新教材北师大版高中数学必修二全册期末复习知识点梳理

1任意角与弧度制【知识梳理】

一、角的概念

(1)角的概念

①角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.

oA

②角的表示：

如图/AOB中，。表示顶点，0A表示始边，。8表示终边.

(2)在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向，习惯

上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线

没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角，旋转生成的角，又常叫做转角.引入正角、负角

的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即a一夕可以化为a+(一£),这就是说，各

角和的旋转量等于各角旋转量的和.

二、象限角

平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重

合，这时角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限角.

第一象限角：｛a|k36(r<a<：k360o+90。，&CZ｝；

第二象限角：｛a|k360o+90o<a<k360o+180。，keZ)；

第三象限角：｛a\k-360°+1S0°<a<k-360°+270°,kGZ｝；

第四象限角：｛毗360°—90°*<拈360°,kWZ].

三、终边相同的角

设a表示任意角，所有与a终边相同的角，包括a本身构成一个集合，这个集合可记为S=

｛£W=a+k360。，ZdZ｝.

四、角的度量单位

角的度量

角度制弧度制

在以单位长为半径的圆中，单位长度的弧所

规定周角的击为1度的角，用度作为单位来

对的圆心角为1弧度的角.它的单位符号为

度量角称为角度制

rad,读作弧度

换算

360°2兀rad

180°兀rad

180

(―)°~57.30O=57O18Z1rad

兀

1°rad-0.01745rad

五、弧度数的计算

「（正角的弧度数是一个正数）

（弧度数）——（负角的弧度数是一个负数）

7零角的弧度数是零）

(1〕

［弧度数］

〔的讦和

六、一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系

度0°1°30°45°60°90°

兀7T工TC7C

弧度0

1806432

度120°135°150°180°270°360°

2353

弧度卧兀

7r471712

七、扇形弧长公式及面积公式

设扇形的半径为「，弧长为/,a为其圆心角，则

度量单位类别a为角度制a为弧度制

.\n\nr

扇形的弧长l=\a\r

180

\n\nr

扇形的面积?5=夕〃=3|。1产

360

2单位圆与诱导公式【知识梳理】

一、正弦、余弦函数的诱导公式

二、诱导公式的记忆方法

任意角可归纳为a的形式，则诱导公式可概括为“奇变偶不

变，符号看象限”：

(1)”变,，与“不变,，是指互余的两个角的三角函数名改变.

(2)“奇”“偶”是对吗±a中的整数％来讲的.

(3)“象限''指吟±。中，将a看作锐角时±a所在的象限，再根

据“一全正，二正弦,三全负，四余弦''的符号规律确定原函数值的符

号.

三、应用诱导公式求三角函数值的过程

上述过程可称为“负化正,大化小，化至锐角再求值”，充分体现了化未知为已知的数学思想.

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3正弦、余弦函数图像与性质【知识梳理】

一、五点法画正弦函数的图像

正弦函数丫=$加，x£［0,2兀］的图象中，五个关键点是：（0,0）《』）（五,0）（¥，-1）（2兀,0）

4y

f(x)=sin(x)

二、利用单位圆中正弦线描点画出正弦函数在［0,27］上的图像

三、正弦函数的性质

（1）定义域：R

（2）值域：［—1,1］

TT

①当且仅当％=—+2版■，左GZ时，取得最大值1・

2

rr

②当且仅当X=——+2版，zez时，取得最小值一1.

2

（3）周期性

正弦函数是周期函数，2妨且厚0）都是它的周期，最小正周期是2万

二、奇偶性y=sinx为奇函数

（5）单调性

正弦函数在每一个闭区间［一土TT+2H,T-T+2^］（&WZ）上都是增函数，其值从一1增大到

22

1；在每一个

Jr37r

闭区间［一+2版，一+2版］伏WZ）上都是减函数，其值从1减小到一1.

22

四、余弦函数的图像

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由sin卜+5J=cosx能得到余弦函数的图像

余弦函数的图像可以通过正弦曲线向左平移上TT个单位长度而得到.

2

vt余弦曲线

余弦函数丫=＜：0$*,x£［0,2兀］的图象中，五个关键点是：(0,1)(1",0)(兀,-1)(半,0)(2兀,1)

六、余弦函数的性质

(1)定义域：R

(2)值域:［-1,1］

①当且仅当x=2A?r,AGZ时，取得最大值1.

②当且仅当x=?r+2后r,无GZ时，取得最小值-1.

(3)周期性

余弦函数是周期函数，2EUGZ且上0)都是它的周期，最小余周期是2乃

(4)奇偶性y=cosx为偶函数

(5)单调性

余弦函数在每一个闭区间［―兀+2反，2所］(AWZ)上都是增函数，其值从一1增大到1：在每

一个闭区间［2版，兀+2版］(ZWZ)上都是减函数，其值从1减小到一1.

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4正切函数图像与性质【知识梳理】

一、正切函数的定义

b

根据函数的定义，比值一是角。的函数，我们把它叫作角。的正切函数，记作

a

y=tana,其中awR,aw——\-kit,keZ.

二、正切函数的图象与性质

(1)图象：如图所示.

正切函数y=taar的图象叫做—正切曲线

(2)性质：如下表所示.

函数

y=tanr

性质

卜上一方+E一，kGZJ

定义域

值域R

周期

奇偶性_奇函数—

(-'+也，)

单调性增区间,+E(%£Z)

减区间无

三、正切函数的诱导公式

tan(E+a)=tana(k^Z)tan(—a)=~tanatan(%+a)=tana

M、1\1

tan(7i—a)=—tanatano+a=­------lan7-a=~-----

\'\2Jtana\27tana

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1平面向量的概念及其线性运算【知识梳理】

一、向量的概念及其表示

(1)向量的概念：既有大小，又有方向的量.

(2)向量的表示：

①有向线段：具有方向和长度的线段叫作有向线段，以A为起点，B为终点的有向线段记作

磋,线段A8的长度也叫作有向线段⑰的长度，记作电

②向量的表示

(3)向量的模：电|(或⑷)表示向量显的大小，即长度(也称模).

二、四种重要的向量

(1)长度为零的向量叫作零向量，记作。或6,它的方向与任一向量平行.

(2)与向量。同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作Qo.

(3)长度相等且方向相同的向量叫作相等向量，向量。与分相等，记作a=b.规定所有的零向量

相等.

(4)如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这些向量平行或共线，a与b

平行或共线，记作a〃A

三、向量的加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法。表示：AB+BC^AC.

规定：零向量与任一向量a,都有a+6=6+a=a.

说明：①共线向量的加法：aba+h

~~布

②不共线向量的加法：如图(1),已知向量2,b,求作向量Z+B.

作法：在平面内任取一点。(如图(2)),作砺=£,AB=b,则。月=£+B.

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(1)(2)

四、向量加法的法则

(1)三角形法则：根据向量加法定义得到的求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。

表示：AB+BC=AC.

(2)平行四边形法则：以同一点A为起点的两个已知向量£,坂为邻边作口ABC。，则

则以A为起点的对角线恁就是£与B的和，这种求向量和的方法称为向量加法的平行

四边形法则。

五、向量的加法运算律

交换律：a+b=b+a.结合律：(a+B)+c=a+(B+c).

三、相反向量

与£长度相等，方向相反的向量，叫做£的相反向量，记作-

说明：(1)规定：零向量的相反向量是零向量。

(2)性质：-(-a)=a；a+(-a)=(-a)+a=6.

七、向量的减法

求两个向量差的运算，叫做向量的减法。表示=a+(-杨.

八、向量减法的法则

已知如图有b,求作2——W>7^

(1)三角形法则：在平面内任取一点。…作04=a,OB=b,则24=。一反

b°a

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说明：B可以表示为从B的终点指向£的终点的向量（Z,B有共同起点）.

（2）平行四边形：在平面内任取一点。，作丽=3,BO=-b,

则丽=丽+砺=力.Bc

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2平面向量基本定理应用【知识梳理】

四、平面向量基本定理

如果冢，晟是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量

a,有且只有一对实数4,4，使M=44其中，不共线的这两个向量4,当叫做

表示这一平面内所有向量的基底。

(1)我们把不共线向量G,02叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；

(2)基底不惟一，关键是不共线；

(3)由定理可将任一向量a在给出基底，，的条件下进行分解；

(4)基底给定时，分解形式惟一，4,4是被方，,，02唯一确定的数量

二、平面向量基本定理唯一性

设a,b是同一平面内的两个不共线向量，若xla+ylb=x2a+y2b,

则卜

y尸只

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3平面向量的数量积【知识梳理】

1.两向量的夹角

―>—>

(1)定义：已知两个非零向量a,b,0是平面上的任意一点，作QA=a,OB=b,

则NAO8=8(0W次兀)叫做向量a与b的夹角.

(2)特例：①当。=0时，向量a,b同向.

②当，=兀时，向量a,b反向.

7T

③当6=］时，向量a,b垂直,记作a_L4

2.平面向量数量积的定义

已知两个非零向量a与b,它们的夹角为仇把数量⑷向cos6叫做向量a与b的数

量积(或内积)，记作。山，即。力=团|加cos。.特别地，零向量与任何向量的数量积等于Q.

3.投影向量

—►-►—>―>

设a,方是两个非零向量，AB=a,CD=b,过A3的起点A和终点8,分别作CD所

―►―►

在直线的垂线，垂足分别为4,Bi,得到4田，这种变换为向量a向向量力投影，AiBi

叫做向量a在向量1上的投影向量.

4.平面向量的运算性质：

⑴潟单位向量,=(2)9=90。a.ba»b=0

(3)a//Bo=±卜帆*特另II地:彳•万=同2或同=

*(4)cos6=：,(同同加)(5)卜•同〈同(当且仅当日//用寸等号成立)

同网111111

5.向量数量积的运算律

(l)a'b=b-a.(2)(Aa)-b=A(a-b)=a-(Ab).(3)(a+b)-c=a-c+b'C.

6.平面两向量数量积的坐标表示

(1)设a=(xi,y)，8=(X2,/),x轴上,单位向量i,y轴上单位向量/,

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则：1"1=1,yy=1>ij=ji=o

(2)推导坐标公式：

■:a-x\i.+y\j,b=X2i+yij

••ab=(xii+y\j)(x21+灿=xixii2+xiyiij+xjy\ij+y\y^

=X\X2+J1J2

从而获得公式：ab=x\xi+y\y2

(3)长度、角度、垂直的坐标表示

1°a=(x,y)=>|a|2=x2+y2=>|a|=yjx2+y2.

2

2°若A=(xi,y1),B=(%2,J2)，则AB=^(X]-x2)+(y1-y2Y

,3°co.v0=―—=—j=

2~,2I~2-'2

+Mg+%

4°a±boab=0即X1X2+y\yi=0（注意与向量共线的坐标表Z5原则）

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4平面向量的垂直平行【知识梳理】

一、向量共线的判定定理和性质定理

1、判定定理：”是一个非零向量，若存在一个实数人使得则向量〃与非零向

量。共线.

2、性质定理：若向量5与非零向量a共线，则存在一个实数九使得

3、若a=(%,x)Z=(w，%)”则a〃分=°・

二、拓展

(1)a//ba-Xh(hw0).

(2)若，则a〃了0石%一人2/=0.

当涉及到向，量或点的坐标问题时，应用(2)解题较为方便.

(3)两向量相等。它们的对应坐标相等.

三、平面向量垂直的坐标形式

若向量a=(x(,y),b=(x2,y2),则a,Boxw+y%=。.

四、平面向量垂直的非坐标形式

若向量a,B为两个非零向量，则aJ_Boa"=0.

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正弦定理余弦定理在解三角形中的应用【知识梳理】

知识要点

正弦定理，余弦定理是重要知识点，也是考试常考必考内容，作为概念性知识

点，首先介绍定理内容：

正弦定理概述：

已知A4BC三边长分别为a，4c,外接圆半径为R,则有

a_b

=2R

sinAsinBsinC

余弦定理概述：

已知A43C三边长分别为a,b,c,外接圆半径为R，则有

"+‘2-"

co&4=

2bc

+〃2_82

cosB=

2ac

a2+h2-c2

2ab

其次介绍定理的应用领域：

五、已知三角形两角与一边，解三角形；

六、已知三角形的两边与其中一边所对的角，解三角形;

七、应用a:b:c=sinA:sinB:sinC.

八、公式的变形应用，如

a_b_c_a+b+c_a+b

sinAsinBsinC^zmA+sinB+sinCsinA+sinB

a=2/?sin=2/?sinB,c=2/?sinC

5.三角形的解的个数讨论情况：

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第四章三角恒等变换

同角三角函数的基本关系

基本关系基本关系式

平方关系sinoc2+cosoc2=l

商数关系

cosa\2/

二、两角差的余弦公式

公式cos(a­/?)=cosacos-+sinasin£

简记符号C(a-#

使用条件a,仅为任意角

三、两角和与差的余弦公式

名称简记符号公式使用条件

两角差的余弦公式cos(a-/0=cosacosy8+sinasin夕a,尸£R

两角和的余弦公式C(a+为cos(a+Q)=cosacos/?-sinasin夕a,peR

四、两角和与差的正弦公式

名称简记符号公式使用条件

两角和的正弦公式S(〃+/f)sin(a+夕)=sinacos/9+cosasinfia,BGR

两角差的正弦公式sin(a一夕)=sinacos//—cosasinpa,蚱R

五、两角和与差的正切公式

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名称公式简记符号条件

tana+tan夕IT

两角和的正切公式

tan(a+夕)—―tanatanWT（«+A）a9P，a+4

tan——tan)7T

两角差的正切公式T(a-/Oa,B，a—/£Z)

tan(a-j+tanatan^

六、二倍角公式

三角函数公式简记

正弦sin2a=2sin_acosaS2a

余弦cos2a=cos2a-siMa=2cos2a-1=1-2sin2aC2tt

-2tana

正切tan2a—.T2a

1-tan9-a

七、半角公式

a

asinx+bcosX

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第五章复数

1.概念：形如。+杭(4,OWR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，全体复数所成的集合C叫做复

数集。复数通常用字母z表示，即2=。+而(a,6GR)

2.复数的分类

对于复数。+万【a,beR]，当且仅当b=0时，它是实数；当且仅当a=b=c=O时，它是实数0；

当b翔时，它叫做虚数，当a=0且b和时，它叫做纯虚数.

显然，实数集R,是复数集C的真子集，即RuC.

*

3.复数相等的充要条件

在复数集C={a+bi|a,beR}中任取两个数a+勿，c+di[a,b,c,dGR],

规定：a+初与c+力相等当且仅当2=<：且6=<1,即当且仅当两个复数的实部与实部相等，虚部与

虚部相等时，两个复数才相等。

4.对于复数的定义要注意以下几点：

①z=a+析(小6CR)被称为复数的代数形式，其中方表示。与虚数单位i相乘

②复数的实部和虚部都是实数，否则不是代数形式

(2)分类：

满足条件3,〃为实数)

a+bi为实数为=0

复数的分类a+bi为虚数为，0

a+bi为纯虚数?。=0且

5.复数的模

定义：向量源的模叫做复数z=a+6i(a,%CR)的模或绝对值.

记法：复数z=a+bi的模记为|z|或|“+历|.

公式：\z\=|a+i>i|-,\]a2+b2.

6.共姬复数

定义：当两个复数的实部相簧，虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为共轨复数.虚部不等于0的

两个共轨复数也叫共辗虚数.

表示：z的共罪复数用z表示，即若z=a+bi(a,6NR),则z="一6i.

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复数加法与减法的运算法则

1.设zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d£R)是任意两个复数,则

(l)zi+z2=(〃+c)+S+0i;

(2)zj-Z2=(a-c)+(b-Qi.

2.对任意Zi，Z2，Z3《C,有

(1)Z1+Z2=Z2+Z1；

(2)(Z1+Z2)+Z3=Z|+(Z2+Z3).

复数加减法的几何意义

如图，设复数zi，Z2对应向量分别为龙I，OZ2,四边形0Z|ZZ2为平行四边形，向量市与复数壮

忽对应，向量温I与复数ZI-Z2对应.

复数乘法的运算法则和运算律

1.复数的乘法法则

设zi=〃+8i,Z2=c+di(a,b,c,d《R)是任意两个复数，则z-Z2=(a+M)(c++)=(ac—

+hc)i.

2.复数乘法的运算律

对任意复数ZI，Z2，Z3WC,有

交换律Z1Z2—ZgZj

结合律（Z]Z2）Z3=Z1（Z2Z3）

乘法对加法的分配律Zl（Z2+Z3）=ZJZ2+Z]Z3

复数除法的法则

设Z1=〃+历，Z2=c+di(〃，b,c,d£R,且c+diWO)是任意两个复数,

「aa+biac+bd.bc-ad,,,,

则五=下=壬+H】（c+&#。）.

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三角表示及相关概念

一般地，任何一个复数2=2+",都可以表示为r=(cos6>+icos6»)的形式

其中，r是复数Z的模；。是以X轴的非负半轴为始，向量0%所在射线(射线0Z)为终边的角，叫

做复数z=a+bi的辐角.r(cos6+isin。)叫做复数2=2+5的三角表示式，简称三角形式。为了与三角形

式区分开来，a+bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式。

(2)规定：在0W6<2n范围内的辐角8的值为辐角的主值.通常记作argz,即0Wargz<2n.

复数乘、除运算的三角表示及其几何意义

根据复数的乘法法则以及两角和的正弦、余弦公式，可以得到，

ziZ2=ri(cos^i+isin^i)•F2(cosOz+isin%)

=riF2(cos0i+isin^i)(cosOz+isin/)

=rir2[(coscos-sinsin^2)]

=nF2[cos(a+仇)+isin(61+62)

则

ri(cosa+isin1)•r2(cos%+isis®2)

=rir2[cos()+isin()]

这就是说，两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和.

复数除法运算的三角表示

设ZI二口(cosa+isin62),Z2=r2(cos/.+isin%),且ZIWZ2.因为

n

「2(cosa+isin°2)•r2[cos(^,-^2)+isin(^I-^2)]=ri(cos+isin^'),

所以根据复数除法的定义，有，

ri(cos3+isin，i)_n

r2(cos62+isin02)n[cos(<9i-^2)+isin(^i-^2]

这就是说，两个复数和除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除

数的辐角减去除数的辐角所得的差.

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立体几何初步【知识梳理】

九、空间几何体的结构及其表面积、体积

1.空间几何体的结构特征

(1)多面体的结构特征

名称棱柱棱锥棱台

A

D'D'

9S

图形

AAB

BAB

底面互相平行且全等多边形互相平行且相似

相交于一点,但不一

侧棱平行且相等延长线交于一点

定相等

侧面形状平行四边形三角形梯形

(2)旋转体的结构特征

名称圆柱圆锥圆台球

烝：o

a

图形

1

互相平行且相

母线等，垂直于底相交于一点延长线交于一点

面

轴截面全等的矩形全等的笺腰:用杉全等的等腰梯形X圆

侧面展

矩形扇形扇环

开图X

2.直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两

两垂直，直观图中，V轴、丫'轴的夹角为45。(或135°),7轴与V轴、了轴所在平面垂直.

(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别生住坐标轴.平行于x轴和z轴的

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线段在直观图中保持原长度丕变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的二笠.

3.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱圆锥圆台

<----------X

,--------'笈

岸明;

侧面展开图1彘/£iA//Zirr>

侧面积公式S♦柱侧=2兀力S圆锥侧=匹〃S捌台厕=兀（丁］+-2）/

4.空间几何体的表面积与体积公式

名称

表面积体积

几何

柱体

V=Sh

S表面积=S恻+25底J&

（棱柱和圆柱）

锥体

S表面枳=S他+S底

（棱锥和圆锥）

台体

V=/SE+S卜

s表面积一s侧+S上+S下

（棱台和圆台）

4a

球S=4兀R2V=/R3

5-----

十、平面的基本性质与推论

1.平面的基本性质

基本性质1：如果一条直线上的西点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个

平面内.

基本性质2：经过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.

基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的

公共直线.

2.空间点、直线、平面之间的位置关系

直I1.线与-J直11.线直线与平面平面与平面

平行图形/----a/-------aX7

/b/

关系语言A____/%/

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符号

a//ba//aa//[i

语言

图形7

相交语言zW

关系符号

aDb=AaC§=l

语言

图形

独有语言/^7

关系符号a,。是异面直

〃ua

语言线

3.异面直线所成的角

(1)定义：设。，人是两条异面直线，经过空间任一点。作直线/〃a,勿〃A把d与"

所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).

(2)范围：(Q—

十一、空间中的平行关系

1.平行直线

⑴平行公理

过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行.

(2)基本性质4(空间平行线的传递性)

平行于同一条直线的两条直线互相平行.

(3)定理

如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行,并且方向相同,那么这两个角相

等.

2.直线与平面平行

(1)直线与平面平行的定义

直线/与平面a没有公共点，则称直线/与平面a平行.

(2)判定定理与性质定理

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平面外一条直线与

a_____

此平面内的一条直ata,bua,

判定定理

线平行，则该直线a//h=^a//a

平行于此平面

一条直线和一个平

面平行，则过这条

a//a,au/J,

性质定理直线的任一平面与

aCp=bna〃b

此平面的交线与该

直线平行

3.平面与平面平行

(1)平面与平面平行的定义

没有公共点的两个平面叫做平行平面.

(2)判定定理与性质定理

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一个平面内的两条

aua,bua,

相交直线与另一个

判定定理P,

平面平行，则这两

//a//fi,b//^a//[i

个平面平行

两个平面平行，则

其中一个平面内的{X/

a//0,QUa=a〃p

直线平行于另一个A__/

平面

性质定理

如果两个平行平面

同时和第三个平面