高中数学基础知识回顾：三角函数-教师版

(fn高考数学基础知识回顾：三角

基础知识

一、任意角与弧度制

★1、任意角：正角：按逆时针方向旋转所成的角；负角：按顺时针方向旋转所成的角。

★2、角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第儿象

限角.

JTTT

第一象限角：km左4+—，keZ第二象限角：氏万+—，k冗+冗,kwZ

22

37r37r

第三象限角：kr+»，k冗+——，keZ第四象限角：攵"+—,k兀+2兀，keZ

22

终边在x轴上的角：\a\a=k7U,ZwZ｝终边在y轴上的角：,aa=k*gkeZ

终边在坐标轴上的角的集合为弓，k&z\

★3、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度，弧度制与角度制的换算公式：2〃=360,

57.3°.

★4、若扇形的圆心角为0(a为弧度制)，半径为r,弧长为/,周长为C,面积为S,则/="4,

C-2r+l,S=—lr=—|<z|r~.

2211

二、任意角的三角比

★1、设a是一个任意大小的角，。的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与

原点的距离是r^r=ylx2+y2>oj,则sin,cosa--,

y,、

tana=—(xwO).

★2、三角函数线：sina=MP,cosa=OM,tana-AT.

三、三角公式

★1、同角三角比：(l)sin2a+cos2a=l(sin2a=1—cos?a,cos2a=1—sin?a)；

/八sina(.sina、

(2)------=tanasina=tancrcosa,cosa=-------.

cosa\tanaJ

★2、诱导公式：(l)sin(2Z〃+a)=sina，cos(2kjv+a)=cosa,tan(2k/r+or)=tancr(Z:eZ).

(2)sin(»+a)=-sina,cos(〃+a)=-cosa,tan(〃+a)=tana.

(3)sin(-cr)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana・

(4)sin(»-a)=sina,cos^/r-a)=-cosa,tan(〃-a)=-tana.

(6)sin^—+6ZJ=coscif,cos—+aj=-sina.

口诀：函数名称不变，符号看象限.

★3、两角和差：(1)cos(a±p)=cosacos/?q=sinasin/?(2)

sin(a土分)=sinacos/?±cosasin/?

⑶tan(a±£)-a±tan£

1干tanatanp

★4、二倍角和升降幕：(1)sin勿=2sinacos。.

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

/ocos2a+1.21-cos2a、

(cos"a=------------,sina=------------).

22

(3)tan2a=------；—

l-tarra

★★5、辅助角公式：asinx+Z?cosx=+〃sin(x+0),其中sin^=-j===

cos°=

四、解斜三角形

★1、正弦定理：在AABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，R为AABC的外接圆的

半径，则有‘^=-^-=-^=2R.

sinAsinBsinC

★★2、正弦定理的变形公式：①。=2RsinA,Z?=2RsinB,c=2RsinC；

人•Aa.b.八c

②smA=——，sinB=——,sinC=——；

2R2R2R

③a:b:c=sinA:sinB:sinC；

④a+8+c_a_b_c

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

★★3、三角形面积公式：S=—hcsinA=—ahsinC=—^csinB.

△AAABRCr222

★★4、余弦定理：在AABC中，有片=〃+/一2人ccosA,b2=a2+c2-2accosB,

c2=tz2+Z?2-2abcosC.

—―用田旬、人Ab-a-0+c-b-厂a'+/7-c~

★★5、余弦定理的推论：cosA=--------------，cosB=--------------，cosC=---------------

2bclac2ab

［一乃+2攵乃,2%）］递增，在［2攵4，"+2%万］递减;

★3、正切函数：奇函数，定义域为vxxw女）+',攵wZ卜值域为H,周

期为万，在（一］+%乃,］+^^递增;

★★4、函数y=Asin（3f+°）（A>0,。>0）：①振幅：A：②周期：T=&；③频率：/=■!"=乌:

coT2乃

④相位：④x+0；⑤初相：（p.函数y=Asin（〃zr+0）+B,当冗二不时，取得最小值为九面；

11T

当X=%时，取得最大值为X“ax，则A=5（%ax-），B=］（%1ax+Znin），万=W-X（西<工2）•

★★5、函数y=sinx到到函数〉=Asin（a）x+°）的图象：①向左（右）平移闸个单位，再将图

象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的,倍（纵坐标不变），再将所有点的纵坐标伸长（缩短）

到原来的A倍（横坐标不变）.②将所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的,倍（纵坐标不变），再

将图象上所有点向左（右）平移夙个单位长度，再将图象上所有点的纵坐标

V=arcsmx\-aiccosx

伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变）.

六、反三角函数及最简三角方程

★★1、y=arcsinx：奇函数，增函数，定义域为［-1,1］,值域为一H；

★★2、y=arccosv：非奇非偶函数，减函数，定义域为［-1,1］,值域；［0,万］r.

★★3、y=arctanx：奇函数，增函数，定义域R,值域（一l，］）__一~

★★4、最简三角方程：①sinx=a（|a［<1）,解集为{］卜=左乃+（—1）"arcsina#ez}

②cosx=a刎＜1),解集为｛巾=2攵乃士arccosa,keZ｝

③tanx=a,解集为｛x|

包题型与方法

一'三角及三角函数有关概念

对角度制与弧度制、三角比以及三角函数的基本定义和公式，主要利用公式代入即可。

【例1】如果一个扇形的圆心角为120°,半径等于10。〃，则扇形的面积为cm2

【难度】★

【答案】—

3

/、4

【例2】已知角a的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（，m-3）,且cosa=-g,则的

值为_______

【难度】★

【答案】-4

【例3】函数>=则+竿+皿［的值域是_________

sinx|cosx|tanx

【难度】★

【答案】{-1,3}

【例4】函数y=Vsinx-cosx的定义域为

【难度】★★

7T、冗

【答案】sx2k兀4—4xW2左万H----，kwZ?

44

【巩固训练】

1.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长，设该圆的半径为R,则其圆心角所对圆弧长为一

【难度】★

【答案】百R

2.若角a的终边经过点P（l,—2）,则tan2a的值为

【难度】★

4

【答案】-

3

3.点P(sina-costMana)在第一象限，则在［0,2柯内，。的取值范围是

【难度】★★

【答案】【抬)U卜引

4.函数y=A/4-X2+lg(2sinx-l)的定义域为

【难度】★★

【答案】停2

二'三角恒等变换

在进行三角恒等化简的题型中，常用的方法有：切弦互化、变角、变名、“1”的代入、整体代

换等。

【例5】已知sin6="0,cos6='也，0e\-,万］,则〃？的取值集合为_____

m+5m+512)

【难度】★

【答案】{8}

714

【例6】已知a£（—,0）,且cosa=—,则tan2a二

25

【难度】★

【答案】一2兰4

7

-1心•小\.『3、esina-4cosa

【例7】已知sin（37r+a）=2sm—»+a,则----------------

（2）5sina+2cosa

【难度】★

【答案】—

6

【例8】如果tana,tan"是方程V—3x—3=0的两根，则玛巴£=

COS(a_0

【难度】★

【答案】一］3

2

【巩固训练】

1.己知sin8=Z-l,cos6=4—3攵，且。是第二象限角，则上应满足的条件是％=

【难度】★

Q

【答案】-

5

on

2.若sin6=3且sin28<0,则tan£=

52---------

【难度】★

【答案】3

3.若35皿。+（：05。=0,则————------的值为_______

cosa+sin2a

【难度】★

【答案】—

3

4.已知a,L且tana,tan"是方程/+3氐+4=0的两个根，求a+"的值

【难度】★

【答案】—*2万

3

三、三角函数图像及性质

理解三角函数的图像的：单调性、奇偶性、周期性、最值以及对称轴、对称点和图像变换。

【例9】如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数”水深加

2

18x时间小

y=3sin[?x+e+k,据此函数可知，这段时间水深（单位:m）的最大值为

【难度】★

【答案】8

【例10］若将函数/（x）=sin（2x+/J的图像向右平移。个单位，所得图像关于y轴对称，则。的

最小正值是

【难度】★★

3

【答案】-71

8

【例II】函数y=cos（2x+°X—%＜。＜乃）的图像向右平移个单位长度后与函数

y=sin（2x+q）的图像重合，则冏=一

【难度】★★

【答案】-n

6

【例12】函数丫=以#］尤+1的单调递增区间是

【难度】★

TT

【答案】kK,-+k7r,kwZ

2

【巩固训练】

1.已知函数/（x）=sin（aw+?）xeR,@＞0）的最小正周期为），为了得到函数8（》）=©0$西的

图像，只要将y=/（x）的图像向左平移个单位长度

【难度】★★

【答案】-

8

2.设。＞0,函数y=sin[5+(]+2的图像向右平移|■乃个单位后与原图像重合，则①的最小

值是_________

【难度】★★

3

【答案】-

2

3.已知函数y=$111(加+夕)(0＞0翻＜乃)的图像如图所示，则0=

【难度】★★

TT

【答案】-

6

4.已知。＞0,函数/(x)=sin[w+?J在万J上单调递减，则①的取值范围是

【难度】★★

【答案】一＜。＜—

24

四、三角函数的值域或最值

运用升降基公式、辅助角公式、同角三角比的关系将所求三角函数转化为形如

y=Asin(m+°)+8或是二次型、耐克函数型、几何意义等相关的类型来计算。

【例13]已知函数/(x^JEsin楙cos^-JEs/5,则函数/(x)在[—万,0]上的最小值是

【难度】★★

【答案】—1------

2

【例14】设当x=8时，函数/(x)=sin尤—2cosx取得最大值，贝Ucos6»=

【难度】★★

【答案】-竽

【例15】已知cosx+siny=；,设f=sin?x-siny,则实数，的取值范围是

【难度】★★

【巩固训练】

1.函数y=2sin2x-3cosx-1的值域为

【难度】★★

17-

【答案】一4,—

L8J

2.当-gwxwg时，函数/(x)=sinx+J5cosx的最大值与最小值的和为

【难度】★★

【答案】1

3.已知35抽%+25亩2/7=2S111«,则Susin?a+sin?£的最大值和最小值分别为

【难度】★★

4

【答案】-,0

9

五'解斜三角形

运用正余弦定理来进行边角的互换，注意解三角形中的多解的可能，注意讨论和检验。

【例16］在A4BC中，若sin?B+sin2c<sin?A,则AABC的形状是______三角形

【难度】★★

【答案】钝角

【例17】在413c中，若a=18,b=24,A=45°,则满足此条件的三角形有一个

【难度】★★

【答案】2

【例18］若ZVLBC的面积为10退，且AB=5,AC=8,则BC=

【难度】★★

【答案】7或J西

【巩固训练】

1.在A4BC中，若2coscsinA=sin3,则AABC的形状是三角形

【难度】★★

【答案】等腰

2.若满足条件=3C=60。的AABC有两个，则边长BC的取值范围是

【难度】★★

【答案】（石，2）

3.在AA3C中，3sinA+4cosB=6,3cosA+4sinB=l,则角C=

【难度】★★

TF

【答案】-

6

易错题型

【例1】集合＜xsinx=tanx,xe的子集个数为

【难度】★★

【答案】2

TT

【解析】通过三角函数线（如图），我们可以看出在0<x<一时,

2

JI冗

sinx<x<tanx,所以在---<x<,,y=5山］与y=tanx仅有唯一的交

点，也就是原点。

【易错点】对于函数丁=5加工与y=tanx,由于曲线的弯折，很多学生很认为它们会有三个交点,

但是如果精确来比较，交点仅有一个。

【变式训练】

1.“x>0”是“x>sinx”的条件

【难度】★★

【答案】充要

【例2】如果函数y=3cos（2x+,0中心对称，那么例的最小值为

【难度】★★

TT

【答案】-

6

【解析】因为函数y=3cos（2x+g）的图像关于点（与，。）中心对称，所以

2x?^+e=左万+1伏eZ）,所以9=%万一^^（女€z）,由此可得帆舄=：

【易错点】在讨论三角函数的对称性时，可以直接利用三角函数在对称轴取到最值，在对称中心取

到零点来进行计算，从而跳过利用函数的奇偶性来平移的方法，适当简化计算。

【变式训练】

1.若把函数y=2cosx+?+l的图像向右平移〃2（团>0）个单位长度，使点2,1为其对称中心,

则加的最小值是

【难度】★★

TT

【答案】-

6

【例3】若函数/(x)=sin2x+acos2x的图像关于直线光=-四对称，则。=

6

【难度】★★

【答案】一上

3

【解析】(取特殊值)取点(0,a)及其对称点(-(，代入原函数式可得到a=-理

【易错点】形如asinx+Z?cosx的函数结构和辅助角公式一样，但用辅助角公式计算较为麻烦，容

易出错。

【变式训练】

1.设函数/(x)=asinx-。cosx(。00)图像的一条对称轴方程为x,则直线ar-/?y+c=0的

倾斜角为

【难度】★★

【答案】—

4

【例4】已知AABC,(1+tan4)(1+tan8)=2,则角C的大小为

【难度】★★

37r

【答案】—

4

【解析】由和角的正切公式得tana+tan/?=tan(a+/?)(l—tanatan/?),由差角的正切公式得

tane-tan£=tan(«-/7X1+tan«tan^),通过观察其结构的改变即可求解。

【易错点】在所给方程的变形中，找到其与正切的和差角公式的关系。

【变式训练】

1.若a+/?=攵乃+工(AeZ),JU!|(1+tanF)(1+tan2°)•••(1+tan44°)(1+tan45°)=

【难度】★★

【答案】223

【例5】设a为锐角，若cos(a+2)=1,则sin(2a+/)=

【难度】★★

【答案】—V2

50

【解析】对题中的角度进行整体换元和拆分，即2a+工-生，变成和题中一样的结构

1216；4

即可。

【易错点】在有的三角求值中，配凑角时已知角和目标角之间的关系不容易发现，不利于转化，这

时采用整体换元后会简单很多。

【变式训练】

1.已知tan(a+工］=一9,工＜04至，贝Usin(2a+工］的值为

I4)322I6

【难度】★★

-773-24

【答案］-------

50

【例6】设常数a使方程sinx+6cosx=a在闭区间［。,2万］上恰有三个解阳，x2,x3,则

Xj+X-+工3=

【难度】★★

7乃

【答案】—

3

【解析】原方程可变为a=2sinx+&，如图，作出函数y=2sin(x+&),

xe[0,24]的图像，再作直线y=a，从图像可知函数y=2sin(x+"|J,

xe[(),2zr]在0,—上单调递增，在上单调递减，在—,2n上单调递增，只有当a=百

6666

时，直线y=a与函数y=2sin(x+。)xe[0,24]的图像有且只有三个交点，%,=0,玉=5，

一一7万

%=27r,所以$+%,+七=3

【易错点】找到恰有三个公共点的位置是解题的关键，在处理方程你给的根的个数问题时，注意往

往是将方程转化为两个函数图像的交点的个数。

【变式训练】

1.方程sin;zx-lgx=O的解的个数是

【难度】★★

【答案】9

【例7】已知函数/(%)=$”斯+?3>0),/仁)=/图，/(X)在心昌上有最小值，无

最大值，则。=

【难度】★★

14

【答案】—

3

【解析】易知为函数/(x)的半个周期的子区间，且知/(x)的图像关于尤==:对

称，所以工一工，且—•。+工=——»左eZ,<59<6,且3=8左H,kEZ,

iy364323

14

取左=0取。=冲

3

【易错点】/（X）在上有最小值，无最大值，即/（X）在上先减后增（不单调）,即

为函数/（尤）的半个周期的子区间。

【变式训练】

1.若。是正实数，函数/（x）=2sin@:在上是增函数，则①的取值范围是

【难度】★★

3

【答案】0<043

2

【例8】已知函数/j•——（xe/?）的最大值为M,最小值为m，则M+〃z=____

W+i

【难度】★★

【答案】2

【解析】/6）=生芈巴=1—半，易知函数旷=一半为奇函数，由函数的奇偶性可知

—\x\+iw+iw+i

M—\+=0,即M+m=2

【易错点】将函数解析式进行分解，尽量分离出一个奇函数和常数或者具有单调性的部分。

【变式训练】

V2sinx+—+2x2+x

1.设函数/(x)=--------------------的最大值为最小值为m，则M+m=

2x~+cosx

【难度】★★

【答案】2

【例9】已知函数/（x）=sin@x+cos3,如果存在实数网，使得对任意的实数x,都有

/(x,)</(%)</(x+2010)成立，则0的最小值