高考高中数学第04炼 函数值域的求法

第4炼求函数的值域

作为函数三要素之一，函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目

之中，成为解题过程的一部分。所以掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解

析式的特点，寻找对应的方法从容解决。

一、基础知识：

1、求值域的步骤：

（1）确定函数的定义域

（2）分析解析式的特点，并寻找相对应的方法（此为关键步骤）

（3）计算出函数的值域

2、求值域的常用工具：

一种解析式特点对应一个求值域的方法，只要掌握每种方法并将所求函数归好类即可操作，但也要掌

握一些常用的思路与工具。

（1）函数的单调性：决定函数图像的形状，同时对函数的值域起到决定性作用。若/（x）为单调函数，则

在边界处取得最值（临界值）。

（2）函数的图像（数形结合）：如果能作出函数的图像，那么值域便一目了然

（3）换元法：/（X）的解析式中可将关于X的表达式视为一个整体，通过换元可将函数解析式化归为可求

值域的形式.

（4）最值法:如果函数“X）在［a,可连续，且可求出/（x）的最大最小值则“X）的值域为

注：一定在/（x）连续的前提下，才可用最值来解得值域

3、常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟

练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归。

（1）一次函数（丁=履+8）：

一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域

（2）二次函数（y=办2+Z?x+c）：

二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解。（关键点：①抛

物线开口方向，②顶点是否在区间内）

例：/(x)=x2-2X-3,XG[-1,4]

解：/(x)=(x-l)2-4对称轴为：x=l,\/(x)e[-4,5]

(3)反比例函数：y=-

X

(1)图像关于原点中心对称

(2)当xf+oo,yf0

当xf-oo,y-0

(4)对勾函数：y=x+3(a>0)

x

①解析式特点：X的系数为1；〃>()

注：因为此类函数的值域与。相关，求〃的值时要先保证X的系数为1,再去确

定。的值

4(2、

例：y=2x+—,并不能直接确定。=4,而是先要变形为y=2x+—,再

%kxj

求得a=2

②极值点：x=\[a,x=-4a

③极值点坐标：(—2>/^)

④定义域：(一8,0)(。,+8)

⑤自然定义域下的值域：(—oo,-26][2^,+oo)

(5)函数：y=x-£(a>0)注意与对勾函数进行对比

①解析式特点：x的系数为1；。〉()

②函数的零点：x-±\[a

③值域：R

（5）指数函数（y=a'）：

其函数图像分为a>1与0<a<1两种情况，可根据图像求得值域,

在自然定义域下的值域为（0,+8）

（6）对数函数（y=log“x）

其函数图像分为。>1与0<a<1两种情况，可根据图像求得值域,

在自然定义域下的值域为（0,-8）

（7）分式函数：

分式函数的形式较多，所以在本节最后会对分式函数值域的求法进行详细说明（见附）

二、典型例题：

将介绍求值域的几种方法，并通过例题进行体现

1、换元法：将函数解析式中关于x的部分表达式视为一个整体，并用新元”弋替，将解析式化归为熟悉的

函数，进而解出值域

（1）在换元的过程中，因为最后是要用新元解决值域，所以一旦换元，后面紧跟新元的取值范围

（2）换元的作用有两个：

①通过换元可将函数解析式简化，例如当解析式中含有根式时，通过将根式视为一个整体，换元后即可

“消灭”根式，达到简化解析式的目的

②化归：可将不熟悉的函数转化为会求值域的函数进行处理

（3）换元的过程本质上是对研究对象进行重新选择的过程，在有些函数解析式中明显每一项都是与X的

某个表达式有关，那么自然将这个表达式视为研究对象。

（4）换元也是将函数拆为两个函数复合的过程。在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函

数分为两种

①y=a"'),y=log〃[/(x)],y=sin[/(x)]：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时

可先确定了(x)的范围，再求出函数的范围

②y=/(a'),y=/(log.x),y=/(sinx)：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用

换元将解析式转为)，=/«)的形式，然后求值域即可。当然要注意有些解析式中的项不是直接给出，而是

可作转化：例如y=4'-2'+1—8可转化为y=(2'丫-2•2、-8,从而可确定研究对象为t=2X

例1：函数/(x)=2x—GT的值域是()

「八\「171「5)「151

A.|^0,+ooJB.,+00IC.-,+ooID.-^-,+00I

思路：解析式中只含一个根式，所以可将其视为一个整体换元，从而将解析式转为二次函数，求得值域即

可。

解：/(X)的定义域为[L+OO)令t=.•-/>0,则X=『+1

:.y=2(r+l)-z=2+装Ze[0,+oo).♦./(x)的值域为

例2(1)函数y=31的值域为()

A.(0,+oo)B.(0,1)(l,-+oo)C.{x|xwl}D.(l,+oo)

(2)函数〃x)=4'—2川—8,XG[—2,2]的值域为

x+\

(3)函数y=ln^e~~^的值域为__________

e-1

思路：(1)本题可视为y=3,⑴的形式，所以可将指数进行换元，从而转化为指数函数值域问题：令

t=----,则7G(YO,0)(0,+OO),所以可得y=3'€(0,1)(l,+oo)

(2)如前文所说，/(x)=4'-2x+,-8=(2X)2-2-2A-8,将2'视为一个整体令f=2、，则可将其转

化为二次函数求得值域

解：/(x)=4V-2f+1-8=(2')2-2-2V-8令f=2*XG[-2,2]

：.t&；,4y=r-2f-8=«-1)2-9

.•"(%)的值域为[-9,0]

短+1ex+1

(3)所求函数为的形式，所以求得的范围，再取对数即可。对-----进行变形可得:

ex-1

x

e+12

-----=1+-----,从而将/一1视为一个整体，即可转为反比例函数，从而求得范围

ex-1ex-1

x

e+12

解：定义域：—1>0=>XG(0,+oo)-...=1H——：----令，=e*-l/./G(0,-I-OO)

ex—Ie'—1

/.1+—e(l,+oo)y=In6+*e(0,+oo)

tex-1

答案：(1)B(2)[-9,0](3)(0,-H»)

例3：已知函数/(x)=3+k>g2x,xe[l,4],则g(x)=/(x2)-[/(x)了的值域为()

A.[-18,-2]B.[―11,-6]C.[-18,6]D.[-11,-2]

2

思路：依题意可知g(x)=3+log2%2-(3+log2x)=-(log2x)--41og2x-6,所以可将^^》视为一

个整体换元，从而将问题转化为求二次函数值域，但本题要注意的是g(x)的定义域，由已知/(x)的定

1<x2<4

义域为[1,4],则g(x)=/(无丁的定义域为：《/<4,解得：xe[rL2]'而不是r[L4]

22

解：^(x)=3+log,x-(3+log2x)=3+21og2x-|^(log2%)'+61og2x+9

2

-(log2x)-41og2x-6

/(X)的定义域为[1,4],且g(x)=/(x2)—"(明2

1<x<4ir々

，解得：xe[l,2]

14x44L」

令t=log2X，则/■€[()[]y=-r-4/-6=-(7+2)~-2

ye[-11,-6],即g(x)的值域为[―11,—6]

答案：B

2、数形结合：即作出函数的图像，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行

数形结合

(1)分段函数：尽管分段函数可以通过求出每段解析式的范围再取并集的方式解得值域，但对于一些便

于作图的分段函数，数形结合也可很方便的计算值域。

(2)/(x)的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后

确定靠下(或靠上)的部分为该/(x)函数的图像，从而利用图像求得函数的值域

(3)函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值

域，如：分式一直线的斜率：被开方数为平方和的根式一两点间距离公式

例4：(1)设函数y=定义域为R,对给定正数定义函数九(x)=《，、则称函

数九(X)为“X)的“挛生函数"，若给定函数=<、,用=1，则丁=九(X)的值

2v—l,x>0

域为()

A.[-2,1]B.[-1,2]C.(-oo,2]D.(-oo,—1]

(2)定义min｛a,"c｝为a,》,c中的最小值，设/(%)=01皿｛2》+3,/+1,5-34则/(x)的最大值是

思路：(1)根据“李生函数”定义不难发现其图像特点，即以y=M为分

界线，/(x)图像在y="下方的图像不变，在M上方的图像则变为

y=M,通过作图即可得到九(x)的值域为[-2,1]

(2)本题若利用min｛a,",c｝的定义将/(x)转为分段函数，则需要对三个

式子两两比较，比较繁琐，故考虑进行数形结合，将三个解析式的图像作在

同一坐标系下，则/(x)为三段函数图像中靠下的部分，从而通过数形结合可

得/(x)的最大值点为y=X?+1与y=5-3x在第一象限的交点，即

y=%2+1[x=l

nv，所以/1(x)=2

y=5-3x[y=2、'\/max

答案：(1)A(2)2

例5：已知函数/(卜=2q)2/2(,)ah归2)+x2，设

&(x)=max{/(x),g(x)},"2(x)=min{/(x),g(x)},(其中max{p4}表示p,q中的较大值,

min。©｝表示p,q中的较小值)记的值域为A,H?(x)的值域为8,则力B-

思路：由”1(X),”2(x)的定义可想到其图像特点，即若将〃x)，g(x)的

图像作在同一坐标系中,那么”/工)为了(力送(尤)图像中位于上方的部

分，而“2(x)为/(x)，g(x)图像中位于下方的部分。对/(x)，g(x)配

/(x)=[x-(Q+2)]2—467—4

方可得：＜其中-4a—4<-4。+12,

g(x)=_[x-(〃-2)了-4^+12

故g(x)的顶点在“X)顶点的上方。由图像可得：褐色部分为的图像，红色部分为“2(x)的图像,

其值域与/(x),g(X)的交点有关，即各自的顶点(a—2,4+12),(a+2,Ta—4),所以(X)的值域

A=[-4a—4,+oo),//,(犬)的值域6=(-00,-4。+12]。从而A3=[Ta-4,Ta+12]

答案：[Ta—4,Ta+12]

Y]nx+3

例6：(1)函数y=------^尤e[2,4]的值域为

(2)函数y=y/x?+4+\]x2-2x+10的值域为

思路：(1)函数为分式，但无法用“变形+换元”的方式进行处理，虽然可以

用导数，但求导后需对分子的符号进行进一步研究。那么换一个视角，从分

式的特点可联想到直线的斜率，即丁是(x,xlnx)与定点(1,一3)连线的斜率，

那么只需在坐标系中作出/(x)=xlnx在[2,4]的图像与定点(1,—3),观察

曲线上的点与定点连线斜率的取值范围即可

解：所求函数)，是(x,xlnx)与定点(1,—3)连线的斜率

设/(x)=xlnx

/(x)=l+lnx,当xe[2,4]时，/'(x)>0恒成立

为增函数/(2)=2In2,/(4)=41n4=81n2

设曲线上两点A(2,21n2),6(4,81n2)定点C(l,—3)

,_,__,81n2+3

••^AC=2In2+3,kBC=-

••”RBCAC]=21n2+3,亍+1

(2)思路：y=&2+4+42—2x+10+22+J(x-1)2+32,

所以y可视为点(x,0)到点(0,2),(1,3)距离和的取值范围。结合图形可利用

对称性求出其最小值，且当动点向龙轴两侧运动时，其距离和趋向无穷大，

进而得到值域。

解：

y=&+4+Vx2-2x+10=7%2+(0-2)2+J(x_1)2+(0_3'

y为动点P(x,0)到点4(0,2),8(1,3)距离和,即y=照+附

作A点关于x轴的对称点A(0,-2)

|PA|+1PB\=\PA\+\PB\>\AB\=y/26(等号成立条件：P,4,8共线)

当Xf+OO或XfYO时，+归耳.+30

函数的值域为［后,+8)

小炼有话说：本题在选择点时要尽量让更少的点参与进来简化问题，所以要抓住两个距离共同的特点(例

如本题中都抓住含根式中的羽0,所以找到了一个共同的动点(x,0))

…-c81n2.

答案：（1）21n2+3,-----1-1⑵［而,+8）

3

3、函数单调性：如果一个函数为单调函数，则由定义域结合单调性(增、减)即可快速求出函数的值域

(1)判断函数单调性的方法与结论:

①增+增—增减+减—减

(一1)乂增一»减若函数的符号恒正或恒负，则f减

②复合函数单调性：复合函数y=/［g(x)］可拆成y=/(r),r=g(x),则若y=/«)"=g(x)的单

调性相同，则y=/［g(x)］单调递增；若y=/(f),r=g(x)的单调性相反，则y=/［g(x)］单调递减

③利用导数：设图像不含水平线的函数/(x)的导数/(X),则/(x)20=/(x)单增；

f(x)W0n/(x)单减

(2)在利用单调性求值域时，若定义域有一侧趋近于+8或—0,则要估计当X-+8或X-时，函

数值是向一个常数无限接近还是也趋近于+8或F(即函数图象是否有水平渐近线)，：同样若/(X)的定

义域抠去了某点或有一侧取不到边界，如xe(a,5],则要确定当xfa时，/(x)的值是接近与一个常

数(即临界值)还是趋向”或-8(即函数图象是否有竖直渐近线)，这样可以使得值域更加准确

例7：(1)函数/(x)=Jl-x+\/x+3-l的值域为()

A.[-3,1]B.[-1,-KO)C.[2,272]D.[1,272-1]

(2)函数/(无)=：]曰[的值域为()

A.(—8,1)B.C.(。，1]D.[0,1]

(3)函数〃％)=:__1］的值域为.

—2+1

思路：(1)函数的定义域为含有双根式，所以很难依靠传统的换元解决问题，但/(%)的导数

=一严工较易分析出单调性,所以考虑利用导数求出/(X)的单调区间，从而求得最值

2V1—x.Jx+3

Jx+3-—

八加一女

x2jx+325/l-x-Jx+3

令/'(力>0即解不等式：V7+3>Vi^7

/.%+3>l-x=>x>-l

.-./(X)在(―3,-1)单调减，在(-1,1)单调递增

.•./(X)的值域为［1,20一1］

小炼有话说：本题还可以利用换元解决，但利用的是三角换元：观察到被开方数的和为常数，所以想到

从而可设［U=2sma,由［勺NO可知&G

严)2+(右可=4,吗,所以原函数

［vx+3=2cosa［Jx+320

的值域转化为求y=2sina+2cos2-1的值域，从而有y=2&sin1十2-1,由0,—可求得

\4JL2_

)€[1,2夜-1]。由此题可知：含双根式的函数若通过变形可得到被开方数的和为常数，则可通过三角

换元转为三角函数值域问题

(2)思路：函数的定义域为1,从而发现|1—x|=l-x,所以函数的解析式为/(x)=x-—尤，

观察可得/(X)为增函数，且X—»-OO时，/(x)--oo,所以当XG(-OO,1]时，/(X)的值域为(一8,1]

小炼有话说：①本题中函数的定义域对解析式的化简有极大的促进作用。所以在求函数的值域时，若发现

函数解析式较为特殊，则先确定其定义域

②本题也可用换元法，设1=5/匚[后即可将函数转为二次函数求值域，但不如观察单调性求解简便。

‘3-2x20

(3)思路：先确定函数的定义域:4=>xe/(x)为分式且含有根式，求导则导函数

2x—2>0

较为复杂。观察分子分母可知：j3-2x+5>0且关于x单减,J2x—2+1>0且关于x单增,即

I1——单减，所以/(0)=-/一2±±»为减函数,由xe1,—可知/'(x)的值域为—,6

72^2+1')^/2^^2+l]2」八，12」

小炼有话说：在函数单调性的判断中有“增+增T增”，那么如果一个函数可表示为两个函数的乘法，例如

〃(x)=/(x>g(x)，则当/(x)，g(x)均为增(减)函数,且/(x),g(x)恒大于。，才能得到力(。为

增(减)函数

答案：(1)D(2)B(3)?6

4、方程思想：本方法是从等式的角度观察函数，将其视为一个含参数y的关于x的方程b(x,y)=0。由

函数的对应关系可知，对于值域中的任一值了，必能在定义域中找到与之对应的X。这个特点反应在方程

中，即为若为在值域中，则关于X的方程尸(x,y)=o在y=为时至少有一个根。从而将求值域问题转化

为“y取何值时，方程尸(x,y)=0有解”的问题。利用方程的特点即可列出关于y的条件，进而解出>•的

范围即值域

2X24-4r-7

例8：(1)函数>—--的值域为()

X2+2X+3

-22

A.B.c.D.

2'-2

4°7?

sinx-1

(2)函数y--------的值域为.

cosx+2

思路：(1)观察分式特点可发现若将去掉分母后可构造为一个关于龙的二次方程(其中y为参数):

(y-2)x2+(2y-4)x+3y+7=O,因为函数的定义域为H,所以y的取值要求只是让方程有解即可,

首先对最高次数系数是否为。进行分类讨论：当y=2,方程为13=0,无解；当y±2时，二次方程有

解的条件为A20,即得到关于y的不等式，求解即可

/刀,2炉+4x—7

解：由y=1--------可得:

V+2x+3

dy+2xy+3y=2x2+4]-7

.\(y-2)x2+(2y-4)x+3y+7=0

X2+2X+3=(X+1)2+2>0.•.函数的定义域为R

y的取值只需让方程有解即可

当y=2时，13=0不成立，故舍去

当yW2时，A=（2y-4）2-4（y-2）（3j+7）>0

即:（2y+9）（y-2）<0

9

y<2

2

-9

综上所述：函数的值域为-3,2

L2

小炼有话说：①对于二次分式，若函数的定义域为R,则可像例8这样通过方程思想，将值域问题转化

为“y取何值时方程有解”，然后利用二次方程根的判定A20得到关于y的不等式从而求解，这种方法也

称为“判别式法”

②若函数的定义域不是H,而是一个限定区间（例如［。,可），那么如果也想按方程的思想处理，那么要

解决的问题转化为：“j取何值时，方程在［a,可有根”，对于二次方程就变为了根分布问题，但因为只要

方程有根就行，会按根的个数进行比较复杂的分类讨论，所以此类问题通常利用分式的变形与换元进行解

决（详见附）

（2）本题不易将函数变为仅含sinx或cosx的形式，考虑去分母得：sinx-ycosx=2y+1则y的取值

只要让方程有解即可。观察左侧式子特点可想到俯甬公式，从而得到

+y2sin（x+^>）=（2y+1）=>sin（x+,可知方程有解的条件为：产十］.41,解出y

Jl+JJl+V

的范围即为值域

解：>=必”二L的定义域为R

cosx+2

且丁=--------=>ycosx+2^=sinx-l

cosx+2

/.sinx-ycosx=2y+l

I2］

二."l+y?sin（x+*）=（2y+1）,HPsin（x+^）=,,其中tanQ=-y

Jl+V

因为该方程有解

,「4-

3y2+4>><0=>ye--,0

小炼有话说：本题除了用方程思想，也可用数形结合进行解决，把分式视为（cosx,sinx）,（—2,1）连线斜率

的问题，从而将问题转化为定点（一2,1）与单位圆上点连线斜率的取值范围。作图求解即可。本类型运用方

程思想处理的局限性在于辅角公式与y的取值相关，不过因为xeR,所以均能保证只要sin（x+°）在

［一1,1］中，则必有解。但如果本题对x的范围有所限制，则用方程的思想不易列出y的不等式，所以还是

用数形结合比较方便

「41

答案：⑴D（2）一一,0

_3_

以上为求值域的四种常见方法，与求函数的理念息息相关，有些函数也许有多种解法，或是在求值域

的过程中需要多种手段综合在一起解决。希望你再遇到函数值域问题时，能迅速抓住解析式的特点，找到

突破口，灵活运用各种方法处理问题。

例9：已知函数〉=忸（/+2%+加）的值域为H,则m的取值范围是（）

A.m>\B.m>\C.m<1D.meR

思路：本题可视为y=lg/"=x2+2x+〃z的复合函数，函数的值域为R,结合对数函数的性质可知，应

取遍所有的正数（定义域可不为R）,即若函数f=%2+2x+〃?的值域为A,则（0,+»）屋4,由二次函

数的图像可知，当A20时，可满足以上要求。所以4=4-4机20解得加41

答案：C

例10：在计算机的算法语言中有一种函数卜］叫做取整函数（也称高斯函数），［可表示不超过x的最大整

2ri

数，例如：[2]=2,[3.1]=3,[—2.6]=—3,设函数“犬卜^^一院则函数y=[/(x)]+[/(-x)]的

值域为()

A.{0}B.{-1,0}C.{-1,0,1}D.{-2,0}

思路：按[x]的定义可知，若要求出[x],则要将确定里面x的范围，所以若求丫=[/(%)]+[/(-*)]的

值域，则要知道/(x)—的范围。观察到丫=[/(尤)]+[/(T)]为偶函数，所以只需找到x>0的

2TII-2*2*I2V-1

值域即可，/(-x)=---------=1-----r,f(x)=------------=-1-----r,即成

立，所以/(x)为奇函数，只需确定“X)的范围即可。对/(x)中的分式进行分离常数可得：

一工7，当关>°时，2V+1G(2,+OO),从而不所以由

/(-X)=_/(x)e[--,0^1»[/(t)|=([/H])=-1，可得丁=一1,再利用偶函数性质可得x<0

时，y=-lo当x=0时，/(x)=/(—x)=O,所以y=0,综上所述：y="(x)]+[/(—x)]的值域

为{-1,0}

答案：B

小炼有话说：(1)本题在处理值域时，函数奇偶性的运用大量简化了运算。首先判断出所求函数为偶函数，

所以关于y轴对称的两部分值域相同，进而只需考虑x>0的情况。另外从解析式的特点判断出/(x)为

奇函数，从而只需计算/(x)的范围，再利用奇函数的性质推出了(-X)的范围。所以在求函数值域时，若

能通过观察或简单的变形判断出函数具备奇偶的性质，则解题过程能够达到事半功倍的效果。

/(r)=2r

72

(2)本题在判断“X)的奇偶性时，由<T+r很难直接看出/(£),/(—x)之间的联系,

2X

f(x]--------

')1+2,2

2r-1

但通过“通分”即可得到<奇偶性立即可见；在求/(%)的范围时，利用

\-T

/(T)=

2(1+2')

2'_1

f(x)=—,----7的形式，分式较为复杂，分子分母均含变量，不易确定其范围。但通过“分离常数''得

''20+2，)

到/(x)=，——!一则非常便于求其范围。由以上的对比可知，在判断奇偶性或者分式的符号时，通常

一个大分式较为方便；在求得分式函数值域时，往往通过“分离常数”的手段简化分式中的分子，从而便

于求得范围

附：分式函数值域的求法：

分式函数也是高中所学函数的一个重要分支，求解分式函数的值域也考查了学生分式变形的能力以及

能否将分式化归为可求值域的形式，学会求分式函数值域也是处理解析几何中范围问题的重要工具。求分

式函数值域的方法很多，甚至也可以考虑对函数进行求导，但相对计算量较大，本节主要介绍的方式为如

何通过对分式函数进行变形，并用换元的方式将其转化为熟悉的函数进行求解。

一、所用到的三个函数(其性质已在前文介绍)

1、反比例函数：y=—

X

2、对勾函数：y-x+—(a>0)

3、函数：y=x—/(a>0)注意与对勾函数进行对比

二、分式函数值域的求法

请看下面这个例子：

求y=3+_,xw[l,2]的值域

思路：此函数可看为上的结果再加上3所得，故可利用反比例函数求出工的范围，再得到值域

XX

[「[]「7-

解：xe[l,21.•・一£-,1.・.y=3+—£-,4

x|_2Jx|_2_

问题不难，但观察可发现：>=3+4=2山，所以当遇到的函数为、=亘里，总可以将分子的每一

XXX

项均除以分母，从而转化为y=3+'进行求解。由此得到第一个结论：

X

Z7V-+力b

对于形如/(x)=的函数，总可以变换成=a+[转化为反比例函数进行求解。

注：如果在分式中，分子的表达式可将一部分构造为分母的形式，则可用这部分除以分母与分式分离得到

常数，从而使得分式中的分子变得简单，这种方法称为“分离常数法”，是分式变形常用的一种手段

例：/(-«)=—~~-,X6(1,3)

X+1

思路：本题分母为表达式，比较复杂，但如果视分母为一个整体(进行换元)，则可将分式转化成为

/(X)=C7X+1的形式,从而求解

X

解：令,=%+1/£(2,4):.x=t-\

・・•/(7)=一:2=2-：，进而可求出值域:

注：换元法是求函数值域时，通过将含有变量的一部分式子视为一个整体，用一个变量表示，进而将陌生

的函数化归成熟悉的模型求解，这也是求函数值域时变换解析式的重要方法。

由上例，我们可以总结出第二个结论：

对于形如/'(》)="‘(分子分母均为一次的分式)的函数，通过换元，=n+〃，可转化为

cx+d

/«)=〃詈的形式，进而用反比例函数进行求解。

再看下一个例子：

例：f(x)=x+—e—,3

v7x2

解：函数为对勾函数(a=1),作图观察可发现极值点x=l在定义域中，故最小值为/(1)=2,而最大值

在/(g)，/(3)中产生，/(g)=*/(3)=号故值域为

思考1：那么=1,3你是否会求呢？记住，图像是你最好的帮手！

1丫？+]

思考2：/(x)=x+-=-_那么是否可以仿照上面，得到第三个结论？

XX

r/x~J-Av--L(•a

形如y=奴十以十c的函数可通过分离常数转化为y^ax+-+b的形式，进而可依靠y=尤±±的图像

XXX

求出值域

继续，还能扩展么？举个例子？

例：=x+3：+4,XW(3,5)

解:设r=x-l,re(2,4)

.口止士亚止=3型=，+§+5(极值点：氓=20)

ttt

."=/1=2闾=4夜+5/(r=2)=ll,/(r=4)=ll

二同4应+5,11)

第四个结论：

/7-4-hx4-C

形如y=生_艺，的函数可通过换元t=公+e将问题转化为第三个结论，然后进行求解

dx+e

y_1

那么，例：f（x）=2—,xw（3,5）呢

不就是取了倒数么，所以只需分子分母同除以分子（工-1）即可化归为上面的情形

那么，例：〃力二二：21；,*6（3§呢

分子分母最高次均为2次，可考虑进行下分离常数：

〃力=二+2%+1J：x+1+一,从而转化为上面例子的问题，至此，分式函数的终

X~+X4-1X+X+1X~+X+1

nY~4-hx+c

极形式y=――--总可通过一系列变换，转化为前面所介绍的三个函数模型进行求解。

dx~+ex+f

小结：总结一下我们所遇到的分式类型及处理方法吧：

①〉=竺，：换元一分离常数一反比例函数模型

cx+d

②（=".土外上£：换元一分离常数一y=x±@模型

dx+ex

③y二:z/r+。:同时除以分子：y=—5-I^——f②的模型

ax+bx+c+bx+c

dx+e

"Y2_1_Ay_1_r*

④尸二十以十c:分离常数一③的模型

dx+ex+f

共同点：让分式的分子变为常数

一、光速解题——学会9种快速解题技法

技法1特例法

在解答填空题时，可以取一个（或一些）特殊值、特殊位置、特殊函数、特殊点、特殊方程、特殊

图形等来确定其结果,这种方法称为特例法.特例法只需对特殊数值、特殊情形进行检验,失去了推理论证

的演算过程,提高了解题速度.特例法是解答填空题时经常用到的一种方法.

典例1（特殊数值）求值:cola+cos“a+120°）+cos2（a+240°）=.

3

答案2

解析题目中“求值”二字提供了这样的信息：答案为一定值，于是不妨令a=0°,则原式

113

=cos"0+cos'120°+COS2240°=1+"+"=2

典例2(特殊点)点P为椭圆25+9=］上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A、上顶点B

分别作y轴、x轴的平行线,它们相交于点C,过点P引BC,AC的平行线交AC于点N,交BC于点M,交AB于

D、E两点，记矩形PMCN的面积为Sb三角形PDE的面积为S2,贝I」S)：S2=.

答案1

(4$$

解析不妨取点P'则s-'5，X(5-4)=5,PD=2,PE=S,所以

166

2SSE

S2=X2X=5,所以S|：.

典例3(特殊函数)若函数y=f(x)对定义域D中的每一个XI,都存在唯一的xzGD,使f(x。•f(x2)=l

成立,则称f(x)为“影子函数”，有下列三个命题：

①''影子函数”f(x)的值域可以是R;

②''影子函数"f(x)可以是奇函数；

③若y=f(x),y=g(x)都是“影子函数”，且定义域相同，则y=f(x)・g(x)是“影子函数”.

上述正确命题的序号是.

答案②

解析对于①：假设“影子函数”的值域为R,则存在xi,使得f(x)=O,此时不存在xz,使得

f(x)•f(xj=l,所以①错误；

1

对于②:函数f(x)=x(x#O),对任意的x£(-8,o)U(0,+8),取x2=",则f(x)•f(x2)=l,因为函

数f(x)=x(x¥0)为奇函数，所以“影子函数”f(x)可以是奇函数，②正确；

1

对于③:函数f(x)=x(x>0),g(x)="(x>0)都是“影子函数”，但函x)=f(x)・g(x)=l(x>0)不是

“影子函数”(因为对任意的xiC(0,+8),存在无数多个X2e(0,+8),使得F(xJ•F(X2)=1),所以③错误.

典例4(特殊位置)(1)已知E为AABC的重心,AD为BC边上的中线，令ABAC=b,过点E的

_t111

直线分别交AB,AC于P,Q两点，且4P=ma,做=也则%"=.

⑵如图,在三棱柱的侧棱A,A和B,B上各有一动点P,Q,且AIP=BQ,过P,Q,C三点的截面把棱柱分成上、

下两部分,则上、下两部分的体积之比为.

答案(1)3(2)2：1

解析（1）由题意知结果必然是一个定值，故可利用特殊直线确定所求值.如图，令PQ〃BC,则

21

-AB-Tn-AC

33故

APQ=3，此时，1n二口二

A

⑵将P.Q置于特殊位置：PfAi,QfB,此时仍满足条件AF=BQ(=O),则有

VV

C-AArB_A1-ABC^3

因此过P,Q,C三点的截面把棱柱分成了体积比为2：1的上、下两部分.

典例5（特殊图形）在AABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若a、b、c成等差数列,则

cosA+cosC

1+COSJ4COSC_

4

答案5

1coM+cosC4

解析不妨令AABC为等边三角形，则cosA=cosC=则1+COS4COSC_5

技法2换元法

换元法又称变量代换法.通过引进新的变量,可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来,

或者将题目变为熟悉的形式,简化复杂的计算和推理.换元的实质是转化,关键是构造元和设元,理论依据

是等量代换，目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中再研究,从而使非标准型问题标准化、

复杂问题简单化.换元法经常用于三角函数的化简求值、复合函数解析式的求解等.

典例1（三角换元）已知x,yCR,满足x、2xy+4y、6,则z=x44y2的取值范围是.

答案[4,12]

解析已知x2+2xy+4y'=6,

By)、(

BP(x+y)2+(

故设x+y=%

^cosa-2in

即x=Q,y=

则z=x2+4y2=6-2xy=6-2(6cosa-&sina)任ina

2a+1)

=8-4sin

所以8-4WzW8+4,即z的取值范围是[4,12].

典例2（整体代换）函数y=sinx-cosx+sinxcosx,x£[0,冗]的最小值是.

答案-1

Ain

解析设t=sinx-cosx=

i-t2

则sinxcosx=2,

JT

因为xe[o,汨，所以x-4el-pv]

所以&],

i-t2i

所以y=t+2二2(t-l)2+l,当t=-l时,ymin=-l.

4(a+l)2a(a+1)2

a+1+10g24a2〉0恒成立,

典例3（局部换元）设对一切实数X,不等式（10g2°+2x10g2

求a的取值范围.

2a

a+1

解析