高中数学空间向量基本定理专项练习

高中数学空间向量基本定理专项练习

课堂检测二固双基

1.在正方体ABCD-AiBiGD,中，可以作为空间向量的一组基底的是（）

A.屈，祀,AbB.m,AA],AS]

C.温，D^t\,D^DD.精，枇，&]

2.已知正方体A5CQ-ABG。]中，若点尸是侧面CGOQ的中心，且#=成+〃?初

-，则〃？，n的值分别为（）

1111

AB

2-一2--2_-2-

11-11

C,-2（2D•2（2

3.设p：a,b,c是三个非零向量，q：｛a,b,c｝为空间的一个基底，则p是,/的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.下列说法正确的是（）

A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底

B.空间的基底有且仅有一个

C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D.基底｛a,b,c｝中基向量与基底｛e,f,g｝中基向量对应相等

5.在四棱锥P-ABCQ中，底面A8CQ是正方形，E为中点，若中=a,协=b,反'

=c,则派=.

素养作业•提技能

A组•素养自测

一、选择题

1.（多选题）若｛a,b,c｝是空间的Y基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（）

A.{a,2a3c}B.{a+b,b+c,c+a}

C.{a+2b,2b+3G3a-9c}D.{a+b+c,b,c]

2.如图，在平行六面体ABC。-A向CQi中，AC与B0的交点为点〃，屈=a,而=

"“产c,则下列向量中与dU相等的向量是（）

A.-呼+于+cB.”,+c

1111

C・-呼-R-cD.-呼-于+c

3.已知。，A,B,C为空间不共面的四点，且向量。=温+初+求，向量〃=醇+防

-Ot,则不能与a,"勾成空间的一个基底的是（）

A.O\B.Oh

C.OtD.况与加

4.已知O为空间任意一点，A,B,C,P满足任意三点不共线，但四点共面，且萍=

mOX+彷+求，则〃?的值为（）

A.-1B.2

C.-2D.-3

5.如图，在四面体0ABe中，M,N分别在棱0A,8。上，且满足词f=2祝1，前=4,

点G是线段MN的中点,用向量发,0^,沈表示向量次;应为（）

A.ob=^oA+^oh+^otB.ob=

c.ob=D.ob=-［求

二、填空题

6.在长方体A8CD-A/CQi中，下列关于/高的表达式中：

DA

@AX)+A\lii+A\t)\；

②屈+说i+求1；

③电+协+；

④/福+仍)+4力.

正确的个数有一个.

7.已知空间的一个基底{a,b,c},m=0-b+c,"=M+舛+c，若机与n共线,则

x=,y=.

8.正方体4BCC-4BCG中，点E,F分别是底面AQ和侧面CG的中心，若肆+

/U^>=O(zeR),贝!M=.

三、解答题

9.在平行六面体ABCO-ABCG中，设显=。，劭="/|=<:,《，/分别是">1,

BD的中点.

(1)用向量a,b,c表示万,Ep；

(2)若而7=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.

10.如图,已知直三棱柱ABC-ABC中,AC=BC=AA',NACB=90。，D,E分别为

AB,88'的中点.

cB'

⑴求证：CEIA'D；

⑵求异面直线CE与AC所成角的余弦值.

B组素养提升

一、选择题

1.在平行六面体ABCO-AIBICQI中，公|=工屈+2）反1+3zdt1，则x+），+z=（）

7

A1B-

6

52

c-D-

63

2.如图，在三棱柱A8C-48C中,M为4G的中点，若烈=a,BC=b,M=c,

则就何表示为（）

A.-ga+/b+c

C.-；a』+c

3.在四面体O-ABC中，Gi是"BC的重心，G是。Gi上的一点，且OG=3GGi,若

0t=x0X+yOb+zOt,贝！Rx,y,2）为（）

<333、

A.B.U1414；

644）

4.（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（）

A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B.若对空间中任意一点。，有办=/醇+^ok+^ot，则P,A,8,C四点共面

C.设｛a,b,c堤空间中的一组基底，则｛a+3,b+c,c+a｝也是空间的一组基底

D.若“•/><0,则(a,b)是钝角

二、填空题

5.若a=ei+e2,=e2+e3,c=ei+e3,d=ei+2e2+3e3,若ei,e2,e3,当d

=o.a+/3b+ycSi,a+夕+y=.

6.已知｛ei,62,03｝是空间的一个基底,若温+22+阳=0,则k+〃2+解=.

7.如图，在四面体ABCD中，G为AABC的重心，E是8。上一点，BE=3FD,以｛协，

企,通｝为基底，则流=.

三、解答题

8.如图所示,空间四边形OABC中，G,”分另11是“BC,AOBC的重心，求证：GH

//0A.

9.已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为0A的中点，。

为0B的中点，若AB=0C,求证：PMLQN.

答案

课1检测二固双基

1.在正方体ABC。-AIBICIDI中，可以作为空间向量的一组基底的是（C）

A.屈，加,AbB.Ab,A?i,A^i

C.而，Dlti,D^DD.祀।,杭，死

［解析］只有选项C中的三个向量是不共面的，可以作为一个基底.

2.已知正方体ABCD-A山CQ中，若点F是侧面CG。。的中心，且#=劝+加话

-nAAi,则m,n的值分别为（A）

A1-1B」」

八.2,22,2

"11nil

C.-2>2D-2<2

［解析］因为#=AZ）+/=At）+g（皮+而i）=⑰++,所以=g,n=.

3.设p：a,b,c是三个非零向量，q：｛a,方，c｝为空间的一个基底，则p是4的（B）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

［解析1当非零向量a.b.c不共面时，｛a,方，c｝可以当基底，否则不能当基底，当｛a,

b,c｝为基底时，一定有a,b,c为非零向量，因此p/q,q=p，选B.

4.下列说法正确的是（C）

A.任何三个不共线的向量可构成空间向量的一个基底

B.空间的基底有且仅有一个

C.两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底

D.基底｛a,b,c｝中基向量与基底｛eg｝中基向量对应相等

［解析］A项中应是不共面的三个向量构成空间向量的基底；B项，空间基底有无数个；

D项中因为基底不唯一，所以D错.故选C.

5.在四棱锥P-ABCZ)中，底面A8C£＞是正方形，E为尸。中点，若双=a,防5,Pt

=c,则泥:=-治+.

［解析］BJ=1(B?+BS)=1(-b+BX+Bt)

=--通+曲-通)

1,1C13,I

=-］力+］(〃+c-25)=jo-5。+］c.

素养作业•提技能

请同学们认真完成练案［3J

A组•素养自测

一、选择题

1.(多选题)若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是

(ABD)

A.(a,2b,3c}B.{a+b,b+c,c+a}

C.{a+25,25+3G3Q-9c}D.{a^b+c,b,c］

［解析］由于a,8，c不共面，易判断A,B,D中三个向量也不共面，可以作为一组

基向量.对于C,有3(2。+3c)+(3a-9c)=3(a+2b),故这三个向量是共面的，不能构

成基底.

2.如图，在平行六面体ABCO-ABiGU中，4C与8。的交点为点M,油=。，通=

b,AAx=c,则下列向量中与&^相等的向量是(C)

1111

A・-+cB.+c

C.-^a-^b-cD,-ga+c

［解析］Ci%/=A^I-A?i=T（辐+At））-（A^+质*+C?i）=-呼-，-c.

3.已知。，A,2,C为空间不共面的四点，且向量a=^+成+求，向量4次+加

-Ot,则不能与a,b构成空间的一个基底的是（C）

A.oAB.ob

C.OtD,况与加

［解析］'：a=oX+oh+ob,b=oX+ob-Ot,

：.0t=^a-b）,：.灵与向量a,b共面,

：.0t,a,b不能构成空间的一个基底.

4.（2020・四川广元高二期中）已知0为空间任意一点，A,B,C,P满足任意三点不共

线，但四点共面，且/>=〃，温+成+求，则，"的值为（C）

A.-1B.2

C.-2D.-3

［解析］0为空间任意一点，BP=mOX+Ob+Ot,

of3=mdA+2dh+db.'.'A,B,C,P满足任意三点不共线，但四点共面,/.WJ+2

+1=1,解得m=-2.

5.（2020•陕西咸阳高二期末）如图，在四面体OABC中，M,N分别在棱04,8C上，

且满足（殖=2忌，加=比，点G是线段MN的中点，用向量次,0^,反表示向量循应

为（A）

A.ob-oA++^otB.ob--:彷+

C.ob--；彷-；求

212121

病

加

=+=-----(z忌+l\=-_

I解析］32-32\z32

拓A+；油+祀=号次+'次+；（加-次）+土（次?-次）=拓A+；成+（比.

二、填空题

6.在长方体ABCD-中，下列关于公।的表达式中：

①14Xi+A\h\+A\t）\；

②屈+9+求1；

@Ab+协+做I；

④;（而+E|）+A力.

正确的个数有3_个.

［解析］Ah+Db\+求产显+反1尸屈+初代公I,②不正确；；（就+C^|）+ANI=

；（副+就）+AHI=同+人才=北1,④正确；①③显然正确.

7.已知空间的一个基底｛a,b,c],m=a-b+c,n=xa+yb+c,若，〃与“共线，则

x=],y=-1

［解析］因为m与"共线，所以存在实数"使"?=加，即a-白+c=*+9+—,

f1=及，

于是有｛-1=肛,x=1,

解得

J=-1.

」=2，

8.正方体ABCC-A山CA中，点E,尸分别是底面AQ和侧面CA的中心，若讲+

14力=0(2GR),则a=—.

［解析］如图，连接4G,GD,则E在A£上，F在GO上，易知EF^A^D,所以

Ep=^Aib,

即办-多力=0,所以A=-1.

三、解答题

9.在平行六面体ABCO-ABCG中，设显=a,⑰="届=。，E,F分别是A。，

BD的中点.

(1)用向量a,b,c表示9,EP；

(2)若£>尸=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.

［解析］⑴如图，9=麻>+协=-AX\+Ak-Ab=a-b-c,Ep=Ek+A^=^DtA+

夕亡=-+Ab)+g(屈+Ab)=；(a

c).

(2)D^F=+D\B)=1(-启+D^B)=1(-c+a-Z>-c)=|a-1/>-c,所以x=1,y

1

2,z=-1.

10.如图，已知直三棱柱ABC-A5c中，AC=BC=A/V,ZACB=90°,D,E分别为

AB,89的中点.

⑴求证：CE±A'D；

⑵求异面直线CE与AC所成角的余弦值.

［解析］⑴设引=",宿=b,8'=c,

木艮据题意,⑷=|Z»|=|c|且ab-be=ca=0.

所以&'=6+5,

A71)=-c+\b-\a.

所以4.冠)=-%+纸=0,

所以,即CEIA'D.

(2)因为n7=-a+c,

所以配1=小闻，循=乎⑷,

因为箱Ck=(-a+c)-［b+^=|c2=细),

ifll2、后

所以cos{At',Cfe)=­Z-fz-=.

血拳肝

所以异面直线CE与AC所成角的余弦值为喘.

B组素养提升

一、选择题

1.（2020•陕西西安高二期末）在平行六面体ABCC-AiSCQ中，公1=工屈+2）就+

3zGC,则x+y+z=(B)

7

A1B-

6

52

c-D-

63

I解析］如图所示，在平行六面体ABCD-A向GU中，公产屈+爱+H产油+或

1

-。］。，与公］=人3+2），册+32苗比较可得工=1,2旷=1,Z-+2-

7

-

6

2.（2021.浙江杭州模拟）如图，在三棱柱A8C-A闰G中，M为AC的中点，若施=a,

鼠二b,AX\=c,则就何表示为（A）

11,B.^a+^b+c

A.-呼+m+c

C.・ga-；》+c

D.+c

［解析］取AC的中点N,连接BN,MN,如图所示.

Bg

A

为4G的中点,Ah=a,Bt=b,AX,=C,.\NK1=AA\=C,前=g(质+=

融+_2a+2^z***就=前+前^=(-5+3)+c=-5+，+c.

3.在四面体。-ABC中，G,是ABC的重心，G是OGi上的一点，且。G=3GG］，若

r5&二x温+y肪+z求，贝[](x,y,2)为(A)

q11弓33

-B--

A一

444-44

S22

D--

33

［解析］

如图所示连接AGi交BC于点E则E为8C中点屈=/屈+祀）=上时-20%+ob）,

后=|然=；而-2改+求）.

因为%=3科।=3dLob)

3

-

4

11

-而

=44-

4.（多选题）关于空间向量，以下说法正确的是（ABC）

A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面

B.若对空间中任意一点0,有办=前A彷+］求，则P,A,8,C四点共面

C.设｛a",c｝是空间中的一组基底，则｛a+3,b+c,c+a｝也是空间的一组基底

D.若<0,则（a,b）是钝角

［解析］根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个

向量一定共面,所以A正确；若对空间中任意一点0,有时=卷次+/协+3求,则根据

空间向量的基本定理，可得P,A,B,C四点一定共面，所以B正确；由｛a,"c｝是空间

中的一组基底，则向量a,b,c不共面，可得向量a+/>,b+c,c+a也不共面，所以｛a+/>,

b+c,c+a｝也是空间的一组基底，所以C正确；若a力<0,又〈a,b〉e［0,7t］,所以（a,

b)it,所以D错误.故选ABC.

二、填空题

5.若。=ei+C2,b=ei+e3,c=e\+€3,d=e\+2e2+3。3，若白，02,为不共面,当d

=M时，«+^+y=3.

［解析］由已知d=3+振1+(a+£)62+(y+份03,

a+y=1,

所以＜。+夕=2,故有。+夕+尸3.

)+4=3,

6・已知｛ei,€2,电｝是空间的一个基底，若溷+"62+的=0，贝量2+〃2+接=0

f解析］:｛ei,€2,劣｝是空间的一个