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文档简介
专题12集合的概念与表示学习目标学习目标1、了解集合的含义;2、理解集合中元素与集合的关系;3、掌握集合的表示方法,并能用图形、符号刻画集合;4、能够用不同的方法表示一些简单集合。知识精讲知识精讲一、元素与集合的基本概念:集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.元素:集合中的每一个对象称为该集合的元素.元素的特性:确定性、无序性、互异性二、集合中元素与集合的关系概念关系记法读法如果a是集合中A中的元素属于aa属于A如果a不是集合中A中的元素不属于aa不属于A三、常用数集的符号表示:特别地,全体自然数组成的集合,叫作自然数集,记作N;全体正整数组成的集合,叫作正整数集,记作N∗或N全体整数组成的集合,叫作整数集,记作Z;全体有理数组成的集合,叫作有理数集,记作Q;全体实数组成的集合,叫R.典例剖析典例剖析例题1.下列各对象可以组成集合的是()A.与1非常接近的全体实数B.某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C.高一年级视力比较好的同学D.与无理数相差很小的全体实数例题2.已知集合,且,则集合_____.例题3.用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合.(2)24的正因数组成的集合.(3)自然数的平方组成的集合.(4)由0,1,2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合.例题4.设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1∉A,(1)若3∈A,求A.(2)证明:若a∈A,则.变式训练变式训练1.若,则实数()A. B.0 C.1 D.0或12.下列四组对象能构成集合的是()A.某班所有高个子学生 B.某校足球队的同学C.一切很大的书 D.著名的艺术家3.已知集合,则()A. B. C. D.4.已知集合,且,则等于()A. B. C. D.或5.把下列集合用另一种方法表示出来:(1);(2);能力提升能力提升1.已知集合,若,求实数的值.对点精练对点精练一、单选题1.已知集合,,则集合中的元素的个数为()A.7 B.8 C.9 D.102.设集合,则下列集合中与集合相等的是()A. B. C. D.3.设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C中元素的个数为()A.3 B.4 C.5 D.64.已知集合只有一个元素,则的取值集合为()A. B. C. D.5.下列集合中,结果是空集的是()A.{x∈R|x2-1=0} B.{x|x>6或x<1}C.{(x,y)|x2+y2=0} D.{x|x>6且x<1}二、填空题6.若集合中有且仅有一个元素,则k的值为___________.7.已知集合,用列举法表示集合,则__________.8.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有两个子集,则a的值是________.9.已知集合,且,则_________.10.设集合,若且,则实数的取值范围是________三、解答题11.已知集合.(1)若A是空集,求的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求的值,并求集合A;(3)若A中至多有一个元素,求的取值范围12.若集合A中含有三个元素,,,且,求实数a的值.13.已知集合.(1)若中只有一个元素,求的值;(2)若中至少有一个元素,求的取值范围;(3)若中至多有一个元素,求的取值范围.14.设数集由实数构成,且满足:若(且),则.(1)若,试证明中还有另外两个元素;(2)集合是否为双元素集合,并说明理由.专题12集合的概念与表示学习目标学习目标1、了解集合的含义;2、理解集合中元素与集合的关系;3、掌握集合的表示方法,并能用图形、符号刻画集合;4、能够用不同的方法表示一些简单集合。知识精讲知识精讲一、元素与集合的基本概念:集合:一般地,一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.元素:集合中的每一个对象称为该集合的元素.元素的特性:确定性、无序性、互异性二、集合中元素与集合的关系概念关系记法读法如果a是集合中A中的元素属于aa属于A如果a不是集合中A中的元素不属于aa不属于A三、常用数集的符号表示:特别地,全体自然数组成的集合,叫作自然数集,记作N;全体正整数组成的集合,叫作正整数集,记作N∗或N全体整数组成的集合,叫作整数集,记作Z;全体有理数组成的集合,叫作有理数集,记作Q;全体实数组成的集合,叫R.典例剖析典例剖析例题1.下列各对象可以组成集合的是()A.与1非常接近的全体实数B.某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C.高一年级视力比较好的同学D.与无理数相差很小的全体实数【答案】B【分析】根据集合定义与性质一一判断即可.【详解】A中对象不确定,故错;B中对象可以组成集合;C中视力比较好的对象不确定,故错;D中相差很小的对象不确定,故错.故选:B例题2.已知集合,且,则集合_____.【答案】【分析】根据,分类讨论,结合集合中元素的互异性,即可求解.【详解】由题意,集合,且,若,可得,此时集合不满足集合中元素的互异性,(舍去);若,可得或(舍去),当时,可得,即.故答案为:.例题3.用适当的方法表示下列集合:(1)大于2且小于5的有理数组成的集合.(2)24的正因数组成的集合.(3)自然数的平方组成的集合.(4)由0,1,2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合.【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析;(3)答案见解析;(4)答案见解析.【分析】(1)集合有无限个元素,利用描述法求解;(2)集合中元素较少,利用列举法求解;(3)集合有无限个元素,利用描述法求解;(4)集合中元素较少,利用列举法求解;【详解】(1)用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}.(2)用列举法表示为{1,2,3,4,6,8,12,24}.(3)用描述法表示为{x|x=n2,n∈N}.(4)用列举法表示为{0,1,2,10,12,20,21,102,120,210,201}.例题4.设A是由一些实数构成的集合,若a∈A,则∈A,且1∉A,(1)若3∈A,求A.(2)证明:若a∈A,则.【答案】(1);(2)证明见解析.【分析】根据题意求依次求解即可.【详解】(1)因为3∈A,所以,所以,所以,所以.(2)因为a∈A,所以,所以.变式训练变式训练1.若,则实数()A. B.0 C.1 D.0或1【答案】C【分析】根据集合的确定性,互异性,即可求得答案.【详解】因为,根据集合性质可得:.故选:C2.下列四组对象能构成集合的是()A.某班所有高个子学生 B.某校足球队的同学C.一切很大的书 D.著名的艺术家【答案】B【分析】根据集合的定义,逐项判定,即可求解.【详解】根据集合的定义,可得:对于A中,某班所有高个子学生,其中元素不确定,不能构成集合;对于B中,某校足球队的同学,满足集合的定义,能构成集合;对于C中,一切很大的书,其中元素不确定,不能构成集合;对于D中,著名的艺术家,其中元素不确定,不能构成集合.故选:B.3.已知集合,则()A. B. C. D.【答案】D【分析】先求得集合M,再根据元素与集合的关系,集合与集合的关系可得选项.【详解】因为集合,所以,故选:D.4.已知集合,且,则等于()A. B. C. D.或【答案】B【分析】转化条件为或,验证集合元素的互异性即可得解.【详解】因为集合,且,所以当即时,,不满足集合中元素的互异性;当时,解得或(舍),此时,满足题意;综上,.故选:B.5.把下列集合用另一种方法表示出来:(1);(2);【答案】(1){且};(2).【分析】(1)根据集合中的元素都是偶数用描述法进行表示即可;(2)用列举法表示即可.【详解】(1)因为集合中的元素都是偶数,所以{且};(2).能力提升能力提升1.已知集合,若,求实数的值.【答案】【分析】根据题意,可得或,然后根据结果进行验证即可.【详解】由题可知:集合,所以或,则或当时,,不符合集合元素的互异性,当时,,符合题意所以【点睛】本题考查元素与集合的关系求参数,考查计算能力,属基础题.对点精练对点精练一、单选题1.已知集合,,则集合中的元素的个数为()A.7 B.8 C.9 D.10【答案】C【分析】由题知以,即,故,进而得答案.【详解】解:因为,,所以,即所以,故,即集合中的元素的个数为个.故选:C2.设集合,则下列集合中与集合相等的是()A. B. C. D.【答案】C【分析】根据集合相等的定义判断选项.【详解】两个集合的元素相同,两个集合相等,集合中有2个元素,分别是1和2,所以与集合相等的集合是.故选:C3.设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},则C中元素的个数为()A.3 B.4 C.5 D.6【答案】B【分析】直接求出集合C即可.【详解】集合A={1,2,3},B={4,5},C={x+y|x∈A,y∈B},所以C={5,6,7,8}.即C中元素的个数为4.故选:B.4.已知集合只有一个元素,则的取值集合为()A. B. C. D.【答案】D【分析】对参数分类讨论,结合判别式法得到结果.【详解】解:①当时,,此时满足条件;②当时,中只有一个元素的话,,解得,综上,的取值集合为,.故选:D.5.下列集合中,结果是空集的是()A.{x∈R|x2-1=0} B.{x|x>6或x<1}C.{(x,y)|x2+y2=0} D.{x|x>6且x<1}【答案】D【分析】分析是否有元素在各选项的集合中,再作出判断.【详解】A选项:,不是空集;B选项:{x|x>6或x<1},不是空集;C选项:(0,0)∈{(x,y)|x2+y2=0},不是空集;D选项:不存在既大于6又小于1的数,即:{x|x>6且x<1}=.故选:D二、填空题6.若集合中有且仅有一个元素,则k的值为___________.【答案】0或1【分析】转化为求方程有且仅有一个解的条件,分k=0和k≠0,利用一次方程和二次方程的解的个数的判定方法求解.【详解】当k=0时,方程为2x+1=0,有且只有一解,符合题意;当k≠0时,方程有且仅有一个解等价于,解得k=1,故答案为:0或1.7.已知集合,用列举法表示集合,则__________.【答案】【分析】根据集合的描述法即可求解.【详解】,故答案为:8.已知集合A={x|ax2+2x+a=0,a∈R},若集合A有且仅有两个子集,则a的值是________.【答案】0或±1【分析】依题意可得出集合A为单元素集合,进而转化为方程ax2+2x+a=0仅有一根,再分a=0和a≠0两种情况讨论可得最后结果.【详解】因为A有且仅有两个子集,所以A仅有一个元素,即方程ax2+2x+a=0仅有一根,当a=0时,方程化为2x=0,A={0},符合题意;当a≠0时,Δ=4-4a2=0,解得a=±1.此时A={-1}或{1},符合题意.综上所述a=0或a=±1.故答案为:0或±1.9.已知集合,且,则_________.【答案】-3【分析】由集合,,,且,得或,由此能求出结果.【详解】解:集合,,,且,或,解得,或,当时,,,,不合题意,当时,,,,符合题意.综上,.故答案为:.10.设集合,若且,则实数的取值范围是________【答案】【分析】直接根据元素和集合之间的关系求解即可.【详解】解:因为集合,若且,且;解得;故答案为:.三、解答题11.已知集合.(1)若A是空集,求的取值范围;(2)若A中只有一个元素,求的值,并求集合A;(3)若A中至多有一个元素,求的取值范围【答案】(1);(2)当时,;当时,;(3).【分析】(1)方程ax2﹣3x+2=0无解,则,根据判别式即可求解;(2)分a=0和a≠0讨论即可;(3)综合(1)(2)即可得出结论.【详解】(1)若A是空集,则方程ax2﹣3x+2=0无解此时=9-8a<0即a所以的取值范围为(2)若A中只有一个元素则方程ax2﹣3x+2=0有且只有一个实根当a=0时方程为一元一次方程,满足条件当a≠0,此时=9﹣8a=0,解得:a∴a=0或a当时,;当时,(3)若A中至多只有一个元素,则A为空集,或有且只有一个元素由(1),(2)得满足条件的a的取值范围是.12.若集合A中含有三个元素,,,且,求实数a的值.【答案】或.【分析】由已知得或或,解之可求得实数a的值,代入集合中检验是否满足元素的互异性,可得答案.【详解】①若,则,此时,满足题意.②若,则,此时,不满足元素的互异性.③若,则.当时,,满足题意;当时,由②知不合题意.综上可知或.13.已知集合.(1)若中只有一个元素,求的值;(2)若中至少有一个元素,求的取值范围;(3)若中至多有一个元素,求的取值范围.【答案】(1)或;(2);(3)或.【分析】根据集合中元素的个数以及方程的解即可确定的取值范围.【详解】解:(1)若中只有一个元素,则当时,原方程变为,此时符合题意,当时,方程为二元一次方程,,即,故当或时,原方程只有一个解;(2)中至少有一个元素,即中有一个或两个元素,由得综合(1)当时中至少有一
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