中考数学二轮复习重难点与压轴题型专项突破训练专题11 相似三角形的综合问题（重点突围）(教师版)

专题11相似三角形的综合问题【中考考向导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【直击中考】 1【考向一(双)A字型相似】 1【考向二(双)8字型相似】 8【考向三母子型相似】 16【考向四旋转相似】 24【考向五K字型相似】 37【直击中考】【考向一(双)A字型相似】例题：（2022·上海·九年级专题练习）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DESKIPIF1<0BC，SKIPIF1<0．（1）求证：DFSKIPIF1<0BE；（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6SKIPIF1<0．求证△ADE∽△AEB．【答案】（1）见详解；（2）见详解【分析】（1）由题意易得SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，进而问题可求证；（2）由（1）及题意可知SKIPIF1<0，然后可得SKIPIF1<0，进而可证SKIPIF1<0，最后问题可求证．【详解】解：（1）∵DESKIPIF1<0BC，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴DFSKIPIF1<0BE；（2）∵AF＝2，EF＝4，∴由（1）可知，SKIPIF1<0，AE=6，∵AB＝6SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△AEB．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．【变式训练】1．（2022·江苏·九年级专题练习）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，D是SKIPIF1<0上一点，点E在SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0交于点F，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0＝__________．【答案】2【分析】过D作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0于H点，过D作SKIPIF1<0交BC于G点，先利用解直角三角形求出SKIPIF1<0的长，其次利用SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的长，得出SKIPIF1<0的长，最后利用SKIPIF1<0求出SKIPIF1<0的长，最后得出答案．【详解】解：如图：过D作SKIPIF1<0垂直SKIPIF1<0于H点，过D作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于G点，∵在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，

又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：2．【点睛】本题考查勾股定理，等腰直角三角形性质及相似三角形的判定与性质综合，解题关键在于正确做出辅助线，利用相似三角形的性质得出对应边成比例求出答案．2．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0边上的高．求证：SKIPIF1<0．【答案】见详解【分析】先证明SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0，即可证明SKIPIF1<0．【详解】∵SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0边上的高，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握三角形的判定与性质是解答本题的关键．3．（2021秋·山东济宁·九年级校考阶段练习）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?（2）若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0关于t的函数关系式．（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似?【答案】（1）3秒或5秒；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）根据题意得到AP=4tcm，CQ=2tcm，AC=20cm，CP=（20-4t）cm，根据三角形的面积公式列方程即可得答案；（2）若运动的时间为ts，则CP=（20-4t）cm，CQ=2tcm，利用三角形的面积计算公式，即可得出S=20t-4t2，再结合各线段长度非负，即可得出t的取值范围；（3）分①SKIPIF1<0和②SKIPIF1<0，利用相似三角形得出比例式，建立方程求解，即可得出结论．【详解】（1）解：由运动知，AP=4tcm，CQ=2tcm，∵AC=20cm，∴CP=（20-4t）cm，在Rt△CPQ中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；∴SKIPIF1<0秒或SKIPIF1<0秒（2）由题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0；（3）分两种情况：①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时，以点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似．【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的性质，用方程的思想解决问题是解本题的关键．4．（2023·全国·九年级专题练习）如图，SKIPIF1<0中，点D在SKIPIF1<0边上，且SKIPIF1<0．（1）求证：SKIPIF1<0；（2）点E在SKIPIF1<0边上，连接SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点F，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的度数．（3）在（2）的条件下，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长等于30，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0＝60°；（3）AF＝11【分析】（1）根据三角形内角与外角之间的关系建立等式，运用等量代换得出SKIPIF1<0，证得SKIPIF1<0；（2）作CH＝BE，连接DH，根据角的数量关系证得SKIPIF1<0，再由三角形全等判定得△BDH≌△ABE，最后推出△DCH为等边三角形，即可得出SKIPIF1<0＝60°；（3）借助辅助线AO⊥CE，构造直角三角形，并结合平行线构造△BFE∽△BDH，建立相应的等量关系式，完成等式变形和求值，即可得出AF的值．【详解】（1）证明：∵∠BDC＝90°＋SKIPIF1<0∠ABD，∠BDC=∠ABD+∠A，∴

∠A＝90°－SKIPIF1<0∠ABD．∵∠BDC＋∠BDA＝180°，∴∠BDA＝180°－∠BDC＝90°－SKIPIF1<0∠ABD．∴

∠A＝∠BDA＝90°－SKIPIF1<0∠ABD．∴DB＝AB．解：（2）如图1，作CH＝BE，连接DH，∵∠AFD＝∠ABC，∠AFD＝∠ABD＋∠BAE，∠ABC＝∠ABD＋∠DBC，∴∠BAE＝∠DBC．∵由（1）知，∠BAD＝∠BDA，又∵∠EAC＝∠BAD－∠BAE，∠C＝∠ADB－∠DBC，∴∠CAE＝∠C．∴AE＝CE．∵BE＝CH，∴BE＋EH＝CH＋EH．即BH＝CE＝AE．∵AB＝BD，∴△BDH≌△ABE．∴BE＝DH．∵BE＝CD，∴CH＝DH＝CD．∴△DCH为等边三角形．∴∠ACB＝60°．（3）如图2，过点A作AO⊥CE，垂足为O．∵DH∥AE，∴∠CAE＝∠CDH＝60°，∠AEC＝∠DHC＝60°．∴△ACE是等边三角形．设AC＝CE＝AE＝x，则BE＝16－x，∵DH∥AE，∴△BFE∽△BDH．∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∵△ABF的周长等于30，即AB＋BF＋AF＝AB＋SKIPIF1<0＋x－SKIPIF1<0=30，解得AB＝16－SKIPIF1<0．在Rt△ACO中，AC＝SKIPIF1<0，AO＝SKIPIF1<0，∴BO＝16－SKIPIF1<0．在Rt△ABO中，AO2＋BO2＝AB2，即SKIPIF1<0．解得SKIPIF1<0（舍去）SKIPIF1<0．∴AC＝SKIPIF1<0．∴AF＝11．【点睛】本题考查了三角形角的性质、等边三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质的综合应用，解题的关键是能熟练掌握三角形的性质与全等判定并借助辅助线构造特殊三角形的能力．【考向二(双)8字型相似】例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图，在菱形ABCD中，∠ADE、∠CDF分别交BC、AB于点E、F，DF交对角线AC于点M，且∠ADE＝∠CDF．（1）求证：CE＝AF；（2）连接ME，若SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，AF＝2，求SKIPIF1<0的长．【答案】（1）见解析（2）2【分析】（1）通过已知条件，易证△ADF≌△CDE，即可求得；（2）根据SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，易求得BE和BF，根据已知条件可得SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，证明△AMF∽△CMD，SKIPIF1<0，再证明△ABC～△MEC,即可求出ME．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∠DAF＝∠DCE，又∵∠ADE＝∠CDF，∴∠ADE﹣∠EDF＝∠CDF﹣∠EDF，∴∠ADF＝∠CDE，在△ADF和△CDE中，SKIPIF1<0，∴△ADF≌△CDE，∴CE＝AF．（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，由（1）得：CE＝AF＝2，∴BE＝BF，设BE＝BF＝x，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，AF＝2，∴SKIPIF1<0，解得x＝SKIPIF1<0，∴BE＝BF＝SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，且CE＝AF，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵∠CMD＝∠AMF，∠DCM＝∠AMF，∴△AMF∽△CMD，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，且∠ACB＝∠ACB,∴△ABC～△MEC,

∴∠CAB＝∠CME=∠ACB，∴ME=CE=2．【点睛】本题主要考查了三角形全等，三角形相似和菱形的判定和性质，熟练它们的判定和性质是解答此题的关键．【变式训练】1．（2022春·九年级课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点，SKIPIF1<0，连接BE交AC于点G，延长BE交CD的延长线于点F，则SKIPIF1<0的值为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先根据平行四边形的性质得到AB∥CD，则可判断△ABG∽△CFG，△ABE∽△DFE，于是根据相似三角形的性质和AE＝2ED即可得结果．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，∴△ABG∽△CFG，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0∵△ABE∽△DFE，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∵AE＝2ED，∴AB＝2DF，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．故选：A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质进行解题．2．（2022春·陕西渭南·八年级统考期末）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，CF交BE于点G，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0___．【答案】2【分析】延长CF、BA交于M，根据已知条件得出EF＝AF，CE＝SKIPIF1<0DC，根据平行四边形的性质得出DC∥AB，DC＝AB，根据全等三角形的判定得出△CEF≌△MAF，根据全等三角形的性质得出CE＝AM，求出BM＝3CE，根据相似三角形的判定得出△CEG∽△MBG，根据相似三角形的性质得出比例式，再求出答案即可．【详解】解：延长CF、BA交于M，∵E是CD的中点，F是AE的中点，∴EF＝AF，CE＝SKIPIF1<0DC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∴CE＝SKIPIF1<0AB，∠ECF＝∠M，在△CEF和△MAF中SKIPIF1<0，∴△CEF≌△MAF（AAS），∴CE＝AM，∵CE＝SKIPIF1<0AB，∴BM＝3CE，∵DC∥AB，∴△CEG∽△MBG，∴SKIPIF1<0，∵BE＝8，∴SKIPIF1<0，解得：GE＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键．3．（2022秋·北京房山·九年级统考期中）如图，AD与BC交于O点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求CD的长．【答案】1.5【分析】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0，利用相似三角形的性质可得出SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即可求出CD的长．【详解】解：∵AD与BC交于O点，∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例列式．4．（2023秋·安徽六安·九年级校考期末）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝1，D为AB上一点，连接CD，分别过点A、B作AN⊥CD，BM⊥CD．（1）求证：AN＝CM；（2）若点D满足BD：AD＝2：1，求DM的长；（3）如图2，若点E为AB中点，连接EM，设sin∠NAD＝k，求证：EM＝k．【答案】（1）见解析；（2）SKIPIF1<0；（3）见解析【分析】（1）证明△ACN≌△CBM（AAS），由全等三角形的性质得出AN＝CM；（2）证明△AND∽△BMD，由相似三角形的性质得出SKIPIF1<0，设AN＝x，则BM＝2x，由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，由勾股定理得出x＝SKIPIF1<0，则可得出答案；（3）延长ME，AN相交于点H，证明△AHE≌△BME（AAS），得出AH＝BM，证得HN＝MN，过点E作EG⊥BM于点G，由等腰直角三角形的性质得出答案．【详解】（1）证明：∵AN⊥CD，BM⊥CD，∴∠ANC＝90°，∠BMC＝90°，又∠ACB＝90°，∴∠ACN+∠BCM＝∠BCM+∠CBM＝90°，∴∠ACN＝∠CBM，又∵AC＝BC，∴△ACN≌△CBM（AAS），∴AN＝CM；（2）解：∵∠AND＝∠BMD，∠ADN＝∠BDM，∴△AND∽△BMD，∴SKIPIF1<0，设AN＝x，则BM＝2x，由（1）知AN＝CM＝x，BM＝CN＝2x，∵AN2+CN2＝AC2，∴x2+（2x）2＝12，∴x＝SKIPIF1<0，∴CM＝SKIPIF1<0，CN＝SKIPIF1<0，∴MN＝SKIPIF1<0，∴DM＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0；（3）解：延长ME，AN相交于点H，∵E为AB的中点，∴AE＝BE，∵∠ANM＝90°，∠BMN＝90°，∴AN∥BM，∴∠HAE＝∠MBE，∠AHE＝∠BME，∴△AHE≌△BME（AAS），∴AH＝BM，又∵BM＝CN，CM＝AN，∴CN＝AH，∴MN＝HN，∴∠HMN＝45°，∴∠EMB＝45°，过点E作EG⊥BM于点G，∵sin∠NAD＝k，∠NAD＝∠EBG，∴sin∠EBG＝SKIPIF1<0＝k，又∵AC＝BC＝1，∴AB＝SKIPIF1<0，∴BE＝SKIPIF1<0，∴EG＝SKIPIF1<0k，∴EM＝SKIPIF1<0EG＝SKIPIF1<0k＝k．【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．5．（2022·广东佛山·校考三模）如图1，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的平分线，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线于点SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)如图2，如果SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(3)如果SKIPIF1<0是锐角，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似，求SKIPIF1<0的度数，并直接写出SKIPIF1<0的值．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】（1）由题意：SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0即可解决问题．（2）延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．证明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．（3）因为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0中必有一个内角为SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0是锐角，推出SKIPIF1<0．接下来分两种情形分别求解即可．【详解】（1）证明：如图1中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）解：延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中必有一个内角为SKIPIF1<0SKIPIF1<0是锐角，SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0．②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似，SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0．综上所述，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．【考向三母子型相似】例题：（2022秋·全国·八年级专题练习）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足SKIPIF1<0，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是SKIPIF1<0的边AB的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，试判断点D是不是SKIPIF1<0的“理想点”，并说明理由；(2)如图②，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若点D是SKIPIF1<0的“理想点”，求CD的长．【答案】(1)SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的理想点,理由见解析(2)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）由已知可得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可证点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“理想点”；（2）由SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“理想点”，分三种情况：当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的高，根据面积法可求SKIPIF1<0长度；当SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，SKIPIF1<0，对应边成比例即可求SKIPIF1<0长度；SKIPIF1<0不可能在SKIPIF1<0上．（1）解：点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“理想点”，理由如下：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“理想点”；（2）①SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上时，如图：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“理想点”，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的高，当SKIPIF1<0时，同理可证SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的高，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0“理想点”SKIPIF1<0不可能在SKIPIF1<0边上，③SKIPIF1<0在SKIPIF1<0边上时，如图：SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“理想点”，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，综上所述，点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的“理想点”，SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义．【变式训练】1．（2022秋·黑龙江哈尔滨·九年级校考期中）如图，SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段SKIPIF1<0的长为___________．【答案】SKIPIF1<0【分析】延长SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，可得等腰SKIPIF1<0和等腰SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再证明SKIPIF1<0，利用相似三角形对应边成比例即可求出SKIPIF1<0．【详解】解：如图所示，延长SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质和相似三角形的判定和性质，利用已知二倍角关系①构造等腰SKIPIF1<0和②构造等腰SKIPIF1<0是解题关键．2．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AC=SKIPIF1<0，CD＝4，BD＝2，求证：△ACD∽△BCA．【答案】证明见解析．【分析】根据AC=SKIPIF1<0，CD＝4，BD＝2，可得SKIPIF1<0，根据∠C=∠C，即可证明结论．【详解】解：∵AC=SKIPIF1<0，CD＝4，BD＝2∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵∠C=∠C∴△ACD∽△BCA．【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，掌握知识点是解题关键．3．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期中）如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高，SKIPIF1<0的平分线SKIPIF1<0分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积，(3)若SKIPIF1<0，请直接写出SKIPIF1<0的值为______．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0(3)SKIPIF1<0【分析】（1）利用同角的余角相等可得SKIPIF1<0，再由角平分线的定义可得SKIPIF1<0，然后根据相似三角形的判定即可得证；（2）先根据SKIPIF1<0定理可证SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，利用勾股定理SKIPIF1<0，然后根据相似三角形的性质求解即可得；（3）由SKIPIF1<0和SKIPIF1<0推出SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，再根据一元二次方程的解法求解即可得．【详解】（1）证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0边上的高，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分线，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的平分线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0．（3）解：如上图，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（不符题意，舍去），∴SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、解直角三角形的应用、一元二次方程的应用等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．4．（2022·江苏·九年级专题练习）如图：在矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点Р以SKIPIF1<0的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以SKIPIF1<0的速度从点C出发，沿CB向点B移动，设P、Q两点移动的时间为t秒SKIPIF1<0．（1）SKIPIF1<0______m，SKIPIF1<0______m，SKIPIF1<0_____m（用含t的代数式表示）（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似？（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与SKIPIF1<0CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由．【答案】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；（3）四边形ABQP与SKIPIF1<0CPQ的面积不相等，理由见解析【分析】（1）根据矩形和勾股定理的性质，计算得SKIPIF1<0，结合题意，根据代数式的性质计算，即可得到答案；（2）结合（1）的结论，根据相似三角形的性质列方程并求解，即可得到答案；（3）过点P作SKIPIF1<0，交BC于点M，通过证明SKIPIF1<0，根据相似比的性质，推导得SKIPIF1<0，根据题意列一元二次方程，根据一元二次方程判别式的性质分析，即可得到答案．【详解】（1）∵矩形ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0m∵动点Р以SKIPIF1<0的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以SKIPIF1<0的速度从点C出发，沿CB向点B移动，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）根据（1）的结论，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0∴当SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0时，以P、Q、C为顶点的三角形与SKIPIF1<0相似当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0；（3）如图，过点P作SKIPIF1<0，交BC于点M∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵四边形ABQP与SKIPIF1<0CPQ的面积相等,SKIPIF1<0四边形ABQP面积SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0无解，即四边形ABQP与SKIPIF1<0CPQ的面积不相等．【点睛】本题考查了代数式、相似三角形、一元二次方程、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握相似三角形、一元二次方程判别式的性质，从而完成求解．【考向四旋转相似】例题：（2022秋·贵州贵阳·九年级校考期中）如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针方向旋转，记旋转角为SKIPIF1<0．(1)问题发现①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0＝______；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0＝______；(2)拓展探究试判断当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明；(3)问题解决当SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0逆时针旋转至SKIPIF1<0三点在同一条直线上时，求线段SKIPIF1<0的长．【答案】(1)①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0(2)当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，大小没有变化，证明见解析(3)线段SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】（1）①先利用勾股定理可得SKIPIF1<0，再根据线段中点的定义可得SKIPIF1<0，由此即可得；②先画出图形，根据旋转的性质可得SKIPIF1<0，再利用勾股定理可得SKIPIF1<0，然后根据线段和差分别求出SKIPIF1<0的长，由此即可得；（2）根据相似三角形的判定证出SKIPIF1<0，再根据相似三角形的性质即可得；（3）分①点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延长线上和②点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上，利用勾股定理求出SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0的长，再根据SKIPIF1<0求解即可得．【详解】（1）解：①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0；②如图1，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0分别是边SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，如图，当SKIPIF1<0时，由旋转的性质得：SKIPIF1<0的大小不变，仍等于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0长度不变，仍等于2，SKIPIF1<0的长度不变，仍等于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．（2）解：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，大小没有变化，证明如下：由旋转的性质得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（3）解：①如图，当点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的延长线上时，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②如图，当点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；综上，线段SKIPIF1<0的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识点，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键．【变式训练】1．（2023·浙江宁波·校考一模）如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点D，E分别是SKIPIF1<0的中点．把SKIPIF1<0绕点B旋转一定角度，连结SKIPIF1<0．(1)如图2，当线段SKIPIF1<0在SKIPIF1<0内部时，求证：SKIPIF1<0．(2)当点D落在直线SKIPIF1<0上时，请画出图形，并求SKIPIF1<0的长．(3)当SKIPIF1<0面积最大时，请画出图形，并求出此时SKIPIF1<0的面积．【答案】(1)见解析(2)见解析；SKIPIF1<0(3)见解析，SKIPIF1<0【分析】（1）根据点D，E分别是SKIPIF1<0的中点，得到SKIPIF1<0，再根据旋转，得到SKIPIF1<0，即可得证；（2）勾股定理定理求出SKIPIF1<0的长，中位线定理得到SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，根据旋转，得到SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0，利用勾股定理求出SKIPIF1<0的长；（3）设点E到SKIPIF1<0的距离为h，判断出h最大SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积最大，过点D作SKIPIF1<0于H，证明SKIPIF1<0，利用对应边对应成比例，求出SKIPIF1<0的长，利用SKIPIF1<0进行求解即可．【详解】（1）证明：∵点D，E分别是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，

由旋转知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）解：如图，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）图∵点D，E分别是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵点D落在SKIPIF1<0上，∴SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，根据勾股定理得，SKIPIF1<0；（3）解：如图，设点E到SKIPIF1<0的距离为h，则SKIPIF1<0，要SKIPIF1<0的面积最大，则h最大，即SKIPIF1<0时，此时，h最大SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由旋转知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，过点D作SKIPIF1<0于H，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在题干图1中，∵点D，E分别是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形的中位线，勾股定理．本题的综合性较强，难度较大，解题的关键是根据题意，正确的画出图形．2．（2022·山东枣庄·校考模拟预测）如图1，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．点SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，以SKIPIF1<0为边作正方形SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．将正方形SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0顺时针旋转，旋转角为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．(1)如图2，在旋转过程中，①判断SKIPIF1<0与SKIPIF1<0是否全等，并说明理由；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的长．(2)如图3，延长SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0．求证：SKIPIF1<0；【答案】(1)①SKIPIF1<0，理由见解析；②SKIPIF1<0(2)证明见解析【分析】（1）①根据“边角边”，证明SKIPIF1<0即可；②过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根据①中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，再根据三线合一的性质，得出SKIPIF1<0，再根据勾股定理，得出SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，再根据相似三角形的性质，计算即可得出答案；（2）设SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，根据（1）SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，再根据角之间的数量关系，得出SKIPIF1<0，再根据