人教版九年级数学下册《反比例函数（第2课时）》示范教学设计

反比例函数（第2课时）教学目标1．经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程．2．会画反比例函数的图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质．3．能够初步应用反比例函数的图象和性质解题．教学重点经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程．教学难点能够初步应用反比例函数的图象和性质解题．教学过程知识回顾1．什么是反比例函数？一般地，形如(k为常数，k≠0)的函数，叫做反比例函数．其中x是自变量，y是函数．2．反比例函数中，x，y，k均不为0．3．反比例函数的三种表示方式：，，xy＝k．(k为常数，k≠0)4．用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：（1）设：设反比例函数的解析式为(k≠0)．（2）列：把已知x与y的一对对应值同时代入(k≠0)中，得到关于k的方程．（3）解：解方程，求出k的值．（4）写：将求出的k的值代入所设解析式中，即得到所求反比例函数的解析式．5．反比例关系与反比例函数的区别和联系：（1）如果ab＝k(k为常数，k≠0)，那么a与b这两个量成反比例关系，这里a，b既可以代表单项式，也可以代表多项式．（2）反比例函数中的两个变量一定成反比例关系，但反比例关系不一定构成反比例函数．新知探究一、探究学习【问题】如何画函数的图象？【师生活动】教师提问，学生代表作答．【答案】函数图象的画法：描点法．【设计意图】回顾以往画函数图象的步骤，为下文讲解画反比例函数的图象作铺垫．【问题】画出反比例函数与的图象．【师生活动】学生代表板书作答，教师和其他学生纠正．【答案】解：列表表示几组x与y的对应值（填空）：x…－12－6－4－3－2－11234612……－1－1.5－2－3－66321.51……－1－2－3－4－6－121264321…描点连线：以表中各对对应值为坐标，描出各点，并用平滑的曲线顺次连接这些点，就得到函数和的图象．【设计意图】让学生进一步掌握用描点法画反比例函数图象的步骤．【问题】观察这两个函数图象，回答问题：（1）每个函数图象分别位于哪些象限？（2）在每一个象限内，随着x的增大，y如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？（3）对于反比例函数(k＞0)，考虑问题（1）（2），你能得出同样的结论吗？【师生活动】教师提问并引导学生得到正确结论．【答案】（1）第一、第三象限．（2）由函数解析式可以知道x与y成反比，所以在每一个象限内，随着x的增大，y减小．（3）能得出同样的结论．【新知】一般地，当k＞0时，对于反比例函数(k≠0)，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现：（1）函数图象分别位于第一、第三象限；（2）在每一个象限内，y随x的增大而减小．【设计意图】用从特殊到一般的方法，通过问题串的形式让学生掌握反比例函数当k＞0时的相关性质．【问题】当k＝－2，－4，－6时，画出反比例函数的图象．回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数(k＞0)的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数(k＜0)的图象和性质吗？【师生活动】教师引导学生画出对应的反比例函数图象，然后一起讨论得出反比例函数(k＜0)的性质．【答案】画出对应的反比例函数图象如下：【新知】一般地，当k＜0时，对于反比例函数，由函数图象，并结合解析式，我们可以发现：（1）函数图象分别位于第二、第四象限；（2）在每一个象限内，y随x的增大而增大．反比例函数的图象由两条曲线组成，它是双曲线．【归纳】一般地，反比例函数的图象是双曲线，它具有以下性质：（1）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小；（2）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大．k的正负决定反比例函数图象的位置和函数的增减性．【问题】观察下列动图，进一步体会k的值对反比例函数图象的影响．【师生活动】教师引导学生观察动图，得到合理结论即可．【设计意图】让学生进一步清楚k的值对不同反比例函数图象的影响．【思考】（1）反比例函数图象是轴对称图形吗？如果是，请找出对称轴．（2）反比例函数图象是中心对称图形吗？如果是，请找出对称中心．【师生活动】教师引导学生观察反比例函数(k≠0)的图象，然后总结．【新知】反比例函数(k≠0)的图象是轴对称图形，对称轴是直线y＝±x．反比例函数(k≠0)的图象是中心对称图形，对称中心是原点．对于反比例函数(k≠0)，若点(a，b)在其图象上，则点(－a，－b)也在它的图象上．【设计意图】通过观察反比例函数的图象得到反比例函数图象的对称性．【问题】在反比例函数的图象上分别取点P，Q，并向x轴、y轴作垂线，围成面积分别为S1，S2的矩形，填写表格：P(2，2)，Q(4，1)S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1，S2与k的关系【师生活动】教师提出问题，学生小组讨论后找代表回答问题，教师补充纠正．【答案】先由题意画图，再根据图象填表如下．P(2，2)，Q(4，1)S1的值4S2的值4S1与S2的关系S1＝S2猜想S1，S2与k的关系S1＝S2＝k【设计意图】通过探究反比例函数的图象，让学生对k的几何意义有一定的了解．【问题】若在反比例函数中也用同样的方法分别取P，Q两点，填写表格：P(－1，4)，Q(－2，2)S1的值S2的值S1与S2的关系猜想S1，S2与k的关系【师生活动】小组讨论后找学生作答．【答案】先由题意画图，再根据图象填表如下．P(－1，4)，Q(－2，2)S1的值4S2的值4S1与S2的关系S1＝S2猜想S1，S2与k的关系S1＝S2＝|k|【新知】过双曲线(k≠0)上任意一点P(x，y)作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足分别为M，N，所得矩形PMON的面积S＝PM·PN＝|xy|．因为，所以xy＝k，所以S＝|k|．故过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为|k|．同理，△OPM的面积为．【设计意图】通过探究反比例函数的图象，让学生对前面k的几何意义的分析进行验证，然后得出一致的结论．二、典例精讲【例1】反比例函数的图象上有两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＞x2＞0，则y1与y2的大小关系为（）．A．y1＞y2 B．y1＝y2 C．y1＜y2 D．无法确定【分析】因为11＞0，且x1＞x2＞0，根据x1＞x2和反比例函数在第一象限的增减性，可知y1，y2的大小关系．【答案】C【设计意图】检验学生对反比例函数性质的理解和掌握情况．【例2】如图所示，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且AB//x轴，则△OAB的面积＝_______．【分析