州·八年级校考期末）如图，是一个正方形纸片，、分别为、的中点，沿过点的折痕将翻折，使点落在上如图的点，折痕交于点，那么(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】求得在中，，即有，问题随之得解．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，，∵、分别为、的中点，∴，∴四边形是矩形，∴，，根据折叠的性质：，在中，，∴，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质以及含30°角的直角三角形的性质等知识，求得在中，，进而有，是解答本题的关键．2．（2023·全国·八年级专题练习）如图，将正方形沿对折，使点落在对角线上的处，连接，则_________．【答案】67.5【分析】根据正方形的性质求出，再根据折叠的性质得，进而根据等腰三角形的性质得出答案．【详解】∵四边形为正方形，∴，，平分，∴，根据折叠可知，，∴，∴．故答案为：67.5．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质等，判定等腰三角形是解题的关键．3．（2022秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）如图，在正方形中，，点E在边上，将沿对折至，延长交于点G，G恰好是边的中点，则的长是________．【答案】##【分析】根据正方形的性质和折叠的性质证明，进而得到，由G是的中点，得到，设，则，，在中由勾股定理建立方程求解即可．【详解】解：连接，由折叠得：，，∵在正方形中，，，∴，，∵，∴，∴，∵，G是的中点，∴，设，则，，在中，由勾股定理得：，解得，即，故答案为：．【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，理解折叠的性质、合理的进行转化到一个直角三角形中是解决此类问题常用的方法．4．（2022秋·全国·七年级专题练习）如图，将正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，折痕为，若，求的大小．【答案】【分析】根据正方形的性质得到，根据折叠的性质得到，，，根据平角的定义得到，根据四边形的内角和即可得到结论．【详解】解：∵四边形是正方形，正方形纸片折叠，使点落在边点处，点落在点处，∴，，，∵，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了角的计算，翻折变换的问题，折叠问题其实质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，找到相等的角是解决本题的关键．5．（2022秋·四川成都·八年级成都七中校考期中）已知：如图，在边长为的正方形中，点在边上，，将沿折叠至，延长交于点，连接(1)求的度数：(2)求的长度【答案】(1)(2)【分析】（1）根据沿折叠至，可得,，证明可得，根据对折可得，即可得出的度数；（2）令，则，，在中，勾股定理即可求解．【详解】（1）∵将沿折叠至，∴,，∵四边形是正方形，∴，在与中，，∴，∴，

由对折得，∴；（2）令，则，，∵，∴，，在中，

，

解得：．∴．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，折叠的性质，掌握以上知识是解题的关键．6．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图1，在正方形中，点E为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于G，连接．(1)求证：．(2)如图2，E为的中点，连接．①求证：；②若正方形边长为6，求线段的长．【答案】(1)证明见解析；(2)①证明见解析，②线段的长为2【分析】（1）由正方形的性质可得．，由折叠的性质得出，，，再求出，，然后由“”证明，由全等三角形对应角相等得出，得出即可；（2）①由折叠的性质和线段中点的定义可得，，再由三角形的外角性质得出，然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；②设，表示出、，根据点是的中点求出、，从而得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可；【详解】（1）证明：如图1：∵四边形是正方形，．，沿折叠得到，，，，，，在和中，，，，，，，；（2）证明：如图2所示：沿折叠得到，为的中点，，，，，，，即，；②解：设，则，，正方形边长为6，为的中点，，，在中，根据勾股定理得：，解得：，即线段的长为2．【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．【考点四特殊平行四边形折叠后求周长、面积问题】例题：（2022秋·江苏·八年级统考期中）把一张矩形纸片（矩形）按如图方式折叠，使顶点和点重合，折痕为．若cm，cm．则重叠部分的面积为_____．【答案】##2.5【分析】根据折叠的性质，和勾股定理求出，进而求出的面积即可．【详解】解：∵四边形为矩形，∴，∵折叠，∴，设：，则：，在中：，即：，解得：，即：，∴；故答案为：．【点睛】本题考查矩形的折叠问题．熟练掌握折叠的性质和勾股定理解三角形是解题的关键．【变式训练】1．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，已知正方形面积为2，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先由正方形面积为2，即可求得其边长为，然后由折叠的性质，可得，则可得图中阴影部分的周长为：，继而求得答案．【详解】解：设折叠后的点分别为，与分别交于点，如图所示，∵正方形面积为2，∴，由折叠的性质：，∴图中阴影部分的周长为：．故选:D．【点睛】此题考查了折叠的性质与正方形的性质，掌握折叠的性质与正方形的性质是解题的关键．2．（2022春·江苏徐州·八年级邳州市新城中学校考阶段练习）将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF，若AB=3，则菱形AECF的面积为（）A．1 B．2 C．2 D．4【答案】C【分析】根据菱形AECF，得∠FCO=∠ECO，再利用∠ECO=∠ECB，可通过折叠的性质，结合直角三角形勾股定理求得BC的长，则利用菱形的面积公式即可求解．【详解】解：∵四边形AECF是菱形，AB=3，∴假设BE=x，则AE=3﹣x，CE=3﹣x，∵四边形AECF是菱形，∴∠FCO=∠ECO，∵∠ECO=∠ECB，∴∠ECO=∠ECB=∠FCO=30°，2BE=CE，∴CE=2x，∴2x=3﹣x，解得：x=1，∴CE=2，利用勾股定理得出：BC2+BE2=EC2，BC===，又∵AE=AB﹣BE=3﹣1=2，则菱形的面积=2．故选C．【点睛】本题考查折叠问题以及勾股定理．解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．3．（2022春·广东韶关·八年级统考期末）如图，矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为______．【答案】10【分析】根据矩形的性质及折叠的性质证得，则，设，则在中，根据勾股定理求x，再根据三角形面积公式计算即可得到结果．【详解】解：根据折叠的性质得.∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∴.设，则，在中，，解之得：，∴，∴．故答案为:10．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、折叠的性质等知识，求出阴影三角形的底是关键，同时注意以为底，对应的高为．5．（2022春·广东汕头·八年级校考阶段练习）如图，将矩形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上点F处，已知，则阴影部分的面积为___________．【答案】30【分析】根据折叠的性质求出EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，再根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：由折叠的性质知，EF=DE=CD-CE=5，AD=AF=BC，由勾股定理得，CF=4，，即，解得，AD=10，∴BF=6，CF=4，图中阴影部分面积=．故答案为：30【点睛】本题考查了折叠的性质，解决本题的关键是要理解折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②勾股定理，三角形的面积公式求解．6．（2022秋·江苏苏州·八年级苏州中学校考期中）如图，长方形纸片的边长，．将矩形纸片沿折叠，使点与点重合，折叠后在其一面着色．(1)求的长；(2)求图中阴影部分的面积．【答案】(1)(2)22【分析】（1）利用翻折变换的性质可得：，，设，在中利用勾股定理列出方程，解方程即可求解；（2）利用（1）中的结论用矩形的面积减去的面积即可得出结论．【详解】（1）解：由翻折变换的性质可得：，，设，则，，在中，∵，∴，解得：，∴；（2）解：由（1）知：，∴，∴，由翻折变换的性质可得：，∴图中阴影部分的面积．【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键．【考点五特殊平行四边形中旋转问题】例题：（2021秋·陕西渭南·九年级统考阶段练习）如图，四边形是矩形，以点B为旋转中心，顺时针旋转矩形得到矩形，点，，的对应点分别为点，，，点恰好在的延长线上．(1)求证：：(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)4【分析】（1）由旋转矩形可得，，再根据斜边为公共边，利用“”可证得结论；（2）由可知，由旋转矩形可知，即可求得的长度．【详解】（1）证明：∵旋转矩形得到矩形，∴，，

在和中，，．∴．（2）解：由可得，∵旋转矩形得到矩形，∴，

∴．【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、解题关键是证明，利用矩形和旋转性质求解．【变式训练】1．（2021秋·浙江绍兴·九年级绍兴市元培中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转到矩形的位置，若旋转角为，则为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】设与交于点E，根据旋转的角度结合矩形的性质可得出的度数，再由四边形内角和为即可得出的度数，根据对顶角相等即可得出结论．【详解】解：设与交于点E，如图所示．∵旋转角为，∴，∴．∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、四边形内角和以及对顶角，根据旋转及四边形内角和为找出是解题的关键．2．（2022秋·广东广州·九年级广州市第一一三中学校考期中）如图，将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，如果，那么_______．【答案】【分析】连接，先根据矩形的性质和勾股定理求出，然后根据旋转的性质和勾股定理求出即可．【详解】解：连接，，∵矩形，，∴，，∴，∵将矩形绕点A顺时针旋转后，得到矩形，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，掌握矩形的性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键．3．（2022秋·江西宜春·九年级校考期中）如图，将边长为的正方形绕点顺时针旋转30°到的位置，则阴影部分的面积是___________．【答案】【分析】交于点，连接；根据全等三角形性质，通过证明，得；结合旋转的性质，得；根据三角函数的性质计算，得，结合正方形和三角形面积关系计算，即可得到答案．【详解】如图，交于点，连接根据题意得：，∵∴∴∵正方形绕点顺时针旋转到∴，∴∴∴∴∴∴阴影部分的面积故答案为：．【点睛】本题是面积问题(旋转综合题)，考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质．4．（2022秋·安徽铜陵·九年级铜陵市第十五中学校考期中）如图，在菱形中，，把菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，则图中阴影部分的面积为_________．【答案】##【分析】连接相交于O，与相交于E，根据菱形的性质先求出，根据菱形的性质和旋转可得，三点共线，再求出，最后根据，即可得答案．【详解】解：如下图，连接相交于O，与相交于E，四边形是菱形，，，，，，菱形绕点A顺时针旋转得到菱形，，三点共线，，，，，，，，故答案为：．【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题．5．（2022秋·天津河北·九年级天津二中校考期末）在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点，点，点．以点A为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，点O，B，C的对应点分别为D，E，F，记旋转角为．(1)如图1，当时，求点D的坐标；(2)如图2，当点E落在的延长线上时，求点D的坐标；(3)当点D落在线段上时，直接写出点E的坐标．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）过点作轴于，由旋转的性质得出，，，由直角三角形的性质得出，，得出，即可得出点的坐标为；（2）过点作轴于，，于，则则，，由勾股定理得出AE=10，由面积法求出DH=，得出，由勾股定理得出，即可得出点的坐标为；（3）连接，作轴于，由旋转的性质得：，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，由平行线的性质的，证出，证明，得出，，得出，即可得出答案．【详解】（1）解：过点作轴于，如图所示：∵点，点，∴，，∵以点为中心，顺时针旋转矩形，得到矩形，∴，，，在Rt中，，，∴，∴点的坐标为；（2）过点作轴于，，于，如图所示：则，，∵，，∴，∵，∴，∴，，∴点的坐标为；（3）连接，作轴于，如图所示：由旋转的性质得：，，∴，∴，∴，∴，∴，在和中，，∴（），∴，，∴，∴点的坐标为．【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、旋转变换的性质、含角的直角三角形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出辅助线，属于中考压轴题．6．（2022春·江苏连云港·八年级统考期中）已知，四边形和四边形都是正方形，点为的中点．(1)连接、．①如图1，若点在边上，猜想和的关系，并给予证明：②若将图1中的正方形绕点顺时针旋转，使点落在对角线的延长线上，请你在图2中补全图形，猜想和的关系，并给予证明．(2)如图3，若，，将正方形绕点旋转，连接．请你直接写出的取值范围___________．【答案】(1)①；②证明见解析(2)【分析】（1）①连接，证明，，证明是等腰直角三角形，即可得证；②延长交于点，连接，证明，，得出，根据等边对等角，设，，根据外角的性