高中数学高考冲刺常见易错题解析合集

高中数学高考冲刺常见易错题解析合集

一、集合与简易逻辑

1对集合表示方法理解存在偏差

错因分析：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握”，对其本

质的理解存在误区，常见的错误是不理解集合的表示法，忽视

集合的代表元素。

【问题】1：已知A={x|x>0},3={x>0},求ADS。

错解：Ap[B=A

剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。

【问题】2:已知A={>[y=x+2},8={(x,y)|%2+,2=由，求人口3。

错解：AAB={(0,2),(-2,0)}

剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A为点集。

2在解含参数集合问题时忽视空集

错因分析：由于空集是任何集合的子集。因此对于集合A=B就

有A=0,A口，A=8三种情况。在解题中，如果思维不够缜密，

就有可能忽视了4=0,导致解题结果错误。尤其是在解含参数

的集合问题时，更应注意到当参数在某个范围内取值时，所给

的集合可能是空集的情况。空集是一个特殊的集合，由于思维

定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案

错误或答案不全面。

【问题】：A.={x\la<x<a2},B={x\-2<x<\],且4=8,求a的

取值范围。

错解：［T,0)

剖析：忽视A=0的情况

3在解含参数问题时忽视元素的互异性

错因分析：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元

素的三性中的互异性对解题的影响最大，特别是含参数的集合,

实际上就隐含着对字母参数的一些要求。解题时可先求出字母

参数的值，再代入验证。

【问题】：已知1£{a+2,(a+l)2,a2+3a+3),求实数a的值。

错解：6!=-2,-1,0

剖析：忽视元素的互异性，其实当a=-2时，(a+l)2=4+3a+3=l；

当a=-l时，a+2=a2+3a+3=l；均不符合题意。

4命题的否定与否命题关系不明

错因分析：命题的否定是命题的非命题，也就是“保持原命题的

条件不变，否定原命题的结论作为结论”所得的命题，但否命题

是“否定原命题的条件作为条件，否定原命题的结论作为结论”

所得的命题。对此。考生可能会犯两类错误①概念不清，不会对

原命题的条件和结论作出否定；②审题不够细心。

【问题】：写出“若a/M或则的否命题。

错解一：否命题为“若a史M或a走P,贝UaeMnP”

剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。

错解二：否命题为“若aeM或aeP,则aeMg”

剖析：知识不完整，aeA/或a史P的否定形式应为aeAf且awP。

5充分必要条件颠倒出错

错因分析：对于两个条件A,8,如果AnB,则A是5的充分条件，

8是A的必要条件，如果A=B,则A是8的充要条件。判断充要

条件常用的方法有①定义法；②集合法；③等价法。解题时最容

易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题时,

一定要根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判断。

【问题】：已知是实数，则“a>0且。>0''是"a+b>0且m>0”的

A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既

不充分也不必要条件

错解：选B

剖析：识记不好，不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充

要条件的方法。

6对逻辑联结词及其真值表理解不准

错因分析：含逻辑联结词“或”、“且”、“非”的命题称为复合命

题。在判断复合命题真假时，常常因为对概念理解不准确或真

值表记不清而出现错误。为此准确理解概念、巧记真值表是解

题的关键。这里介绍一种快速记忆真值表的方法：

或/—有真则真；“p且小—有假则假；“非一一真假

相反。

【问题]：命题p：若a、bWR,则同+例>1是|a+4>i的充分而不

必要条件；命题q：函数y二J|xT|-2的定义域是(—8,-1]U

[3,+8),贝|

A“p或夕”为假B“p且q”为真Cp真q假

D〃假g真

解法一：选A或B

剖析：对真值表记忆不准，本题中成％真，因此"p或为真，

而，且「为假。

解法二：选C

误区二：基础不牢，在判断命题p，4真假时出错。

7否定全称、特称命题出错

错因分析：全称命题p:VxeM,p(x),它的否定-1P:玉eM,->p(x),特

称命题P：玉eM,p(x),它的否定r?:VxeA/,「P(x)。一般来说，全称命

题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题。切记对全

称、特称命题的否定，不仅要否定结论p(x),而且还要对量词

“V和丁’进行否定。另外，对一些省略了量词的简化形式，应先

将命题写成完整形式，再依据法则来写出其否定形式。

【问题】写出下列命题的否定：

p：对任意的正整数X,x2>x；

〃三角形有且仅有一个外接圆；

r：存在一个三角形，它的内角和大于180。；

s：有些质数为奇数。

错解：①-P：对任意的正整数X,x2<x;

②F：存在一个三角形有且仅有一个外接圆；

③f：所有的三角形的内角和小于180。；

剖析：知识欠缺，基础不牢导致出错。

二、函数与导数

8求函数定义域时条件考虑不充分

错因分析：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，

因此求定义域时就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的

限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数

定义域。在求函数的定义域时应注意以下几点①分式的分母不

为零；②偶次根式被开方式非负；③对数的真数大于零；④零的

零次嘉没有意义；⑤函数的定义域是非空的数集。

【问题】：求函数产••/1+5+1)。的定义域。

V3-2x-x2

错解：”3,1]

剖析：基础不牢，忽视分母不为零；误以为*+1)。=1对任意实数

成立。

9求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定

义域”

错因分析：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值

域，求复合函数定义域类型为：

①若已知〃幻的定义域为可，其复合函数f[g(x)]的定义域可由

不等式解出即可；②若已知7Ig(x)]的定义域为[a,目，求

g(x)的定义域,相当于x£[a,b]时，求g(x)的值域(即/(幻的

定义域)。

【问题】已知函数/(x)=log,x+2,xe[1,9],求函数y=[/(x)『+/廿)的值

域。

错解：设』=1小%,vx€[l,9],.*.rG[0,3]9.•.y=〃+6f+6,・."«0,3],

/.yG[6,33]O

剖析：知识欠缺，求函数尸[/(班+小2)定义域时，应考虑厂""9.

1<x<9

10判断函数奇偶性时忽视定义域

错因分析：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对

称。如果不具备这个条件，一定是非奇非偶函数。在定义域关于

原点对称的前提下，如果/(-%)=-/(%),则/(X)为奇函数；如果

/(-%)=/(X),则f(x)为偶函数。同时还应注意在验证/(%)与/(-X)关

系时，保持自变量在定义域内的任意性。

【问题】1:判断函数产包二吟工的奇偶性。

光(九一1)

错解：原函数即广包，，为奇函数

X

剖析：资料误导，忽略定义域。

【问题】2：判断函数/(X)=，f_l+,]—x2的奇偶性。

错解：/(-%)=/(%),/.为偶函数

剖析：不求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一

结论，导致错误。

11求复合函数单调区间时忽视定义域

错因分析：求复合函数单调区间一般步骤是①求函数的定义域；

②作出内层函数的图象；③用“同增异减”法则写单调区间。解

此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视定义域；二是“同

增异减”法则不会或法则用错。

【问题】:求函数y=logo.5（4+3x-%2）的增区间。

错解一：:外层函数为减函数，内层函数"=4+3x-V减区间为

£+8）..原函数增区间为［3,+oo）o

22

剖析：基础不牢，忽视定义域问题

错解二：二4+3x-J〉。，函数定义域为（—1,4）,又内层函数

〃=4+3犬-%2在（_］,=］为增函数，在g,+00）为减函数，...原函数增区

22

间为O

2

剖析：识记不好，对复合函数单调性法则不熟练。

12解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论

错因分析：在二次型函数y=ar2+Z?x+c中，当awO时为二次函数,

其图象为抛物线；当好0出工0时为一次函数，其图象为直线。在

处理此类问题时，应密切注意r项的系数是否为0,若不能确定,

应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也是我们

应关注的对象。例如：

以2+云+。〉0解集为Roa>0,A<0或a=b=O,c>0

加+法+。>0解集为0a<0,A<Os£a=b=O,c<0

【问题】：函数/（x）=（加-11+2（加+l）x—1的图象与x轴只有一个交

点，求实数m的取值范围。

错解：由A=0解得/〃=（）或Tn=—3

剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑m-1=0的情况。

13用函数图象解题时作图不准

错因分析：“数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、

灵活及操作性强等诸多优点颇受数学学习者的青睐。但我们在

解题时应充分利用函数性质，画准图形，不能主观臆造，导致图

形“失真”，从而得出错误的答案。

【问题】1:求函数/(x)=x+L的图象与直线y=2的交点个数。

XX

错解：两个

剖析：忽视“临界线”。

【问题】2：求函数代0=二的图象与直线/(»=2,的交点个数。

错解：两个

剖析：忽视指数函数与嘉函数增减速度快慢对作图的影响。

14忽视转化的等价性

错因分析：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会

起到意想不到的效果，但等价转化的前提是转化的等价性，反

之会出现各种离奇的错误。

【问题】1：已知方程m?-3x+l=0有且只有一个根在区间(0,1)

内，求实数m的取值范围。

错解：•••方程蛆2-3犬+1=0有且只有一个根在区间(0,1)内，，

函数尸/加-3x+l的图象与x轴在(0,1)内有且只有一个交点，

•**/(0)/(1)<0,解得加<2

剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到加=0的情况。

剖析：①在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。

②在图象变换过程中出错，搞错平移方向。

15分段函数问题

错因分析：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方

程、解不等式、研究单调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题

时，要注意分段函数是一个函数而不是几个函数，如果自变量

取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注

分界点附近函数值变化情况。

【问题】L.已知〃x)=[(2-a)x+l是"上的增函数，求a的取

axx>i

值范围。

错解：(1,2)

剖析：知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，

忽视了⑴在分界点附近函数值大小关系。

【问题】2：设函数“所卜?+-0，0，若―仙,{2)=一2,求关于

[2,x>0.

X的方程/(%)=%解的个数。

错解：两个

剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程/(%)=%分两

种情况来解。

16函数零点定理使用不当

错因分析：函数零点定理是指如果函数/*)在区间［a如上的图象

是一条连续不断的曲线，并且有〃a)/3)<0,那么函数在区间

(a,b)内有零点。解决函数零点问题常用方法有定理法、图象法和

方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点”，函数

零点定理仅适用于“变号零点”，对“不变号零点”无能为力。

题】1：.下列函

象与X轴有交

其中不能用二

分法求图中交点横坐标的是

错解：选

剖析：二分法的本质是函数零点定理，因此，二分法只能解决不

变号零点问题。

【问题】2:求函数f(X)=F+2X-3,XW。的零点个数。

-2+Inx,x>0

错解：1个

剖析：本题解法有图象法和方程法两种。出错的原因是分段函

数图象不会画或用方程法求解时不会分类讨论。

17混淆两类切线的概念

错因分析：曲线上一点处的切线是指以该点为切点的曲线的切

线，这样的切线只有一条；而曲线过某一点的切线是指过这个

点的曲线的所有切线，此时的切线可能不止一条。因此求曲线

的切线时，首先要区分是什么类型的切线。

【问题】：已知曲线C：y=3W—9/+4,求曲线上横坐标为1的

点的切线方程，该切线与曲线C是否还有其它公共点？

错解：vy=12x3-6%2-18x,斜率无=—12,，所求切线为

y+4=—12(%—1)o

・•・该切线与曲线C没有其它公共点

剖析：知识残缺，当曲线为二次曲线时，直线与曲线相切，有且

只有一个公共点，这种观点对一般曲线不一定正确。

18误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系

错因分析：在使用导数求函数极值时，很容易出现的错误是求

出使导函数等于0的点，而没有对这些点左右两侧导函数的符

号进行判断，误以为使导函数等于0的点就是函数的极值点。

出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在

一点处的导函数值为0只是这个函数在此点取到极值的必要条

件。

【问题】:函数/(x)=x3+ax2+法+/在X=1处有极值10,求凡。的值。

错解：由/⑴=10,广⑴=0解得Q=4]=—11或Q=—3/=3

剖析：对“导数为0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把/（X。）

为极值的必要条件当作充要条件。

19对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻

错因分析：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这

个函数的导函数在此区间上恒大（小）于等于0,且导函数在此

区间的任意子区间上都不恒为0o切记导函数在某区间上恒大

（小）于0仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。

【问题】：若函数=在R上为减函数，求实数。的取值范

围。

错解：由尸（幻=3汗-1<0在H上恒成立，「.<，解得a<0

A=12<7<0

剖析：概念模糊，错把了（幻在某个区间上是单调增（减）函数的

充分条件当成充要条件。事实上4=。时满足题意。

20对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚

错因分析：解答此类题的关键是抓住①导函数的零点与原函数

的极值点关系一一极值点的导数值为0；②导函数值的符号与

原函数单调性的关系一一原函数看增减，导函数看正负。

【问题】：已知函数广（x）的导函数广,（x）的图象如图所示，则

y=广（x）的图象最有可能的是.

错解：选A,B,。

剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于r(0)=八2)=0,且

两边值符号相反，故0和2为极值点；又因为当x<0和x>2时，

r(x)>0,当0<x<2时，r(x)<0,所以函数/(x)在(-00,0)和(2,+8)上为

增函数，在(0,2)上为减函数。

三、数列

21由s,求％时忽略对“〃=1”检验

错因分析：在数列问题中，数列的通项可与其前n项和S"之间

关系如下％」号(〃=D,在使用这个关系式时，要牢牢记

住其分段的特点。当题中给出数列｛%｝的%与S.关系时，先令

〃=1求出首项％,然后令"22求出通项a“=S“-S„_j,最后代入验证。

解答此类题常见错误为直接令北2求出通项也不对

〃=1进行检验。

【问题】：已知数列｛%｝的前n项和S“="2_〃+1,求a“。

错解：由4,-S“T解得见=2〃-2

剖析：考虑不全面，错误原因是忽略了4=5-5,1成立的条件112

2,实际上当n二1时就出现了So,而S。是无意义的，所以使用

。，尸s「s,i求乙，只能表示第二项以后的各项，而第一项能否用这

个氏表示，尚需检验。

22忽视两个“中项”的区别

错因分析：如果成等差数列，则b为a和c的等差中项；若3c

成等比数列，则。为〃和c的等比中项。由定义可知，任意两数都

有等差中项，且只有一个，"4=a+c”是“。为a和c的等差中项”

的充要条件；而只有同号的两数才有等比中项，且为一对互为

相反数，"b2=ac”仅是‘％为a和c的等比中项”的必要不充分条

件，在解题时务必要注意此点。

【问题］：b?=ac是a,b,c成等比数列的（）

A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充

分有不必要条件

错解：C

剖析：思维不缜密，没有注意到当b2=ac时，区帆可能为0。

23等比数列求和时忽视对讨论

错因分析：与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比

数列的每一项包括公比均不为0,等比数列的其前n项和s“为分

段函数，其中当q=l时，S,=叼。而这一点正是我们解题中被忽

略的。

【问题】：在等比数列｛4｝中，S.为其前n项和，且邑=34，求

它的公比Qo

错解：•.@="3=34,解得

剖析：知识残缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比q是

否等于1进行讨论，导致失误。

24用错了等差、等比数列的相关公式与性质

错因分析：等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略）,

这些公式和性质是解题的根本，用错了公式和性质，自然就失

去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就是考虑问题要全

面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为

不正确的命题举出反例予以说明。

【问题］：已知等差数列｛%｝的前m项和为30,前2m项和为

100,求它的前3m项和S3,,,。

错解一：170

剖析：基础不实，记错性质，误以为鼠,%S3,,成等差数列。

错解二：130

剖析：基础不实,误以为鼠,S2m,S3m满足S3m=Sm+S2,„o

25用错位相减法求和时项数处理不当

错因分析：如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应

项积所得到的，那么该数列可用错位相减法求和。基本方法是

设这个和式为Sn,在这个和式的两端同时乘以等比数列的公比

得到另一个和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，

该式分三部分①原来数列的第一项；②一个等比数列的前n-l

项和；③原来数列的第n项乘以公比的相反数。在用错位相减

法求和时务必要处理好这三个部分，特别是等比数列的项数，

有时含原来数列的第一项共〃项，有时只有〃-1项。另外，如果

公比为字母需分类讨论。

【问题】：求和5“=1+3。+5/+...+（2〃-1）"1o

剖析：①考虑不全面，未对〃进行讨论，丢掉°=1时的情形。

②将两个和式错位相减后，成等比数列的项数弄错。

③将两个和式错位相减后，丢掉最后一项。

26数列中的最值错误

错因分析：数列的通项公式与前n项和公式都是关于正整数n

的函数，要善于用函数的观点认识和理解数列问题。但是考生

很容易忽视n为正整数的特点，有时即使考虑了n为正整数，

但对于n为何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数n的

二次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴

远近而定。

【问题】:在等差数列（«„｝中，4=25,S9=S16,求此数列的前

几项和最大。

剖析:①解题不细心，在用等差数列前n和求解时，解得n=12.5,

误认为n=12.50

②考虑不全面，在用等差数列性质求解得出演二0时，误认为只

有L最大。

四、三角函数

27用平方关系求解时忽略角的范围

错因分析：三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是之

-O解题时，务必重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，

精确确定未知角的范围，并进行定号”。

【问题】：在AABC中，sinA=9,COSJB二』，求cosA,sinB的值。

513

错解：cosA=+-,sinB=±—

513

剖析：基础不实，忽视开方时符号的选取。

28由值求角时忽视讨论角的范围

错因分析：三角函数求值题分由角求值、由值求值和由值求角

三类，其中最容易出错的是第三类。由值求角步骤为①合理求

出该角的一个三角函数值，②分析该角的范围，③确定角的大

小。解题时务必深入挖掘题中隐含的条件，缩小角的范围，合理

进行取舍。

【问题]：已知A、B为锐角，tanA=-,tan2B=-,求A+2B的值。

74

错解：...tan(A+2B)JanA+tan2B=],又由于A、B为锐角，，

1一tanAtan23

A+2B=—o

44

剖析：知识残缺，只注意到A、8为锐角，没有兼顾到A、B的三

角函数值的大小。实际上，由于12*二1,121128=巨，，4和28都

74

为锐角，0<A+2B〈乃,而在这个范围内，A+2B的值只有一个了。

29三角公式选用不当

错因分析：三角函数公式多，综合性强，解题有一定的技巧，同

学们解题时，经常因为审题不细、分类不清、方法不当、忽略隐

含条件、公式用错等原因而致错。

【问题】：在AABC■中，A、8为锐角，且sinA=4,sin8=^^,求A+B

的值。

错解:先求出sin（A+B）=也，:A+BG（O,乃），A+B=-^—

244

剖析：知识残缺，由于43为锐角，所以A+5e（0,兀）。又由于正

弦函数在（0,万）上不是单调函数，所以本题不宜求sin（A+5）,

宜改求cos（A+C）或tan（A+B）o

30求关于sinx,cosx最值时忽视正、余弦函数值域

错因分析：求关于sinx,cosx最值的常规方法是通过令r=sinx（或

COSX）将三角函数的最值问题转化为关于f的二次函数问题求解。

但由于正、余弦函数值域限制，「只能在某一特定范围内取值，

解题时务必要注意此点。

【问题]：已知sinx+siny=；,求siny-cos?x的最大值。

错解：令t=sinx9得$1"-<：0$2尤=/一/+"|（一14/41）,通过配方、作图

解得siny-cos?》的最大值为y

剖析：本题虽注意到sinx的值域，但未考虑到sinx与siny相互制

约，即由于TWsinyWl,

-l<sinx<l

/•sinx必须同时满足1O

-1<——sinx<1

[3

31三角函数单调性判断错误

错因分析：对于函数y=Asin（s+『）来说，当3>0时，由于内层函

数〃是单调递增的，所以函数丫=Asin3：+9）的单调性与函

数丁=$二的单调性相同，故可完全按照函数y=sinx的单调性来解

决;但当。<0时，内层函数“是单调递减的，所以函数

y=4sin@r+9）的单调性与函数y=sinx的单调性正好相反，就不能

按照函数丁=$心的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将

X的系数化为正数加以解决，对于带有绝对值的三角函数宜根据

图象从直观上加以解决。

【问题】：已知函数尸cos（工-2x）,求它的单调减区间。

4

错解：2攵乃W工-2xW2ATT+%

4

剖析：概念混淆，错因在于把复合函数的单调性与基本函数的

单调性概念相混淆。

32图象变换的方向把握不准

错因分析：函数y=Asin（ffif¥+0（A>0,<y>0）的图象，可由下面的

方法得到①将正弦曲线上所有点向左或向右平行移动个单

位（正左负右）；②再把所得曲线上各点横坐标变为原来的,倍;

CD

③最后把所得曲线上各点纵坐标变为原来的A倍。即先作相位

变换，再作周期变换，最后作振幅变换。

【问题］：要得到函数y=sinx的图象，只需将函数y=cos（x\）的

图象（）

A向右平移N个单位B向右平移N个单位C向左平移四个单位

633

D向左平移N个单位

6

错解一：C

剖析：知识残缺，未将函数化成同名函数。

错解二：D

剖析：基础不牢，弄错了平移方向。

33由图象求函数解析式忽略细节

错因分析：由二角函数图象求y=4sin（<ar+『）（A>0,（w>0）的解析

式主要分三个步骤：①由函数的最大（小）值求振幅A；②由函

数的周期求③由曲线上的一个特殊点的坐标求初相夕或用图

象变换求夕。一般来说，振幅A和。的值是唯一确定的，。的值

是不唯一的，但在指定的范围内往往只有一个，在求夕时一定要

注意选点的合理性。

【问题工如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似

满足函数y=Asin（«yx+^?）+B（A>0,<y>0）.

（1）求这段时间的最大温差.

⑵写出这段曲线的函数解析式。

剖析：解此类题前两步一般不会错。但在求夕时，多数学生由于

点的位置取得不当，致使求得的。值不好取舍。

34用正、余弦定理解题的几个盲点

错因分析：正、余弦定理及其应用题综合性强，有些题常有不同

的解法，但解法与解法之间又存在着微妙的差别，有时还因为

忽视三角形这一隐含条件致使问题出错。

【问题】1:在AABC中,已知b=3,C=3后,B=30°,求A及a。

错解：用正弦定理求得sinC=在，，C=60°,，A=90°,a=6

2

剖析：基础不牢，错因在于求得sinC;省后，忽视隐含条件c

2

三b,错误地认为C=60°o

【问题】2：在AWC•中，C=3B,求£的取值范围。

b

错解：由正弦定理得£=4cos2B-1,...0<£W3

bb

剖析：知识残缺，忽视了三角形内角和定理及隐含的A、B、C

均大于0这一条件，从而致错。

【问题】3：△ABC的内角AB,C的对边分别为a,kc,若

c=>/2,b=娓,5=120」，求。的值。

错解：由力2=/+。2+2历（\）58解得

剖析：记忆错误，错将余弦定理记为/=/+/+现cosB,有时还

会记成/=/+/-8ccosB或k="+（?-乃。等等。

五、平面向量

35概念模糊

错因分析：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、

平行向量、共线向量、相等向量、相反向量、向量的加法、减法、

数乘、数量积、向量的模、夹角等等。在复习时不仅要理解这些

概念，而且还要掌握向量与实数、向量运算与实数运算异同点。

【问题】：下列五个命题：

向量职与砺共线，则Pl、P2、0、A必在同一条直线上；

如果向量£与了平行，贝与了方向相同或相反；

四边形PR0A是平行四边形的充要条件是次二砺；

若I1I=I1I,则1％的长度相等且方向相同或相反；

由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行。

其中正确的命题的序号为0

错解一：选①

剖析：向量而与丽共线，与则直线PR与直线0A可能重合。

错解二：选②

剖析：若展为零向量，则命题不正确。

错解三：选④

剖析：=只能说明入了的长度相等但确定不了方

向。

错解四：选⑤

剖析：零向量与任何向量平行

36忽视零向量

错因分析：零向量是向量中最为特殊的向量，其长度为0,方向

是任意的，零向量与任何向量共线，它在向量中的位置正如实

数中的零的位置一样。正因为如此，有时又容易引起一些混淆，

考生应给予足够的重视。

【问题］：在几何中，直线的平行关系具有传递性，那么在向量

中是否仍然有“如果Z〃兀且石〃入贝丘〃呢？

错解：向量平行具有传递性

剖析：概念模糊，当1=6时命题不正确。

37忽视平面向量基本定理的成立条件

错因分析：如果13是同一平面内的两个不共线向量，那么对

该平面内的任一向量心有且只有一对实数入I,入2,使频入工+

入2鼠在平面向量知识体系中，基本定理是基石，共线向量定理

是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定

理的作用和成立条件。

【问题】：下列各组向量中，可以作为基底的是

①Z二(0,0),b=(1,-2)；②々=(-1,2),b=(5,7)；

③Z二(3,5),b=(6,10)；@a=(2,-3),b=(4,-6)；

错解：选①或③或④

剖析：概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才

可以作为平面内的基底。

38忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别

错因分析：向量的数量积入1=•b|COS<a,b>,其主要性质

2__一一

有①；②->“石=0；③cos<4,3>=音•④<>为锐角

硼

=4石>0且不同向；<3石〉为钝角04石<0且久^不反向,

£石<0是<£出>为钝角的必要非充分条件。向量的数量积与实数

的乘法在运算上有相似之处，但有着本质的区别，解题时不能

想当然套用实数的法则和性质，否则会出错。

【问题】：设，入2为平面向量，则下列命题正确的个数为

①若入i=o,且i5,则1=6；

②若a・b—a•c,贝(]Z;c；

③若|々+1|2二|々|2+|1|2+2入£

④(a•b)•c=a*(6*c)

错解一：选①

剖析：基础不实，力反=当标=0。

错解二：选②

剖析：知识残缺，向量的数量积不满足“消去律”。

错解三：选④

剖析：知识残缺，向量的数量积不满足“结合律”.

39向量的坐标运算不准确

错因分析：在坐标形式下，如果K(xi,y)%二(X2,y2),则

a±b^(xi±x2,yi±y2)；入£=(入xi,xYi);«•b=xix2+yiy2：；

a//b^xiy2-x2y1=0；a_L<=>*因+丫1丫2=0(£、)。这部分内容与

原来所学的实数的运算有所不同，不少同学因为概念理解不透,

公式记忆不牢，经常出现解题错误。

【问题］：已知点Pl、P2的坐标分别为(2,-2),(4,3),向量

«=(2k-l,2),且£〃强，求k的值。

=

错解一：P\P2(-2,-5),-5(2左-1)=~4,解得女=，

剖析：识记不好，将向量晒的坐标求错，应该是终点坐标减去

起点坐标。

错解二：蔗:(2,5),Z〃福，A2(2k-l)+10=0,解得k二-

2

剖析：公式记错，错将公式力〃=为必一%2%=°记为用W+X%=0。

六、不等式

40不等式性质应用不当

错因分析：不等式基本性质是不等式的基础，有些性质是条件

不等式，在使用这些性质解题时，务必要检验成立条件，不能想

当然套用，忽视了就会出错。

【问题］：已知求函二-夕的取值范围。

42

错解：・「Ovav",一王〈6〈卫,二•0一(一马<二一,<乃一工,.#•a-/3e.

4242

剖析：套用错误，不等式具有同向相加性质，但两边不能分别相

减。

41忽视等号同时成立的条件，扩大了范围

错因分析：在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能

有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类

错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相

同；②尽可能多的使用等式。

【问题】：已知函数/(幻=加+云，J.l</(-l)<2,2</(1)<4,求/(-2)

的取值范围。

错解：先由14/(-1)42,24/(1)44求出a,b的范围，再用不等式

性质求出了(-2)的范围为［5,10］。

剖析：知识残缺，多次使用同向相加性质，从而扩大了取值范围。

42去分母时没有判断分母的符号

错因分析：解分式不等式的依据是分式的基本性质a>b,c>O=a

c>bc；a>b,c<O=>ac<bco解分式不等式基本思想是通过

去分母将分式不等式转化为整式不等式，但在去分母之前必须

对分母的符号进行判断，必要时要对分母进行讨论。

【问题】：解不等式三日>0

x-1

错解：*.*-——X2-x-6>0,解得{x[x<-2,^tx>3}

剖析：基础不实，没有考虑分母x-1的符号，直接去分母，应对

X-1进行分类讨论，或用数轴标根法求解。

43解含参数不等式时分类讨论不当

错因分析：含参数不等式的解法是不等式问题的难点。解此类

不等式时一定要注意对字母分类讨论，讨论时要做到不重不漏,

分类解决后，要对各个部分的结论按照参数由小到大进行整合。

【问题】：解关于X的不等式|2x-l|Wa-2

错解一：原不等式等价于-(a-2)W2x-"a-2,解得一四+久出色」

2222

剖析：基础不实，直接利用绝对值不等式的解集公式，而忽视对

a-2进行分类讨论。

错解二：当a-2<0时，原不等式不成立。

当a-2>0时，原不等式等价于-(a-2)<2x-\<a-2,解得

，+—二」

2222

剖析：技能不熟，没有对a-2=0进行讨论。

44忽视均值不等式应用条件

错因分析：均值不等式a+0(a>0,8〉0)取等号的条件是

“一正，二定，三相等”。

在解题过程中，务必要先检验取等号的三个条件是否成立。常

规的解法是①如果积或和不是定值，设法构造“定值”；②若是

a〉0S>0不能保证，可构造“正数”或利用导数求解；③若是等

号不能成立，可根据“对勾函数”图象，利用单调性求解。

【问题】1：若x<0,求函数f(x)=x+2的最值。

X

错解：当*=&时，f(x)取得最小值2〃

剖析：基础不实，基本不等式a+Z?22J茄成立条件为a>0,>>0,

本题中x〈0,不能直接使用公式。

【问题】：设。<x<7t求函数/(x)=sinx+-的最小值。

sinx

错解：/(x)=sinx+—^―>2.sinx>=4

sinxvsinx

剖析：知识残缺，因为上述解法取等号条件是sinx=」-,sinx=±2,

sinx

而这是不可能的。

【问题】3：设a〉o,》〉o,且&+。=1,求函数f(x)=2+3的最小值。

错解:—+b)(2+2)22病弘区=4#,.,.函数f(x)的最

ababVab

小值为476o

剖析：技能不熟，上述解法似乎很巧妙，但两次使用均值不等式

时取等号的条件不一样，因此取不到46。

45平面区域不明

错因分析：一条直线/：Ax+By+C=0(AB不全为零)把平面分成两个半

平面，在每个半平面内的点(X,y)使Ac+By+C值的符号一致。

鉴于此，作不等式对应的平面区域方法是画线定界，取点定域，

若含等号画实线，否则画虚线。

【问题】：(x-2y+l)(x+y-3)<0表不的平面区域是()

错解一：选A计算错误

错解二：选B思维不缜密

错解三：选D审题粗心，未注意到不含等号。

46求目标函数最值时忽视），的系数8的符号

错因分析：解线性规划问题的基本方法是图解法。当B>0时，

动直线/：瓜+的=/在y轴上的截距越大，目标函数z=Ax+6y值越

大，截距越小，目标函数值越小；反之，当B<0时，动直线

/：加+8），='在y轴上截距越大，目标函数2=4+为值越小，截距

越小，目标函数值越大。其中y的系数8的符号是解题的关键,

也是同学们经常忽略的地方。

【问题】：若变量满足约束条件<x+y20,求目标函数z=%-2）,

冗->-2<0,

的最大值。

错解：先作可行域，在平移直线/：x-2y=「得最优解（-1,1）,所

以Z。1ax=-3

剖析：识记错误，当y的系数小于0时，使得直线/在y轴上截

距最大的可行解，是目标函数取得最小值的最优解。

七、立体几何

47不会将三视图还原为几何体

错因分析：在由三视图还原空间几何体时，要根据三个视图综

合考虑，根据三视图的规则，可见轮廓线n

在三视图中为实线，不可见轮廓线为实

线。在还原几何体形状时，一般是以正视n

图和俯视图为主，结合侧视图进行综合焉4

考虑。

【问题］：若某空间几何体的三视图如图所示，

求该几何体的体积。

错解：如图该几何体是底面为边长近正方形，高为1

的棱柱，，该几何体的体积为V=(0)2xl=2

剖析：识图能力欠缺，由三视图还原几何体时出错。

48对斜二测法规则掌握不牢

错因分析：由斜二测法画直观图步骤如下：①建立坐标系；②

“位置规则”一一与坐标轴的平行的线段平行关系不变；③“长

度规则”一一图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持长度

不变，平行于y轴的线段，长度减为原来的一半。对此考生常

见的错误有①不会建新坐标系X，办，，②不会用“倒过去”的方法

还原几何体，③“位置规则”和“长度规则”不清楚。

【问题］：已知AABC的平面直观图△ABC是边长为。的正三角形,

求A4BC的面积。

剖析：①对用斜二测法画平面图形的直观图不熟悉；

②不会将直观图还原成实际图形；

③对一些等量关系不清楚。

49空间几何体面积、体积计算错误

错因分析：计算空间几何体体积要注意①分析清楚空间几何体

的结构，弄清该几何体的各个部分的结构特点；②进行合理的

转化和一些必要的等积变换；③正确选用体积计算公式。

【问题】1：一空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的体

积。

错解：2万+2百

剖析：空间想象能力欠缺，计算错误。该

空间

几何体为一圆柱和一四棱锥组成的，圆柱

的底

面半径为1,高为2,体积为2%,四棱锥

的底

面边长为拉，高为百，所以体积为

所以该几何体的体积为2万+半.

【问题】2：右图是一个几何体的三视图，

根据图中数据，计算该几何体的表面积。

的视图正（主）«图便㈤视图

错解：11万

剖析：题意理解不清楚，①由三视图还原几何体不准确；②计算

表面积是只考虑圆柱的下底面，忽略了上底面。

50平面公理运用不准确

错因分析：平面公理包括公理1：如果一条直线上的两点在一个

平面内，那么这条直线在这个平面内；公理2：过不在一条直线

上的三点，有且只有一个平面；公理3：如果两个不重合的平面

有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。其

中，公理1是确定一条直线是否在某个平面内的依据；公理2是

证明点线共面的依据；公理3是确定两个平面交线的依据，是

证明点共线、线共点的依据。

【问题】：三个平面两两相交得到三条交线，若其中两条直线相

交于一点，求证第三条也经过此点。

剖析：①应用定理时条件不全，推理不严密；

②不清楚要证明点在直线上，需先证明点在平面内；

③不会用数学的语言进行翻译。

51空间点、线、面位置关系不清

错因分析：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空

间点、线、面位置关系判断和性质掌握程度的重要题型。解决这

类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找反例作出否定的判断,

逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或实

际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应

用准确，考虑问题全面细致。

【问题】：给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个

平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂

直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直

线与另一个平面也不垂直.

其中，为真命题的是

A.①和②B.②和③C.③和④D.②和④

错解：A

剖析：①空间想象能力欠缺，不会借助身边的几何体作出判断；

②空间线面关系模糊，定理不熟悉或定理用错。

52平行关系定理使用不当

错因分析：证明空间平行关系的基本思想是转化和化归。如在

证明线面平行时，可先把其中一一条直线视为某平面内的直线,

然后再利用线面平行的性质定理和判定定理证明这两个平面平

行，最后利用面面平行的性质说明线面平行。使用定理时要注

意找足条件，书写规范，推理严谨。

【问题】：如图，已知AB、CD是夹在两平行平

面a、B之间的线段，M、N分别为AB、

中点，求证：MN〃平面a

剖析：①根据一个平面内两条直线平行与另

一个平面，

就断定这两个平面平行，忽视了两条直线相交的条件；

②把立体几何图形误认为平面图形，直接应用平面几

何的性质和定理而造成错误。

53垂直关系定理使用不当

错因分析：证明空间垂直关系的基本思想是转化和化归。如在

证明线线垂直时，可先把其中一条直线视为某平面内的直线，

然后再利用线面垂直的性质定理和判定定理证明另一条直线垂

直于这个平面，进而达到证明线线垂直的目的。

【问题］：已知三棱锥P—ABC中，PA1ABC,AB±AC,PA=AC二%

AB,N为AB上一点，AB=4AN,M、S分别为PB、BC的中点。

①证明：CM1SN；鼠

②求SN与平面CMN所成角的大小.J\\

剖析:①在利用线面垂直的判定定理证明两个

平面互相垂直时,

只证明了该直线垂直于这个平面内的两条直线，没有说明这两

条直线是否相交，不符合定理的条件；②在求线面角时，没有

说明找角的过程。

54利用空间向量求线面角几种常见错误

错因分析：若直线与平面所成的角为。，直线的方向向量为相

平面的法向量为力，则sino=|cos“，«>|o容易出错的是①误以

为直线的方向向量与平面的法向量所成角就是线面角；②误以

为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的

正弦，而忘了加绝对值；③不清楚线面角的范围。

【问题】：如图，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面

内，M,N分别为AB,DF的中点。

①若平面ABCD，平面DCEF,求直线MN与平\

面DCEF所成角的大小；

②用反证法证明：直线ME与BN是两条异面伫戈丁

CE

直线。

剖析：本题在求得平面DCEF的一个法向量次二（0,0,2）及

--►/\lr/n/_►__MN-DAR

用"二（一1,1,2）后，可得cos（MN,方）二赢话丁一亍・

可能出现的错误有：

误以为直线MN与平面DCEF所成角为arccos"；

误以为直线MN与平面DCEF所成角为Ji-arccos^;

计误以为直线MN与平面DCEF所成角为arcsin（-乎）。

55二面角概念模糊

错因分析：若两个平面的法向量分别为人I,若两个平面所成

的锐二面角为6,则cosO=kos<£,叫；若两个平面所成二面角为钝

角，则cos6=Tcos<£,B>］。总之，在解此类题时，应先求出两个平

面的法向量及其夹角，然后视二面角的大小而定。

【问题】：如图，四棱锥S-A8CD中，底面

为矩形，SD_L底面A8C0,AD=^,DC=SD=

在侧棱SC上，ZABM=60o

①证明："是侧棱SC的中点;

②求二面角的大小。

剖析：本题在求得平面SAM、的法向量£=（痣，1,1）,1=（3,

0,2）后，然后计算出COS<ZB>¥；接着可能错误地以为二面

角S-AM-6为arccos当，其实本题中的二面角是钝角，<痴>仅为

其补角，所以二面角的大小为乃-arccos?。

56利用空间向量证明位置关系几种常见错误

错因分析：利用空间向量证明线面位置关系基本步骤为①建立

空间坐标系，写出相关点的坐标；②用向量表示相应的直线；③

进行向量运算；④将运算结果转化为相应的位置关系。解此类

问题常见错误有①不会将空间问题转化为向量问题；②不会建

系，不会用向量表示直线，③计算错误，④使用定理出错，⑤书

写不规范。

【问题】：如图，正方形ABC。所在平面与平

fc

面四边形所在平面互相垂直，△是

等腰直角三角形，AB=AE,FA=FE,ZAEF=450\\

①求证：；

②设线段CO、AE的中点分别为P、M,

求证：〃平面6CE

剖析：本题可能出错的情形有两点：

①不会转化，不会建系，运算出错，书写不规范。

②基础不牢，如①中，在证明方.赤=0+，,=0后，直接得出

22

EF上平面BCE,不符合线面垂直条件。

八、解析几何

57倾斜角与斜率关系不明

错因分析：倾斜角和斜率分别从不同角度反映了直线的倾斜程

度，但二者也有区别，任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜

率。求直线斜率两种方法①在已知直线上找两点，再代公式k二

必一，（XHX2）;②确定直线的倾斜角a,再代公式k二tana。

x2-x]

解此类题常见错误有①弄错直线倾斜角的范围；②当直线与X

轴平行或重合时，误认为倾斜角为0°或180°；③不了解倾斜角

与斜率关系。

【问题】：下列命题正确的为o

①任何一条直线都有倾斜角，都有斜率；

②直线的倾斜角越大，它的斜率就越大；

③平行于X轴的直线，倾斜角为0°或180°；

④平行于y轴的直线，斜率不存在，所以倾斜角不存在；

剖析：知识残缺，概念模糊。

58判断两直线位置关系时忽视斜率不存在

错因分析：在解几中，判断平面内两直线的位置关系的方法有

两种：

若直线八：卜=中+伪，12：y=k2x+h2,则有

11与/2相父<=>女产&;11///2ok、=h,且b1Wb?；/1J_/2<=>

k、•&=—1

②若直线4：2+町=£,12-.A2X+B2y=c2,则有

/1与/2/目交oAR—儿旦HO;/i〃/2=°；/1J./2O

C,i52—。2月。0

44+4避=。

两种方法各有优缺点，方法①简便易行，但仅适用于斜率存在

的直线，方法②适用于任意的直线，但运算量较大。考生经常出

错的是：用方法①但忽视对斜率的讨论。

【问题】：已知直线/i：ax+2y+6=0和A：x+(a-1)y+a-

1=0,

试判断人与人是否平行；②当八，/2时，求a的值。

剖析：本题中的直线为一般式，宜用②中的等价关系求解，如果

用①中的等价关系求解，一定要考虑斜率不存在的情况。

59平行线间的距离公式使用不当

错因分析：两条平行线之间的距离是指其中一条直线上的任意

一点到另一条直线的距离。若直线八：Ax+By+OO和5A

x+By+C2=0(GWC2),则直线人与上的距离为公叵且。常见的错

^A2+B2

误是忽视判断两直线中X、y系数是否相等。

【问题】:求两条平行线八：3x+4y+6=0和A：6x+8y-4=0=0间的

距离。

错解：八尸-