高中数学小题巧解

高中数学小题巧解（一）

解题的基本原则是：“小题不能大做”，要充分利用题目中（包括题干和选项）

提供的各种信息，排除干扰，利用矛盾，作出正确的判断.数学选择题的求解一

般有两条思路：一是从题干出发考虑，探求结果；二是从题干和选择支联合考虑

或从选择支出发探求是否满足题干条件.填空题的结果必须是数值准确、形式规

范、表达式最简.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题

不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可

“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”

字上下功夫.

实例.（2013•大纲全国）椭圆C：于+专=1的左、右顶点分别为4、A2,点P

在C上且直线以2斜率的取值范围是[一2,-1],那么直线以।斜率的取值范围是

（）

133313

A.（2>昆B.[g,]C.序1]D.弓，1]

答案B

1、特例检验法

特例法就是运用满足题设条件的某些特殊数值、特殊位置、特殊关系、特殊

图形、特殊数列、特殊函数等对各选择支进行检验或推理，利用问题在某一特殊

情况下不真，则它在一般情况下也不真的原理，由此判明选项真伪的方法。用特

例法解客观题题时，特例取得愈简单、愈特殊愈好。利用特殊检验法的关键是所

选特例要符合条件。这种方法实际上是一种“小题小做”的解题策略，对解决某

些客观题往往十分奏效。

例1.已知A、B、C、。是抛物线f=8x上的点，口是抛物线的焦点，且放十用

―>—>—>—>—►—>

+FC+FD=0,则|刚+尸8|+|尸。|+|尸。|的值为（）

A.2B.4C.8D.16

—»—>—>—»

【解析】取特殊位置，AB,为抛物线的通径，显然以+尸3+尸。+尸0=0,

玲玲玲玲

则|E4|+|F8|+|FC|+|FO|=4p=16,

【答案】D.

例2.已知等差数列｛斯｝的前〃项和为S,”若等二则祟的值为()

Unzn-1On

A.2B.3C.4D.8

【解析】方法一(特殊值检验法)取〃=1,得靠=；，，色誉=*4,

于是，当〃=1时，要=等="丝=4.

品31Cl\

4〃一12・2〃-1

方法二(特殊式检验法)注意到黄取a=2n—1,

Cln2n—12•〃一1n

1+(4八一1)0

c---------•Zn

=2=4

S1+(2〃-1)

“-------------------・n

例3.定义在R上的奇函数/(%)为减函数，设给出下列不等式：①

/(«)./(-«)<0；②2。；③/(«)+f(b)<f(-a)+f(-b)；

④/(。)+f(b)>/(-«)+其中正确的不等式序号是()

A.①②④B.①④C.②④D.①③

【解析】取特殊函数/■(■¥)=—X,逐项检查可知①④正确。

【答案】Bo

例4.已知P、。是椭圆3%2+5/=1上满足NPOQ=90。的两个动点，则/?十5/

等于()

834

A.34B.8C-D.

y[511

【解析】取两特殊点P(岸，0)、Q(0,手)即两个端点，则定+近=3+5=8.

【答案】B.

例5.已知G为锐角三角形ABC的外心，AB=6,AC=10,AG^xAB+yAC,且

2x+1Oy—5,则cosABAC=o

【解析】(特殊图形法)把三角形ABC特殊化到直角坐标系中

设/胡C=a,则A(0,0),C(10,0),B(6cosa,6sina),

因为G为锐角三角形ABC的外心，所以G在线段AC的垂直平分线上，

可知G点得横坐标为5,

AG=xAB+yAC=x(6cosa,6sin«)+y(10,0)=(6xcosa+10y,6xsin<z)

6xcoscr+10y=5,/2x+10y=5/.6cosa=2,cosa=；「.cosABAC二；

【答案】，I

o

例6..△ABC的外接圆的圆心为。，两边上的高的交点为H,

则实数m=-----

2.利用数学定义、公式构造数学模型进行等价转换

例7.已知-------=1,(asb、ceR),则有().

Sa

。巨=+OB-+-OU)

A.b1>4acB.b->4acc.b2<4acD.b~<4ac

点拨：方法一通过化简，敏锐地抓住数与式的特点：石看作是方程a?—历；+。=0的一

个实根，再利用一元二次方程有实数根的充要条件△20求得；方法二转化为。2是。、。的

函数，运用重要不等式解题.

解：方法一：依题设有5a-J0+c=0不是实系数一元二次方程

ax?—bx+c=0的一个实根；A=Z?2—4-ac>0b2>4ac故选B.

方法二：去分母，移项，两边平方得：

5b2=25a2+l0ac+c2>l0ac+2x5axc=20ac-'-b2>4ac故选B.

例&(1)求sir?20"+cos280"+Gsin20"cos80"的值；

(2)求函数yusinx+Jl+cos?x的最大值.

点拨：(1)利用所求式与余弦定理类似，再结合正弦定理的推论求值；(2)将函数最值

问题转换为向量数量积问题，由数量积的不等式性质，求出y最大值.

解：(1)注意到所求式与余弦定理类似，由

c2-a2+b2-2abeosCosin?C=sin2A+sin2B_2sinAsinBcosC

AJM^sin220"+sin2100-2sin200sin10"cos150"=sin2150"=L

4

(2)构造向量a=(l,l),1=(sinx,Ji［贝(l|aHB|=0，由|。4区|a||B|知，

|y|=|sinx+Jl+cos」x|=|a•B凶a11B|=2,

•..{ax=2,当且仅当「与否共线且方向相同时，

即sinx-A/1+COS2xncos2x--\^=>x-k7r+—,k&Z时等号取得.

2

变式：.已知A={(x,y)|以+by=1},；8={(x,y)|x>0,^>l,x+y<2}>若AClBw。

恒成立，则2a+3b的取值范围是.

解.提示：设2a+3人=左，则一a+巳b=l,

2kk

所以直线ax+力=1过定点号,j,

23

要使AABw。恒成立，则定点(二,彳)在区域内，

2355

所有一20,巳之1,±<2,解得

kkk2

3、数形结合法

就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等

式、求最值，求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单

计算，确定正确答案的方法。这种解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多客

观题(也有解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷又迅速。

例9.已知函数/(x)=-/-x+a，g(x)=《'一一，且y=g(x)-ax

［f(x-l)+2,x>2

恰有三个不同零点，则实数。的取值范围为.

例10.已知实数a、b、c满足3a—/?—c=0则原点0(0,0)到直线依+分+c=0的

距离的最大值为.

解：因为直线ax+bg+c=。，又a-b-c=O,所以直线过定点(-Z,1),所以原

点0(。，。)到直线ax+bg+c=O的距离的最大值即为原点到定点的距离：V2

变式：设二次函数+—在［3,4］上至少有一个零

点，则后+从的最小值为()

11

（2百+4）2

把等式看成关于〃的直线方程：（/一l）a+2xZ?+x—2=0,利用直线上一点（a,〃）到原

点的距离大于原点到直线的距离，即，旭+从之1—J（以下同上）。

1）2+（2幻2

例11.在AABC中，AB=G,BC=2,NA=],如果不等式|丽一f及上|印@恒成立，

则实数f的取值范围是（）

A.[1,+co）B.C1―8，gU[l,+°°）D.（-oo,0]U[l，+co）

例12、已知向量b,且W=2,=（2M—6）=0,贝%+（l—2/间

（feR）的最小值为.

例13.点。为△八BC的夕卜心，已知AB=3,AC=29若4O=xA8+y4C,

x+2y=1,则cosB=.A

解析：如图。为AC中点

AO=xAB+yAC=xAB+2y-^-

7

,.・x+2y・・瓦。。三点共线，所以A5=3C=3.\cosB=-.

4、推理分析法

推理分析法就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、

分析和加工后而作出判断和选择的方法。

（1）特征分析法一一根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位

置特征等，进行快速推理，迅速作出判断的方法，称为特征分析法。

（2）逻辑分析法一一通过对选项之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误项,

选出正确项的方法，称为逻辑分析法。

（3）整体分析法一一在处理某些问题时，常常需要把某一部分作为一个整

体来处理。这种做法常见于不等式、三角函数、数列解题中，整体分析法的实质

就是把问题化繁为简。

例14涵数/（尤）=苏+区+c（"0）的图像关于直线对称。据此可推测，

对任意的非零实数a,仇c,关于x的方程〃71y（x）「+W（x）+〃=O的解集都

不可能是（）

A.{1,2}B.{1,4}C.{1,2,3,4}D.{1,4,16,64}

【解析】（特征分析法）若解集不可能是A,则解集也不可能是C,所以不选A,同

理也不选B,答案只能在C、D中产生；若方程有四个解，根据题意可知其中两

组解必是关于某条直线对称，在C选项中:1、4关于x=2.5对称，2、3也关于x=2.5

对称，所以是可能的解，而D选项没有这样的对称轴。

【答案】D

例15.当xe[-4,0]时，a+J一f-4x[x+l恒成立,则a的一个可能取值为

（）

55

A.5B.C.---D.—5

33

【解析】（逻辑分析法）若A正确，则B,C,D正确；若B正确，则C,D正确；若C

正确，则D也正确，所以选D.

【答案】D

例16•已知sinx=,cosx=~—,(工＜了＜乃),贝！Jtan土二()

根+5m+522

A.A.gB.WC.1D.5

9-m4-2m3

【解析】由于受sinO+cc^xul的制约，m为一确定的值，于是sinx、cosx的

值应与m的值无关，进而推知tanx的值与m无关。又会―所以（苫〈会

y

所以tan万＞1,故选D.

【答案】D

5、极限法

从有限到无限，从近似到精确，从量变到质变，应用极限思想解决某些问题,

可以避开抽象、复杂的运算，降低解题难度，优化解题过程。在一些选择题中，

有一些任意选取或者变化的元素，我们对这些元素的变化趋势进行研究分析它们

的极限情况或者极端位置，并进行估算，以此来判断选择的结果。这种通过动态

变化，或对极端取值来解选择题的方法称为极限法。

例17.若正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为a,侧面与底面所成的二面

角的平面角为尸，则2cosa+cos2〃的值是（）

A.lB.2C.-1D.-

2

【解析】考虑到正四棱锥的高无限增大时对角必，的变化影响，当正四棱锥的

高无限增大时，a—>90',尸—>90,，则2cosa+8s2£—>2cos90°+cosl80"=-1

【答案】C

例

18.过抛物线y=幺2.>o）的焦点/作一直线交抛物线于p、。两点，若线段如、

厂部长度分别是P、孙则,+_1=（）

pq

A.2aB.4aC.—D.—

2a4a

【解析】让点P沿抛物线无限升高，趋向于无穷远时，点Q趋向于原点。，

p―+8,--->0,q—>IOF\——,-->4a,

p14aq

【答案】B

6.构造法

B

tan—

例19.已知小仿C中，a=10,c-b=8,则一。

tan—

2

【解析】以BC所在直线为x轴，BC中点为坐标原点，建立直角坐标系，

22

由忸4=10,|阴-|4。=8,则点A（%,y）在双曲线土-二=1的右支上。

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做AABC内切圆，