苏教版初升高一初数学预习专题12集合的概念与表示-初升高数学无忧衔接(学生版+解析)

专题12集合的概念与表示学习目标学习目标1、了解集合的含义；2、理解集合中元素与集合的关系；3、掌握集合的表示方法，并能用图形、符号刻画集合；4、能够用不同的方法表示一些简单集合。知识精讲知识精讲一、元素与集合的基本概念：集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素.元素的特性:确定性、无序性、互异性二、集合中元素与集合的关系概念关系记法读法如果a是集合中A中的元素属于aa属于A如果a不是集合中A中的元素不属于aa不属于A三、常用数集的符号表示：特别地,全体自然数组成的集合,叫作自然数集,记作N；全体正整数组成的集合,叫作正整数集,记作N∗或N全体整数组成的集合,叫作整数集,记作Z；全体有理数组成的集合,叫作有理数集,记作Q；全体实数组成的集合,叫R.典例剖析典例剖析例题1．下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数相差很小的全体实数例题2.已知集合，且，则集合_____.例题3.用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）24的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．例题4.设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则∈A，且1∉A，（1）若3∈A，求A.（2）证明:若a∈A，则.变式训练变式训练1．若，则实数（）A． B．0 C．1 D．0或12．下列四组对象能构成集合的是（）A．某班所有高个子学生 B．某校足球队的同学C．一切很大的书 D．著名的艺术家3．已知集合，则（）A． B． C． D．4．已知集合，且，则等于（）A． B． C． D．或5．把下列集合用另一种方法表示出来：（1）；（2）；能力提升能力提升1.已知集合，若，求实数的值.对点精练对点精练一、单选题1．已知集合，，则集合中的元素的个数为（）A．7 B．8 C．9 D．102．设集合，则下列集合中与集合相等的是（）A． B． C． D．3．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．64．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（）A． B． C． D．5．下列集合中，结果是空集的是()A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}二、填空题6．若集合中有且仅有一个元素，则k的值为___________.7．已知集合，用列举法表示集合，则__________.8．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是________.9．已知集合，且，则_________．10．设集合，若且，则实数的取值范围是________三、解答题11．已知集合.（1）若A是空集，求的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围12．若集合A中含有三个元素，，，且，求实数a的值.13．已知集合．（1）若中只有一个元素，求的值；（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.14．设数集由实数构成，且满足：若(且)，则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由.专题12集合的概念与表示学习目标学习目标1、了解集合的含义；2、理解集合中元素与集合的关系；3、掌握集合的表示方法，并能用图形、符号刻画集合；4、能够用不同的方法表示一些简单集合。知识精讲知识精讲一、元素与集合的基本概念：集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素.元素的特性:确定性、无序性、互异性二、集合中元素与集合的关系概念关系记法读法如果a是集合中A中的元素属于aa属于A如果a不是集合中A中的元素不属于aa不属于A三、常用数集的符号表示：特别地,全体自然数组成的集合,叫作自然数集,记作N；全体正整数组成的集合,叫作正整数集,记作N∗或N全体整数组成的集合,叫作整数集,记作Z；全体有理数组成的集合,叫作有理数集,记作Q；全体实数组成的集合,叫R.典例剖析典例剖析例题1．下列各对象可以组成集合的是（）A．与1非常接近的全体实数B．某校2015-2016学年度笫一学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．与无理数相差很小的全体实数【答案】B【分析】根据集合定义与性质一一判断即可.【详解】A中对象不确定，故错；B中对象可以组成集合；C中视力比较好的对象不确定，故错；D中相差很小的对象不确定，故错.故选：B例题2.已知集合，且，则集合_____.【答案】【分析】根据，分类讨论，结合集合中元素的互异性，即可求解.【详解】由题意，集合，且，若，可得，此时集合不满足集合中元素的互异性，（舍去）；若，可得或（舍去），当时，可得，即.故答案为：.例题3.用适当的方法表示下列集合：（1）大于2且小于5的有理数组成的集合．（2）24的正因数组成的集合．（3）自然数的平方组成的集合．（4）由0，1，2这三个数字抽出一部分或全部数字(没有重复)所组成的自然数组成的集合．【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析；（3）答案见解析；（4）答案见解析．【分析】（1）集合有无限个元素，利用描述法求解；（2）集合中元素较少，利用列举法求解；（3）集合有无限个元素，利用描述法求解；（4）集合中元素较少，利用列举法求解；【详解】（1）用描述法表示为{x|2<x<5且x∈Q}．（2）用列举法表示为{1，2，3，4，6，8，12，24}．（3）用描述法表示为{x|x=n2，n∈N}．（4）用列举法表示为{0，1，2，10，12，20，21，102，120，210，201}．例题4.设A是由一些实数构成的集合，若a∈A，则∈A，且1∉A，（1）若3∈A，求A.（2）证明:若a∈A，则.【答案】（1）;（2）证明见解析.【分析】根据题意求依次求解即可.【详解】(1)因为3∈A，所以，所以，所以，所以.(2)因为a∈A，所以，所以.变式训练变式训练1．若，则实数（）A． B．0 C．1 D．0或1【答案】C【分析】根据集合的确定性，互异性，即可求得答案.【详解】因为，根据集合性质可得：.故选：C2．下列四组对象能构成集合的是（）A．某班所有高个子学生 B．某校足球队的同学C．一切很大的书 D．著名的艺术家【答案】B【分析】根据集合的定义，逐项判定，即可求解.【详解】根据集合的定义，可得：对于A中，某班所有高个子学生，其中元素不确定，不能构成集合；对于B中，某校足球队的同学，满足集合的定义，能构成集合；对于C中，一切很大的书，其中元素不确定，不能构成集合；对于D中，著名的艺术家，其中元素不确定，不能构成集合.故选：B.3．已知集合，则（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求得集合M，再根据元素与集合的关系，集合与集合的关系可得选项.【详解】因为集合，所以，故选：D.4．已知集合，且，则等于（）A． B． C． D．或【答案】B【分析】转化条件为或，验证集合元素的互异性即可得解.【详解】因为集合，且，所以当即时，，不满足集合中元素的互异性；当时，解得或（舍），此时，满足题意；综上，.故选：B.5．把下列集合用另一种方法表示出来：（1）；（2）；【答案】（1）{且}；（2）.【分析】（1）根据集合中的元素都是偶数用描述法进行表示即可；（2）用列举法表示即可.【详解】（1）因为集合中的元素都是偶数，所以{且}；（2）.能力提升能力提升1.已知集合，若，求实数的值.【答案】【分析】根据题意，可得或，然后根据结果进行验证即可.【详解】由题可知：集合，所以或，则或当时，，不符合集合元素的互异性，当时，，符合题意所以【点睛】本题考查元素与集合的关系求参数，考查计算能力，属基础题.对点精练对点精练一、单选题1．已知集合，，则集合中的元素的个数为（）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】由题知以，即，故，进而得答案.【详解】解：因为，，所以，即所以，故，即集合中的元素的个数为个.故选：C2．设集合，则下列集合中与集合相等的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据集合相等的定义判断选项.【详解】两个集合的元素相同，两个集合相等，集合中有2个元素，分别是1和2，所以与集合相等的集合是.故选：C3．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】直接求出集合C即可.【详解】集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，所以C={5，6，7,8}.即C中元素的个数为4.故选：B.4．已知集合只有一个元素，则的取值集合为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】对参数分类讨论，结合判别式法得到结果.【详解】解：①当时，，此时满足条件；②当时，中只有一个元素的话，，解得，综上，的取值集合为，．故选：D．5．下列集合中，结果是空集的是()A．{x∈R|x2-1=0} B．{x|x>6或x<1}C．{(x，y)|x2+y2=0} D．{x|x>6且x<1}【答案】D【分析】分析是否有元素在各选项的集合中，再作出判断.【详解】A选项：，不是空集；B选项：{x|x>6或x<1}，不是空集；C选项：(0,0)∈{(x，y)|x2+y2=0}，不是空集；D选项：不存在既大于6又小于1的数，即：{x|x>6且x<1}=.故选：D二、填空题6．若集合中有且仅有一个元素，则k的值为___________.【答案】0或1【分析】转化为求方程有且仅有一个解的条件，分k=0和k≠0，利用一次方程和二次方程的解的个数的判定方法求解.【详解】当k=0时，方程为2x+1=0,有且只有一解，符合题意；当k≠0时，方程有且仅有一个解等价于,解得k=1,故答案为：0或1.7．已知集合，用列举法表示集合，则__________.【答案】【分析】根据集合的描述法即可求解.【详解】,故答案为：8．已知集合A={x|ax2+2x+a=0，a∈R}，若集合A有且仅有两个子集，则a的值是________.【答案】0或±1【分析】依题意可得出集合A为单元素集合，进而转化为方程ax2+2x+a=0仅有一根，再分a=0和a≠0两种情况讨论可得最后结果.【详解】因为A有且仅有两个子集，所以A仅有一个元素，即方程ax2+2x+a=0仅有一根，当a=0时，方程化为2x=0，A={0}，符合题意；当a≠0时，Δ=4-4a2=0，解得a=±1.此时A={-1}或{1}，符合题意.综上所述a=0或a=±1.故答案为：0或±1.9．已知集合，且，则_________．【答案】-3【分析】由集合，，，且，得或，由此能求出结果．【详解】解：集合，，，且，或，解得，或，当时，，，，不合题意，当时，，，，符合题意．综上，．故答案为：.10．设集合，若且，则实数的取值范围是________【答案】【分析】直接根据元素和集合之间的关系求解即可．【详解】解：因为集合，若且，且；解得；故答案为：．三、解答题11．已知集合.（1）若A是空集，求的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A；（3）若A中至多有一个元素，求的取值范围【答案】（1）；（2）当时，；当时，；（3）.【分析】（1）方程ax2﹣3x+2＝0无解，则，根据判别式即可求解；（2）分a＝0和a≠0讨论即可；（3）综合（1）（2）即可得出结论.【详解】（1）若A是空集，则方程ax2﹣3x+2＝0无解此时＝9-8a＜0即a所以的取值范围为（2）若A中只有一个元素则方程ax2﹣3x+2＝0有且只有一个实根当a＝0时方程为一元一次方程，满足条件当a≠0，此时＝9﹣8a＝0，解得：a∴a＝0或a当时，；当时，（3）若A中至多只有一个元素，则A为空集，或有且只有一个元素由（1），（2）得满足条件的a的取值范围是.12．若集合A中含有三个元素，，，且，求实数a的值.【答案】或.【分析】由已知得或或，解之可求得实数a的值，代入集合中检验是否满足元素的互异性，可得答案.【详解】①若，则，此时，满足题意.②若，则，此时，不满足元素的互异性.③若，则.当时，，满足题意；当时，由②知不合题意.综上可知或.13．已知集合．（1）若中只有一个元素，求的值；（2）若中至少有一个元素，求的取值范围；（3）若中至多有一个元素，求的取值范围.【答案】（1）或；（2）；（3）或.【分析】根据集合中元素的个数以及方程的解即可确定的取值范围.【详解】解：（1）若中只有一个元素，则当时，原方程变为，此时符合题意，当时，方程为二元一次方程，，即，故当或时，原方程只有一个解；（2）中至少有一个元素，即中有一个或两个元素，由得综合（1）当时中至少有一